Введение к работе
Актуальность темы. Полярная форма введена де Кастельжо и Ремшоу в 1985 г. Полярной формой алгебраического полинома
n*) = Er*=oCrW (і)
называется симметрический, мультиаффинный полином от г переменных вида
р(6> ,&) = *=оа*ст*(ь .,), (2)
где ff*(i,...,r) ~ основные симметрические полиномы. Значения полярной формы (2) при конкретных значениях i,...,r называются полюсами полинома (1). Полюс р(х,... ,х) называется простым. Очевидно, что р(х,... ,х) = Р{х). Алгоритм вычисления значений простых полюсов по полюсамp(j,..., fJ+r_i), j — 1,2,..., г+ 1, где & < & < - - - < r < 6+1 < 6+2 < - - < &г, предложил де Кастельжо. Этот алгоритм представляет собой, по существу, метод последовательных линейных интерполяций. Было замечено, что вычислительные формулы алгоритма де Кастельжо идентичны формулам Кокса - де Бора вычисления значений полиномиального сплайна. Тем самым, определилось взаимодействие теории полярных форм и теории полиномиальных сплайнов.
В теории полярных форм основное внимание уделялось алгоритмическим аспектам. В настояшей работе построены аналитические основы теории полярных форм и осуществлено развитие этой теории на случай полиномиальных сплайнов с простыми и кратными узлами. Это выводит теорию полярных форм на новый математический уровень, обогащает теорию полиномиальных сплайнов п позволяет более эффективно развивать технологии моделирования кривых.
Цель работы.
-
Построение аналитических основ теории полярных форм.
-
Развитие теории полярных форм на случай полиномиальных сплайнов со строго упорядоченными (простыми) и повторяющимися (кратными) узлами.
-
Постановка и исследование вопроса о разрешимости задачи сплайн-интерполяции по полюсам.
-
Применение теории полярных форм для обоснования понятия характеристического многоугольника полиномиального сплайна и совершенствования алгоритмов геометрического моделирования кривых.
Методика исследования. В работе использовались методы теории полиномиальных сплайнов, а также свойства симметрических полиномов и разделённых разностей с кратными узлами.
Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты.
-
Доказана однозначная разрешимость задачи интерполяции по полюсам полинома.
-
Получены фундаментальные решения задачи интерполяции по полюсам полинома. В частном случае значений полюсов и расположения узлов интерполяционный по полюсам полином является полиномом Бернштейна.
-
Получен полярный аналог формулы Ньютона для интерполяционного по полюсам полинома.
-
Введены понятия полярной формы и полюса полиномиального сплайна для случаев простых и кратных узлов. Установлена связь полюсов полиномиального сплайна с полюсами составляющих его полиномов.
-
Получены необходимые и достаточные условия разрешимости задачи сплайн-интерполяции по полюсам для случаев простых и кратных узлов.
-
Предложен численный метод решения задачи сплайн-интерполяции по простым полюсам.
7) С точки зрения теории полярных форм построен характеристический многоугольник полиномиального сплайна и обоснованы алгоритмы геометрического моделирования кривых.
Практическая ценность. Результаты диссертации могут быть использованы при разработке автоматизированных систем моделирования кривых.
Апробация работы и публикации. По результатам диссертации сделаны доклады на семинаре кафедры исследования операций и семинаре по нелинейным экстремальным задачам при С.-Петербургском университете, на С.-Петербургском городском семинаре по конструктивной теории функций, на научно-методическом семинаре С.-Петербургского института машиностроения. По теме диссертации опубликованы две работы.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 18 параграфов, и списка литературы. Объем диссертации — 1І4 страниц. Список литературы насчитывает 37 наименований. В диссертации имеется 10 рисунков.
