Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Изучение кубатурных формул с теми ила иными заданными свойствами, в частном случае — минимальных кубатурных формул, представляет собой интересную и актуальную проблему современной вычислительной математики. Несмотря на обширную литературу по этой тематике, многие задачи данного иаправл'-иия еще далек!! до своего полного решения; в частности, построение кубмтурных формул, точно интегрирующих .многочлены степени не выше данной їі ІІММОЩІІХ при этом минимальное число узлоз (а минимальные кубагурные формулы, при условии их существования, являются таковыми), до сих лор остается актуальной задачей.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Распространить имеющиеся результаты о минимальных кубатурных формулах, обладающих (1-свопетвом, на случай нечетной степени точности d; дать необходимые и достаточные условия существования указанных кубатурных формул. Исследовать минимальные кубатурные формз'лы для таких областей интегрирования, как тор в R4 и сфера в R", где п > 3. Классифтекосвпть минимальные решеточные кубатурные формулы с тригонометрическим «/-свойством и двумерном случае.
МЕТОДИКА. ИССЛЕДОВАНИЯ. В диссертации использовались методы математического анализа, теории чисел, компьютерной алгебры.
Распространен метод воспроизводящего ядра на случай нечетной степени точности минимальных кубатурных формул.
Приведена классификация всех минимальных решеточных кубатурных формул с тригонометрическим «/-свойством в двумерном случае.
Дано описание всех минимальных кубатурных формул нечетной степени точности и степени точности 2 для интегрирования по тору в R4, а также введены и исспеясааны аналитические семейства минимальных кубатурных формул четной степеня точности.
Установлено, что граница Миллера для числа узлов кубатурных формул с d-свойством, аппроксимирующих интеграл по сфере в R,", не достигается почти для всех степеней точности d и размерностей п. Предложен эффективный критерий существования минчмальных кубатурных формул с «/-свойством для сферы, позволяющий п некоторых случаях доказывать единственность таких формул.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на
ЇМ <ч мпнаре-совещашш «Кубатурные формулы и их приложения» (Красноярск, 1995 г.), на конференции «Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения» (Уфа, 1996 г.), на II сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Но-посішлрск, 1996 г.), на семинарах в ВЦ СО РАН (г. Красноярск) и Красноярском государственном техническом университете,
ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [2] - [6].
СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения (2 параграфа) и трех глав (10 параграфов), содержит 86 страниц; имеется два приложения к первой главе (объемом 14 страниц). Библиография — 58 наименований.
