Оценка характеристик, определяющих аппроксимативные свойства тригонометрических операторов Баскакова и некоторых других методов суммирования рядов Фурье Дубровина Татьяна Владимировна

Содержание к диссертации

Введение 4

Глава 1. Тригонометрические операторы Баскакова 13

1. Определение операторов Баскакова и некоторые их свойства 13

2. Рекуррентное соотношение. Значение Я 15

/,и

1.3. Тождество В.А. Баскакова. Множители суммирования

[т\к_и...,к_т)
Л 19

i,n

1.4. Вспомогательное утверждение. Значение операторов

Баскакова в нуле на степенях t 23

5. Оценка приближения операторами Баскакова достаточно гладких функций 32

6. Ослабление условий теоремы 1.1. Оценка приближения операторами Баскакова функций класса W ^т+ Hff 36

Глава 2. Некоторые линейные комбинации операторов Баскакова 38

1. Общие замечания 38

2. Линейные комбинации операторов Af J"^*¹ *"'*«-»^,?1 '

и Д|И*і>-'*«-і.^) 38

3. Линейные комбинации операторов М^ ^ ¹' ²^ и а4*^) 45

4. Линейные комбинации операторов М^ ', ^п

пм]-№ 47

ТІ С 1

Глава 3. Приближение функций класса некоторыми

операторами, предложенными Е.М. Ершовой 53

3 Л. Предварительные замечания 53

3.2. Операторы А 54

5. Операторы )^ 57

6. Операторы D^ 59

Литература 64

Введение к работе

Актуальность темы. Традиционным направлением в теории приближений является эффективное построение и исследование аппроксимативных свойств линейных методов суммирования рядов Фурье.

В недавнее время В.А. Баскаков определил совокупность методов

ІтХкл к ) суммирования рядов Фурье - операторы М¹_п ^{Л 1}'"' ^т> , где ш, к, - целые

параметры, определяющие конкретный вид операторов (Баскаков В.А, Об операторах класса S^m* построенных на ядрах Фейера //Применение функционального анализа в теории прибл. - Тверь, 2001. - С. 5 - 11).

Эта совокупность обладает следующим свойством: для любого класса

W^rH^a найдется аппроксимирующая последовательность, принадлежащая совокупности операторов Баскакова, которая приближает функции этого класса с наилучшим порядком.

Кроме того, результаты, связанные с приближением операторами Баскакова периодической функцией Хевисайда имеют практическое значение и могут быть использованы для проектирования цифровых фильтров [5].

В связи с этим становится актуальным изучение аппроксимативных свойств операторов Баскакова.

Если методы получения аппроксимативных оценок, содержащих константы, для классов «не слишком гладких» функций разработаны и хорошо известны, то получение таких оценок для функций, принадлежащих классам насыщения, в ряде случаев вызывает значительные трудности.

В диссертационной работе решается задача получения аппроксимационных оценок приближения операторами Баскакова функций, принадлежащих классам насыщения. Решение потребовало нетрадиционных подходов.

Цель работы. Работа посвящена изучению аппроксимативных свойств тригонометрических операторов Баскакова M_ni а также получению оценок приближения достаточно гладких функций операторами Баскакова и

5 операторами предложенными в работе Ершовой Е.М. (Ершова Е.М. Операторы классов $2т ^{и их} аппроксимативные свойства: Автореф. дис... канд. физ.-мат.

наук.-М., 2002.-17 с).

Новизна научных результатов. Все основные результаты диссертационной работы являются новыми и снабжены доказательствами.

Предложен новый, подход получения оценок приближения функций, принадлежащих классам насыщения, которым можно применять в тех случаях, когда традиционные подходы не дают результатов.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты, изложенные в диссертации, имеют теоретическое значение и могут быть использованы как в дальнейших исследованиях по теории приближения, так и при чтении специальных курсов по математическому анализу. Кроме того могут быть использованы для проектирования цифровых фильтров.

Защищаемые положения. По результатам исследований можно сделать следующие выводы:

получены оценки приближения операторами Баскакова достаточно гладких функций;

получены линейные комбинации, коэффициенты которых не зависят от п, а сами комбинации имеют лучшие аппроксимативные свойства, чем у тех операторов Баскакова, с помощью которых они образованы;

получены оценки приближения функций класса W*H^l операторами,

предложенными в работе Е.М.Ершовой [15] и функций класса операторами, предложенными тем же автором в работе [16]. Апробация работы. Результаты диссертации докладывались:

на семинарах кафедры ИВТ и ПМ Читинского государственного университета (2001-2005 г.г.);

в Забайкальском государственном педагогическом университете, на семинаре кафедры математического анализа под руководство профессора СЕ. Холодовского (2002 г.);

на научных семинарах Энергетического института ЧитГТУ, г. Чита, 2002 -2005 г.г.;

на второй межрегиональной научно-практической конференции: «Энергетика в современном мире» ЧитГТУ, г. Чита, 2003 г.

на XXVIV школе-семинаре им. Золотова, г. Владивосток, 2004г.;

на Всероссийской научно-практической конференции, Чита, ЗабГПУ 2004 г.;

Публикации. В процессе работы над диссертацией опубликовано 10 печатных работ, из которых одна в соавторстве с Ю.Г. Абакумовым. Одна работа находится в печати.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, и списка литературы. Работа изложена на 69 листах, содержит список литературы, включающий 40 наименований. Нумерация теорем, и предложений в диссертации двойная: первое число - номер главы, второе - номер теоремы, а нумерация следствий сквозная,

Содержание диссертации.

В первой главе устанавливается, что при і > т

м№ь-"'Ц/²',о)=

-ж^2т~¹ П *?"f—' ¹ 2

¹ j = \ 0sin^{zm + z}

а при і < m

м№ ^I²»'^

.2i

_ 2«-l ("1Г-2Л.-1 j" .2 *< J=\ ²,_fil_r2m-l)
-n .—j-x Ukj-\ —— dt + o\n j,

^z 7=1 0 ^sin

где ay специально подобранные коэффициенты.

Для этого предварительно доказана теорема 1.1.

Теорема 1.1. Если при данном х дифференцируемая на {х-ж_ьх + ж)

функция f{t) такова, что функции

{ \

f(x + t)

fix + Л d

sin^2m+2 '

^{J v} ' и — 2m+2 t dt

1)

ограничены, то

_{мЬ *}^m_W*)=

(r\)^m __2m-\ .г *,Ах + 1) + /(х-1)_л 2m-l.^-2m-U

2m+2 t

я 11 n? 'J Z.-J— -ctt.fj +oyn ).

і = 1 0 sin

С помощью этих оценок для любого х получено неравенство (теорема

1.2)

M^'-^k^(f(t),x)-f(x)-

_ -4^.i=^.^-l fi _к2'^ї%._п-2ш-1

,--1(2/)1 2

./ = 1 0 sin

n ,2m+2

(2m+ 2)! 2 ^ ^J I _sin2m+2i. ^V '

В п. 1.6 получены аналогичные оценки для функций класса w^{2m + l}H^a .

Во второй главе исследуются аппроксимативные свойства операторов

2 2 Ч2~Я\

41-ч\

Показано, что порядок насыщения этих операторов равен является основным результатом главы).

Третья глава посвящена приближению функций класса

Зггі

некоторыми операторами, предложенными в работе (см. [15]) Е.М, Ершовой, і

и -2 '

Л +1

cost -

( \ ( Е) ,

Л.

л-иШи -5« + 2\__7Г sin— V

V 2)

_*>|g(M*)-

Я'-И

1-cos

Jln⁴+5H² + 4)-lo(«²+l

х

Я"

-тг

sin—

sin—

^ 2)

( , ^

cos/ - cos—

_*даы=

л- я(з94и^!

(»⁴+к²+і)

—— ^ X

+ 615и⁶-84и⁴+5«²+15)

f . яЛ⁸

Ж 8Ш —

_{х J /(/ + *)—?}

2)

-/г

{ 2л⁴-2л²-з\,

_ч 2(л⁴ + п¹ +1 j J

Заметим, что последняя аппроксимирующая конструкция является оптимальной (для нее дается оценка приближения функции класса W Н ). Для DyAf{t\x) получена оценка

2 л 2 t _ж r-4sin -

²dt-n~³

46 A . 2 * 0 sin —

п А

М _i 25 *_г ^ , _з f _зЛ

< — л: ^- Г <#._и >+о\п I

24 46^ . At ^{Х J}

при условии f(t).

Аналогичная оценка получена для D^ (f{t),x).

Для >J,²g(/W>^x)> /Н^Є^⁵#М получена оценка

!%№*)-Лх) + ^ґ(хУ ₊

2 _л 2 ' 4 . 4 Г

jt С ~4sin —-—sin

²³ ^dt-n'⁵ +

11025 _гщ( ч _i .

+ fix) -ж J

sin⁶-

25216-^{7 v ;} q

_/W(xK

+

я- /⁴-16sin⁴

_/⁽⁴⁾_W^J

0 sin⁶-

^dt-n ⁵

?r ,6

M 11025 _i г ' ^ -5 / -b\
6! 12608 L . fit ^{y J}

Список литературы включает источники, цитируемые в тексте диссертации, а также некоторые другие, непосредственно относящиеся к рассматриваемой теме.

Обозначения используемые в диссертационной работе.

Пусть f{t) ~ 2к -периодическая суммируемая на [- ж,ж\ функция,

S_n (f(t),x) = — + Y, [^ai cos ix + bj sin ix),

i = l

частная сумма ряда Фурье этой функции, где, обычно принято,

і ж і ж

Я/= — lf(t)cositdt, bj ~— lf(t)simtdt.

— ж —ж

Пусть, далее, yt=|^-_K|, п = 0,1,..., i = \_t...tj(n), tj(n)^>oo при п—> оо

Тогда последовательность

_а г){п) L_n [Л, f(t\ х) = — + X X} _п (а₂- cos ix + b^ sin ix) ² і = 1 '

10 называют линейным методом суммирования рядов Фурье. Операторы L (Л, f{t\ х) называют еще и Л - средними сумм Фурье.

Чебышевской нормой в пространстве С_2я- непрерывных 2/г периодических функций будем называть величину !1/Х0|^{= тах}|/(0| -

И~>оо ¹>^п

Для того, чтобы ||1_и(Л,/(^),л:)-/(л:| -»0 для любой /(f) є Сі_ж необходимо и достаточно, чтобы для любого і lim А. =1 и нормы

L (Л, f{t\ х) были равномерно по п ограничены.

Другая форма операторов L (A,f(t), х) имеет вид

L_n(A,f(t\x) = - I f(t + xi-+ І X_incositdt = - \f(t + x)w(t)dt.
^ж-ж V /=1 ' ) ^ж~п

При этом стараются по возможности найти компактную форму записи

ядра W_n{f).

Частные суммы Фурье S_n(f(t\x) (для них Aj _п=\ при i_rt=0

при і > п ) представляются в виде

1 * ^5ІП Г^і)'¹ 1 я-

S_H{f(t\x)=~ J f{t + x) ^V у dt = ± \f(t + x)D_n(t)dt.

-ж 2sm— -ж

Средние Фейера _n(f(t),x), для которых Аг = при /<н-1,

> п

Aj _п = 0 при і > п, имеют следующий вид

. int

sin — _л ж

J /(* + *) =-<& = - J/(/ + jc)F_w(^.

^-я- 2«sin²- *-*

Средние Джексона, для которых коэффициенты суммирования определяются равенствами

, 1 < і < п - 2,

Я; =

(2И-І + 1)! ₁(и-і + і) 1

''" 2n(n²+l) Ц2« -/-2) ! (и-і- 2) !;

Я,- „ —

, и - 2 < і < 2я - 2

1 (2л-і + і) !

^1,П 2п(п² +1) (2И-/-2) !

имеют вид

2и(2«²+і)

я^-

Щ^¹!/^') ³

-ж

sin —

2_

. t sin-

2)

dt.

При п -»со число простых нулей ядра Дирихле Z) (/) неограниченно

возрастает. У ядра Фейера F (?) и у ядер операторов Джексона простых нулей

нет. В последнее время интенсивно изучается промежуточный между этими двумя видами класс методов суммирования рядов, у которых ядра имеют равномерно по п ограниченное количество простых нулей на (- ж, ж).

В работе [9] В,А. Баскаков ввел частный вид, а в работе [10] определил общий вид и основные характеристики операторов

f(t + x)sin ~dt

2k_i ж

cosf-cos

_{4* *}^я_Ыы=

„_] т . _гк:ж 2^{п 1} П sin² -!—

i = l ⁿ_ⁿ_s - ' 2

71-П

.2*

m f -я'знИ- П

²i = l

где m>i ,к\,...,к_т ~ целые параметры, связанные с п неравенствами

В соответствии с определением П.П. Коровкина [25] будем говорить, что

„WW- * . . „

операторы вида L (f(t),x)= { f{t + x)u (f)dt принадлежат классу S_m, если

-ж

u_n(t) имеет на (-ж,ж) т простых нулей и при этом больше ни в одной точке

(- ж,7ї) не меняет знака. Таким образом, операторы мІ^т№ь->кт)

принадлежит классу S2_m

К этим операторам относятся и Операторы введенные Ершовой. В свернутом виде они имеют представление:

315(и⁴+я²+і)

_л2(*м=

л-.и(з94«⁸ +615и⁶ -84л⁴ +5«² +15)

х \ f(t + x) -ж

С . nt sin—

. t

sin —

^ 2)

cosf-

2и⁴-2к²-3 ї(«⁴ + п² +1);

dt.

Похожие диссертации на Оценка характеристик, определяющих аппроксимативные свойства тригонометрических операторов Баскакова и некоторых других методов суммирования рядов Фурье

Спектральные свойства операторов Пуанкаре-СтекловаБогатырев, Андрей Борисович

Исследование структурных свойств операторов прикладного гармонического анализаБеспалов, Михаил Сергеевич

Исследование проблем сплан-функции методами оператора свертки: сплайн-операционное исчислениеЖелудев, Валерий Александрович

Метод аппроксимации эволюционных операторов с помощью экспоненциального представления и рациональных функций в гильбертовом пространствеСелин Алексей Владимирович

Устойчивый метод решения линейных уравнений с некомпактными операторами и его приложения к задачам управления и наблюденияПотапов Михаил Михайлович

Проекционно-сеточные методы для решения нелинейных эллиптических задач с дифференциальными операторами векторного анализаЮлдашев, Олег Ирикевич

Численные методы решения обобщенных спектральных задач для полиномиальных пучков самосопряженных операторовПодлевский, Богдан Михайлович

Исследование трёхпараметрического итерационного метода, ориентированного на решение двух классов задач с нелинейными седловыми операторамиМилютин Сергей Владимирович

Приближение (пси, бета)-дифференцируемых функций операторами, порождаемыми прямоугольными А-методами суммирования рядов и интегралов ФурьеХаркевич, Юрий Илиодорович

Регулярность и аппроксимативные свойства линейных методов суммирования двойных рядов Фурье Носенко Юрий Лаврентьевич