Введение к работе
Актуальность теш. К настоящему моменту разработан ряд нага влений исследования корректности (устойчивости) разностных ідач, например, мзтод преобразования Фурье, метод разделения :ременных, метод дифференциального приближения, метод энерге-іческих неравєнстз, метод оценки функции Грина, метод, оокоеак-[й на принципе максимума, и другие, ориентированные на более и менее конкретные классы задач. 3 последнее время большое спространение получила трактовка разностных задач как опёратор-i-разностных уравнений с параметром б банаховых (в частности, гильбертовых) пространствах, что позволяет с общих позиций дходить к исследованию разностных схем, используя методы тео-и операторов и дафференхшэльных уравнений. 3 рамках этой кон-пции были развиты обдие подхода к исследованию корректности стойчивости) разностных схем, охватывающие многие практические зсси разностных схем и операторов задачи. 3 случае гильберто-х пространств построена в основном законченная теория коррект-сти главным образом на базе результатов работ А..А.Самарского,
А.В.Гудина и др. Последовательное изложение этой теории дано, например, в монографий А.А..Самарского, А.В'.Гулина "Устойчивость разностных схем. - ї«і.: Еаука, 1973." Основным исходным моментом теораи корректности разностных схем в гильбертовых пространствах является возможность подбора такой нормы, в которой оператор перехода схемы оценивался бы единицей'или, по крайней мере, величиной Ci-*-a.t>) , а= Ooti-ht , где " - шаг разностной сетки. Тогда проаэзеденкя таких операторов оцениваются ао норме некоторой константой, откуда .сразу же выводится свойство устойчивости. Однако, в случае произвольных банаховых пространств, как правило, норма оператора перехода существенно больше единицы, и указанный выае способ доказательства устойчивости не проходит. Таким образом, сложность геометрии произвольных банаховых пространств приводит к усугублению трудностей при исследовании разностных схем. Многие работы были посвящены установлению априорных оценок в конкретных нормах - равномерной норме и норме дрос ранстза функций, суммируемых со степенью р. . 3 последние годы были также получены результаты по корректности разностных схем з нормах произвольных банаховых пространств на базе трактовки разностных схем как одерагорно-разностшх уравнений в этих прос ранстзах. Важное место здесь занимают работы, выполненные П.Е.С болевекам и его учениками, Р.Хершем и Т.Като, і.Бреннером и з.Тож. Исследования, проведенные Р.Хершем, Т.Като, З.Вреннерої» З.Томэ позволяет построить ободе подходы к изучению корректное: разностных схем, применимые з широком классе схем, в т.ч. аплр< ксямврукшх нзчзльно-краезые задачи для гиперболических и параболических уравнении. В то же время, область прилсаения резуль тов этих работ ограничена в том смысле, что они применимы к ра костным схемам с постоянным (т.е. не зависящим от номера слоя
зетки) оператором перехода, являвдшся функцией от исходного шератора задачи. Результаты работ озколы Д.Е.Соболевского могут Зкть использованы для исследования корректности разностных схем, ашіроксямирующих начально-краевые задачи для параболических равнений с переменными по времени и пространству коэффициентами. Однако, развитые в этих работах методы ориентированы лишь іа специальные классы разностных схем, не содержащие многих вак-гых практических схем.
Таким образом, до последнего времени не существовало общей :еории корректности линейных разностных схем в произвольных байховых пространствах, применимой для анализа широких классов кем (в т.ч. с переменным оператором перехода, не обязательно шляющимся функцией от исходного операторазадачи). Зваду выше-:казанного представляется чрезвычайно важным и актуальным разра-іотка общей теории корректности разностных схем со следующими юзможностями:
Iе'. наличие конструктивных, легко проверяемых на практике кри-'ериез корректности разностной задачи;
-
. допустимость рассмотрения и описания в рамках единообразно подхода широких .классов используемых ь приложениях разност-:ых схем, з т.ч. расщепленных разностных схем, схем с обобщенны-и исходными данными и др.;
-
. приемлемость теории для исследования задач с широким на-ором допустимых разностных операторов;
-
. использование з принципе з качестве исходных - произволь-ых банаховых пространств.
Цель работы состояла в разработке общей теории корректности азностных задач в банаховых пространствах, единообразно подхо-
дяще к'изучению разностных задач различных конструкции и допускающей реализацию указанных зы&е требована! 1-*, в применении это!: теории для анализа корректности разностных схем, возникаю-" зкх дрл диснргтязздди абстрактных параболических уравнений, и, наконец, в построении практических кратердез дрозерки корректности з шкалах сеточных баяахознх простравсгз І.Л ,i^ptc>0 (сеточ-них аналогов пространств Лебега) разностных схем, возникающих в задачах теплопроводности.
Hg-учяая ноагзкз раооты. 3 диссертация зпарзые получены обще утьерздеііка с корректности лаиейкых разностных схем в банаховых пространствах э терминах спектральных огрангчєких на так казыва-
экь'Й. генератор схема. На базе эти. результатов установлены совер аекяо H03U6 кратераа корректности разностных схем для абетргкт-
кнх пзраболдческы: уразиекян в терминах согласованных ограничена! на сиязолы-разностной схемы а на спектральнає характеристика исходных операторов разностной задачи. Указанные критерий дозволяй? дровестл проверку корректности для значительно более шароки до сравнение с ранее известными семейств разностных схем, Hpz зток, ряд ранее установленных результатов обобщен в различных на ярзален&ЕС z.vl усален, лрсме того, вызедекы нозые условия коррег кости з схелзх ярогтранетз /,Д_ , 4*f <=<» разностных схем для дервой. к третьей: начзльнэ-крзездг. задач теплопроводности з тер-ь<даэх ограничений на смэолв разностной схемы к кг гладкость хад&азягячов доходной задача, эффективно работашие і довольно шрокдх классах разностных схем.
Тєо~р^тіїрд<;кзя к практическая ценность работа. Предложенный в диссертааки дэдход к анализу корректности разностных задач имее-вєсьйїа sizvax?.'/, лагназок применения. На его основе могут быть ис< сдедована не только изученные з работе метод Рушге-лутты и лине:
їй многошаговый метод (ухе дорожцающие довольно широкие классы ізностшх схем), но и другие известные кетоды дискретизации, на-):азер, 1.иого2эгоэа;1 многостадийных метод, метод Розенброка, ме-ід З.А.іинокурсаз г. др. газзнтая в работе операторная техника, тзк>:е методик.: доказательств основных утверждении являются орп-;нэлькы!л2 л представляют домике всего прочего и самостоятельный ітерес для оОде,і теории разностных и дифференциальных уравнений. я деле:: практических приложении установлены простые коксгрук-івньге критерии корректности в шкалах сеточных пространств />Л , tfrfeoo разностных схем метода Рунге-лутты я линейного многошэ-івого метода для кзчзльно-краезой задачи теплопроводности, корне могут быть распространены з принципе и на другие указанное :ше методы дискретизации. Кроме того, эти критерии легко могут :ть приспособлены для проверки корректности разностных задач, рождаемых, параболическими уравнениями з частных производных сших (четных) порядков в пространстве или полупространстве. Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертаций кладыззлдсь ка:
- -.іежограслезой научно-технической конференции "Методы и сред-
ва исследования однократных импульсных дроцессоз" («юскзз,
90 г.), 24-й Воронежской зашей математической школе (Зоронек, 31 г.), левдунзрсднои конференции "Некорректно поставленные за-чи'з естественных науках" О-осква, 1991 г.), Всесоюзной магєма-ческои конференции и I '«зтематичеоксй лколе по вычислительным укам (-іесная поляка, 1951 г.);
- семинарах математических кафедр Механико-математического фа-
культета Псковского государственного университета, факультета Вычислительной математики к кибернетики Московского государственного унаверситетз, математика-механического факультета Санкт--Детербургского государственного университета, Новосибирского государственного университета, Уральского государственного' университета, Воронежского государственного университета,- Пермского политехнического института. Московского инхенерно-физическо-го института;
- семинаре .лаборатории вычислительной техники и автоматизации Объединенного института ядерных исследований (Дубна) и опубликованы в работах С1-2 54 .
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения (часть I), трех основных содержательных частей (части 2-4) к заключения (часть 5), а также содержит список литературы из 157 найменований и I иллюстрацию. Общий объем диссертации -- 287. стр.
