Введение к работе
Актуальность. Краевые задачи для уравнения конвекции-диффузии с преобладанием конвекции являются типичным примером сингулярно возмущенных задач. Наличие малого параметра при старших производных, характеризующих процесс диффузии, приводит к быстрому росту производных вблизи некоторых участков границы области интегрирования. Поэтому применение метода конечных элементов или разностных методов здесь обладает некоторыми особенностями в сравнении с краевыми задачами без малых параметров. Во-первых, в зоне пограничного слоя необходимо либо явно учитывать вид функций типа пограничного слоя, либо сгущать сетки для компенсации сильного роста производных. Во-вторых, в зоне гладкости, когда влияние старших производных незначительно, разностная сетка или разностная схема должны учитывать тот факт, что уравнение по-существу становится уравнением конвекции, а участок зависимости решения в какой-либо точке этой зоны стремится к куску характеристики уравнения первого порядка. В-третьих, стандартные разностные схемы и схемы метода конечных элементов с центральными разностями теряют устойчивость, а схемы с направленными разностями обладают вычислительной диффузией, которая существенно больше физической диффузии и нарушает даже качественное описания решения. В то же время построение эффективных численных алгоритмов для решения этого класса задач имеет большое практическое и теоретическое значение. С одной стороны, рассмотренные в работе задачи часто выступают как элементы математических моделей при исследовании широкого круга прикладных задач физики, химии, радиоэлектроники, гидродинамики, техники, биологии, теории управления. С другой стороны, они могут рассматриваться как модельные, обладающие характерными чертами некоторого класса сингулярно возмущенных задач для эллиптических и параболических уравнений. Применение разностных методов и метода конечных элементов для аппроксимации дифференциальных уравнений приводит к системам линейных алгебраических уравнений специального вида - к разностным уравнениям. Хотя классический метод последовательного исключения Гаусса известен на протяжении двух веков, проблема получения численного решения системы с требуемой на практике точностью и по возможности с меньшими затратами вычислительных ресурсов остается весьма актуальной.
Целью настоящей диссертационной работы являлось построение эффективных разностных методов аппроксимации задач конвекции - диф-
, ""той
фузии с малым параметром при старших производных и экономичных численных алгоритмов для решения получаемых разностных аналогов. Научная новизна:
для двумерного и трехмерного уравнений конвекции-диффузии с преобладанием конвекции разработан метод построения обратно-монотонных схем второго порядка аппроксимации, а также новый метод переориентации триангуляции области, уменьшающий искусственную вычислительную вязкость;
для решения специальных систем разностных уравнений построена модификация экономичного метода полной редукции и многосеточный метод на основе приближенной редукции.
На защиту выносятся:
метод переориентации триангуляции области для разностной аппроксимации двумерного и трехмерного уравнений конвекции - диффузии;
метод построения разностных уравнений второго порядка аппроксимации, обеспечивающий обратную монотоннось разностного оператора задачи при соотношении h ~ є;
модификация экономичного метода полной редукции для решения систем специальных разностных уравнений, позволяющая найти решение с числом операций, близким к оптимальному;
экономичный многосеточный метод, основанный на приближенной редукции, для решения систем специальных уравнений, к которым сводятся разностные схемы для уравнения конвекции - диффузии.
Достоверность полученных результатов обоснована результатами тестирования использованных методов и сравнением полученных результатов с результатами других исследователей.
Практическая значимость. Результаты работы могут быть использованы при численном решении прикладных задач, возникающих при описании процессов конвекции-диффузии перемешивания и переноса с диффузией в жидких и газообразных средах.
Апробация работы. Результаты настоящей диссертации докладывались на конференции молодых ученых ИВМ СО РАН (Красноярск, 1998), III Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ - 98, Новосибирск, 1998), XXXVII Международной
научной конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 1999), Международных конференциях «Математические модели и методы их исследования» (Красноярск, 1999, 2001), Международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент, практика» (Новосибирск, 2001), Международной конференции по вычислительной математике (Новосибирск, 2002), Ш Международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения" (Красноярск, 2002) и др. Полученные результаты последовательно докладывались также на научных семинарах Института вычислительного моделирования СО РАН.
Публикации и личный вклад автора. По материалам диссертации опубликовано 8 научных работ. Личный вклад автора заключается в разработке, обосновании и реализации алгоритмов.
Структура и объем работы.
Диссертация состоит из введения, трех глав основного текста, заключения и приложения. Список литературы содержит 118 наименование. Работа изложена на 132 страницах.
