Введение к работе
Актуальность теш. В настоящее время композиционные материалы применяются в широком круге областей науки и техники. С целью получения качественно новых свойств они, как правило, конструируются по признаку контрастности физических характеристик компонентов. В математическом плане процессы в композиционных материалах описываются дифференциальными уравнениями с быстро осциллирующими и сильно изменяющимися коэффициентами. Таким образом, краевые задачи содержат два малых (больших параметра): є - малый параметр, характеризующий отношение периода структуры к размеру задачи и ы г- большой параметр, характеризующий отношение тепло-физических или физико-механических свойств компонентов.
Численное решение краевых задач для таких уравнений существенно затруднено из-за необходимости выбора слишком мелкой сетки и сильного разброса значений коэффициентов. Для того, чтобы получить микроструктуру полей напряжений или тепловых полей в композиционном материале в непосредственной близости -от границы, необходимо проводить строгие математические построения асимптотик пограничного слоя по двум малым (большим ) параметрам. Такие построения могут быть полезны при изучении, например, процессов разрушения композиционного материала, часто начинающихся от границы или при конструировании композиционных материалов с заранее заданными свойствами.
'H
Целью работы является построение и обоснование нового численно - асимптотического метода решения краевых задач в слое и полуплоскости для эллиптических уравнений с быстро осциллирующими и сильно изменяющимися коэффициентами, описывающих приграничные эффекты в сильно неоднородных средах.
Научная новизна. Ранее дифференциальные уравнения с бистро осциллирующими и сильно изменяющимися коэффициентами рассматривались во всем пространстве с условиями "периодичности, либо строилось лишь первое приближение, не. описывающее приграничных эффектов. Доказаны теоремы, оценивающие разность частичных сумм асимптотического ряда и точного решения исходной задачи в норме пространства W*. Построен и обоснован новый численно асимптотический метод решения краевых задач в результате применения которого исходная краевая задача с двумя малыми ( большими ) параметрами сводится к рекуррентной цепочке краевых задач, не содержащих малые ( большие ) параметры.
Методы исследования'. В диссертации используются известные ранее комбинированные асимптотические методы осреднения уравнения,с быстро осциллирующими и сильно изменяющимися коэффициентзмив пространстве и метод пограничного слоя. . Практическая значимость работы. Полученный алгоритм может быть использован в качестве численно-асимптотического метода решения краевых задач в слое и полуплоскости,- а также для получения микроструктуры' полей напряжения или тепловых ' полей
"~:'s '. ' '
в сильно неоднородных средах в непосредственной близости от
границы композита. Проведенный асимптотический анализ
пограничного слоя может оказаться полезен при построешш
новых расчетных схем решение краевых задач и определении
границ применимости как новых, так и " уже известных.
Полученные результаты могут быть использованы в МГУ, МИНХГ,
ШСИ, ИФХ им.Ландау РАН.
Апробация. Результаты диссертации докладывались в МИСИ,
МИНХГ, ИФХ им.Ландау РАН, а также на семинарах кафедры
вычислительной математики механико-математического факультета
МГУ им. М.В. Ломоносова.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы
в четырех работах автора, список которых приведен в конце
автореферата.
Структура диссертации, диссертация состоит из введения, трех
