Введение к работе
Актуальность темы. Хорошо известно, какую роль играют теоремы о среднем как в качественном исследовании дифференциальных уравнений, так и в численном их анализе. Особое значение приобретают соотношения о среднем в построении и обосновании алгоритмов "блуждания по сферам". Действительно, на основе соотношения о сферическом среднем для уравнения диффузии Г.А.Михайлову и его ученикам удалось .применить общую теорию методов Монте-Карло для решения интегральных уравнений с обобщенным ядром. Это позволило сформулировать единый подход к построению и обоснованию алгоритмов "блуждания по сферам" для скалярных эллиптических уравнений второго порядка. В теории дифференциальных уравнений теоремы о среднем дают априорные оценки решения и его производных, в численном анализе сумматорные схемы. Для систем уравнений и" уравнений более высокого порядка К.К.Сабельфельд использовал принцип выметания и предложил эквивалентную Формулировку в виде локальной системы интегральных уравнений, реализовав эту схему на примере метагармонических уравнений и системы уравнений Ламе.
Эти работы привлекли внимание к построению векторных алгоритмов метода Монте-Карло и стимулировали совместные с автором диссертации работы по выводу новых соотношений о среднем для задач теории упругости.
Следует подчеркнуть что эти соотношения позволяют судить о решении "в целом", что имеет существенное преимущество по сравнению с разностными схемами. Кроме того, они весьма полезны іри решении краевых задач со стохастическими параметрами.
Безусловно, развитие даного метода еще далеко от фазы даже іредварительной теории сколько-нибудь 'завершенного вида, эднако, актуальность работ в данном направлении подтверждается зсе возрастающим интересом к поиску эффективных численных «ётодов, допускающих параллельную реализацию с помощью ;овременных многопроцессорных ЭВМ.
Щелью данной диссертационной работы. является вывод соотношений о сферическом среднем для ряда задач теории упругости и построение на их основе алгоритмов "бдуждания по сферам", обоснование сходимости и оценка трудоемкости этих алгоритмов для специального класса областей.
Научная новизна и практическая ценность. Все основные результаты диссертации являются новыми. Впервые получены соотношения о среднем для ряда задач теории упругости. Для регулярных значений спектрального параметра получена теорема о среднем для уравнения 'Д U. ~ гЦ. -*0 ) Что позволило использовать эквивалентную векторную интегральную формулировку К.К.Сабельфельда.
Теоремы о среднем для системы уравнений псевдоколебаний получены двумя независимыми методами, имеющими самостоятельный і интерес. Построенные алгоритмы "бдуждания по сферам" просты в реализации и могут использоваться для решения задач теории упругости для достаточно широкого класса трехмерных областей. Полученный явный вид соотношений о среднем также представляет интерес при построении априорных оценок и изучении спектральных свойств уравнения Ламе.
Апробация работы. Основные результаты докладывались на семинарах Отдела статистического моделирования в физике ВЦ СО РАН (Новосибирск), на Всесоюзной школе-семинаре "Методы Монте-Карло и их приложения" (Алма-Ата, 1987), на конкурсе молодых ученых Сибири и Дальнего Востока (Новосибирск, 1992), на семинаре профессора Б.Д.Аннина института Гидродинамики СО РАН (Новосибирск, 1993).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 печатных работ.
