Введение к работе
Актуальность темы. Система уравнений Навье-Стокса успешно применяется для описания гидродинамический* систем, в частности, при изучении динамики вязкой несжимаемой жидкости. Решение различных начально-краевых задач для этой системы имеет важное прикладное значение, чем и объясняется достаточно хорошая изученность различных конечно-разностных аппроксимаций упомянутых задач. Здесь следует назвать основополагающие работы О.А. Ладыженской, Р. Темама и др. Вместе с тем, количество арифметических операций, необходимых для решения трехмерных нестационарных задач настолько велико, что реализация соответствующих алгоритмов вызывает затруднения даже при использовании современных компьютеров.
В связи с этим, для определенного класса разностных аппроксимаций (например, приводящих к системам с постоянными коэффициентами) представляется перспективным использование метода Монте-Карло, который при расчетах со сравнительно небольшой относительной точностью (что и требуется для большинства прикладных задач) позволяет оценить решение с меньшими вычислительными затратами.
Первые попытки применить метод Монте-Карло для решения разностного аналога уравнений Навье-Стокса были предприняты в диссертационной работе К.К. Шакенова. В ней, однако, рассматривались лишь линеаризованные уравнения, при атом не исследовалась стохастическая устойчивость и не изучалось поведение диссперсии соответствующиих оценок.
Цель настоящей работы состоит в:
-
построении алгоритмов, учитывающих нелинейнные члены системы,
-
исследовании стохастической устойчивости в зависимости от величины числа Рейнольдса,
-
построении векторных алгоритмов, позволяющих умень-
шить дисперсию оценок,
4) составлении программ и проведении пробных расчетов на компьютере.
Методика исследования. В диссертации используются методы теории разностных схем, ветвящихся Марковских процессов и метод Монте-Карло.
Научная новизна. В работе впервые для решения нелинейных разностных уравнений используются алгоритмы, основанные на моделировании ветвящихся процессов, исследуется стохастическая устойчивость алгоритмов метода Монте-Карло для решения, разностного аналога уравнений Навье-Стокса и строится векторный алгоритм.
Практическая и теоретическая ценность. Построенные и изученные в диссертации алгоритмы, а также разработанные программы могут служить важным инструментом для оценочных расчетов в задачах гидромеханики. Теоретически важным является то, что указан обширный класс задач, где метод Монте-Карло может быть аффективным. Для этого класса обоснована применимость метода.
Алпробация работы. Основные результаты доклады-ва-лись на семинарах кафедры статистического моделирования и кафедры вычислительной математики математико-механи-ческйй факультета СПбГУ.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 2 работы, список которых приведен в конце автореферата.
Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения и трех глав. Библиография содержит 16 наименований. Объем диссертации 88 страниц машинописного текста.
