Введение к работе
Актуальность темы. В современной технике иироко используются стержневые системы. Это стержни, балки, рами, фермы сооружений,' решетчатые, сетчатые и другие конструкции. При их расчете применяются различные теории, основанные на гипотезах, таких как Кирхгофа- Лява, Кирхгофа-Клебша и других. Существуют и программные средства строительной механики, базирующиеся на методах сопротивления материалов. Еместе с тем возникает Еопрос о границах применимости этих гипотез и теорий и возможности их уточнения.
Напряженно-деформированное состояние тонкого неоднородного стержня описывается дифференциальными уравнениями в частных производных с быстро меняющимися коэффициентами (задача с малым параметром) .
Решение уравнений указанного вида численными методами мало эффективно или крайне затруднительно, даже при наличии современных ЭВМ, поскольку требуется строить густую сетку с числом узлов, много большим , которая "чувствовала" бы характерную изменяемость коэффициентов.
В качестве основного инструмента 'исследования используется метод осреднения уравнений в частных производных, натедший довольно полное отражение и монографии ЕС. Бахвалов, Г.П. Пчнасенко "Осреднение процессов в периодических средах".
В числе первых работ, посвященных асимптотическому анализу уравнений с быстро осцилирующими коэффициентами были работы Е. Sanchez-Palencia, J. L. Lions, A. Bensoussan, G. Papanicolaou,' I.Babuska, H. С. Бахвалов, О. Олейник, В. Бсрдичевскнй, З.Марченко,
Е. Хруелова. Методика, развитая в отих работах позволяет получать "осредненные" уравнения с постоянными коэффициентами. В работах ЕердпчсЕского ча физическом уровне строгости предлагается методика осреднения вариационных задач в тонких областях. В работах Н. С. Еахвалова впервые встречается ряд, позволяющий построить полное асимптотическое разложение решения.
Задачи,'связанные с теорией погранслоя в неоднородных средах впервые рассмотрены в работах Г. Панасенко.
В работах М. Резцова метод осреднения применен для системы уравнений теории упругости, заданной в тонкой неоднородной пластине ТОЛЩИН! .
Данная работа посвящена асимптотическому анализу (в отсутст
вии ущюеакхцих гипотез) стационарной трехмерной задачи теории уп
ругости в стержне радиуса' с характерным размером неоднород-
ностей также g. Для поставленной задачи строится аналог ряда
Н. Бахвалова. " .
1. Исследование асимптотического поведения решэния стационарной трехмерной задачи теории упругости в тонкой неоднородной цилиндрической области (стержне), имеющей неоднородную структуру.
2: Исследование асимптотического поведения решения стационарной трехмерной задачи теории упругости с простейшими краевыми условиями в тонкой неоднородной цилиндрической области (стержне), имеющей неоднородную структуру, исследование пограничного слоя.
3. Получение оценок близости решений системы уравнений тео-
рий упругости, заданной в периодической среде и усеченных сумм асимптотического разложения.
Общая методика . В диссертации используггсл методы и результаты функционального анализа, теории пространств С. Л. Соболева/ теории обобщенных решений уравнений в частных производных, математической теории линейной упругости. Осреднение уравнений производится с помощью методики осреднения уравнений е частных производных с быстроосциллирующими коэффициентами.
Научная новизна.
1. Методом осреднения исследовано асимптотическое поведение решений периодических стационарных с периодическими граничными условиями и простейшей краевой задач трехмерной теории упругости в тонком неоднородном стержне. Радиус стержня ,-мадий параметр; определен вид асимптотических разложений для решений; описана процедура этих разложений, получены оценки блигости точного и асимптотического решений.
Практическая ценность.
-
Получение асимптотические разложения и оср^дненные уравнения могут быть использованы в задачах оптималы.зго проектирования конструкций из композиционных стержней для предсказания некоторых 'свойств создаваемых композитов.
-
Приведенные в работе асимптотические решения дают возможность сравнивать и оценивать погрешности различных М'/годов построения приближенных теорий (опирающихся на априорны" упрощающие гипотезы), связанные с переходом от трехмерной задачи к двумерной.
Лнпробацня работы. Результаты, входящие в диссертацию, докладывались на семинарах под руководством чл. корр. РАН Н. С. Бахва-лова, о. А. Олешик, Г. П. Панасенко. (МГУ, 1987). -математического семинара им. Петровского , МГУ, 1938 г -математического семинара математического отдела института хим. физики им. Ландау РАН под руководством проф. С. И. Худяева и проф. А. И. Еольперта, Черноголовка 1990 г. -семинар под руководством д. ф.-м. н. С. М. Козлова , МИСИ, 1991 г.
-семинар под руководством йилеякина ", 1991 г, ВЦ МГУ
, микропорист* '
-семинар каф. СЩ1 ПД РУК- Д- Ф--м. н. Ибрагимова А. И.,
мшГии{ів*м4ш г. .
ОУІУккации. По теме диссертации-опубликовано три работы [1-3].
Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и дополнения. Библиография состоит из .37 наименований.
