Введение к работе
Актуальность темы. Интегралы типа Коши лежат в основе построения теории аналитических функций комплексного переменного. Решение многих краевых задач теории аналитических функций выражается через интегралы типа Коши с заданной плотностью или с неизвестными плотностями, для нахождения которых нужно решать в общем случае систему сингулярных интегральных или интегро - дифференциальных уравнений, содержащих сингулярный интеграл - главное значение интеграла типа Коши. Методы приближенного вычисления интегралов типа Коши приобретают все большее теоретическое и практическое значение, поскольку теория краевых задач имеет разнообразные и многочисленные приложения в задачах математической физики, особенно в задачах механики сплошной среды. Поэтому задача построения квадратурных формул для сингулярных интегралов с ядром Коши с плотностью, имеющей особенности на концах и обладающих повышенной скоростью сходимости является весьма актуальной как в теоретическом, так и в чисто прикладном отношении.
Цель работы. Построение квадратурных формул для сингулярных интегралов с ядром Коши, имеющих высокую скорость сходимости (выше степенной).
Методика исследования. Для получения новых квадратур всюду используются узлы оптимальной в классе Харди Hi квадратурной формулы с чебышевским весом для обычных интегралов от функций, аналитических внутри отрезка, построенной Б.А. Са-мокишем, а также квадратурная формула А.А. Корнейчука для сингулярного интеграла с ядром Гильберта, точная для тригонометрических многочленов. При оценке погрешности полученных формул используется представление остатка контурным интегралом, техника контурного интегрирования, теория эллиптических функций Якоби.
Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:
1) впервые получены новые квадратурные формулы для сингулярных интегралов с ядром Коши от функций, имеющих особенности степенного характера на концах промежутка интегрирования, обладающие высокой скоростью сходимости (выше степенной);
2) получены оценки остаточных членов построенных формул, годные для внутренних точек отрезка интегрирования, а также равномерные на всем отрезке.
Практическая значимость. Полученные формулы могут быть использованы при решении сингулярных интегральных уравнений на разомкнутых контурах, и следовательно могут найти применение во всех прикладных задачах, сводящихся к сингулярным интегральным уравнениям на разомкнутых контурах.
Апробация работы и публикации. По результатам диссертации сделаны доклады на семинаре кафедры вычислительной математики СПбГУ. По теме диссертации опубликованы две работы.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на семнадцать параграфов, заключения, одного приложения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 105 страниц. Библиография содержит 33 наименования.
