Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Свойства полиномиальных функций над примарным кольцом вычетов 13
1.1. Отношение сравнимости и Т-функции 13
1.2. Формальные производные многочленов над примарным кольцом вычетов 20
1.3. Полиномиальные функции над примарным кольцом вычетов и п квазигруппы 26
1.4. Мощность класса Тр2(п) 34
1.5. Алгоритм решения систем полиномиальных уравнений над примарным кольцом вычетов 37
Выводы по главе 47
Глава 2. Функции с вариационно-координатной полиномиальностью над кольцом вычетов 49
2.1. Определение и общие свойства функций с вариационно-координатной полиномиальностью над кольцом вычетов 49
2.2. Оценка числа ВКП функций от п переменных над примарным кольцом вычетов 57
2.3. Соотношение между классами полиномиальных и ВКП-функций 60
2.4. Алгоритм решения систем ВКП-уравнений над примарным кольцом вычетов 68
Выводы по главе 75
Глава 3. Приложения класса ВКП-функций над примарным кольцом вычетов и его обобщения 77
3.1. ВКП-функций над примарным кольцом вычетов и п-квазигруппы 77
3.2. Класс функций с координатной L-линейной разрешимостью 94
3.3. Изучение периодических свойств одного ВКП-генератора 115
Выводы по главе 134
Заключение 135
Список сокращений и условных обозначений 137
Литература
- Формальные производные многочленов над примарным кольцом вычетов
- Алгоритм решения систем полиномиальных уравнений над примарным кольцом вычетов
- Оценка числа ВКП функций от п переменных над примарным кольцом вычетов
- Изучение периодических свойств одного ВКП-генератора
Формальные производные многочленов над примарным кольцом вычетов
Сначала приведем краткий обзор свойств функций, сохраняющих отношение сравнимости. Эти свойства в дальнейшем понадобятся для описания свойств изучаемого в настоящей работе класса функций. Ниже для функции f(xt,... ,хп) от переменных х1,...,хп, будем использовать краткую запись f(x). Класс всех функций от п переменных над кольцом вычетов 7Lk обозначим Тк(п). При этом равенства f(x) = д(х) или сравнения вида f(x) = д(х) (mod р;) будем понимать соответственно как равенство и сравнение, справедливые для любого х. Всюду далее считаем (если не оговорено иное) что т,п - произвольные натуральные числа, т 1 и р - простое.
Напомним сначала некоторые определения ([25, 49]). Определение 1.1. Наборы целых чисел сравнимы по модулю d (или а = (3 (mod d)), если at = Ь; (mod d) для всед- і Є 1, п. Определение 1.1 позволяет задать на множестве целочисленных наборов отношение сравнимости по модулю d, которое будет при этом являться отношением эквивалентности. Определение 1.2. Функция f(x) Є Трт(п) сохраняет отношение сравнимости по модулю d рт, если на сравнимых по модулю d наборах она принимает сравнимые значения по модулю d. Определение 1.3. Будем считать, что класс функций сохраняет отношение сравнимости по модулю d \ рт, если любая функция из заданного класса сохраняет это отношение. Обозначим через Ърт(п) - класс всех функций над 7Lpm от п переменных, сохраняющих отношение сравнимости по любому делителю рт, или, что то же самое, сохраняющих любую конгруэнцию кольца 7Lpm.
Приведем в этой связи некоторые сведения и результаты, описанные в работах B.C. Анашина (см., например, [48, 49, 50]). В этих работах рассматривались функции, определенные на кольце целых /?-адических чисел и сохраняющие отношение сравнимости.
Пусть р - произвольное простое число. Согласно основной теореме арифметики любое ненулевое число п Є TL может быть единственным образом представлено в виде: n = pordpn . где ft Є Ъ \{0), р \ пи ordp пМ0. Если а, Ъ Є TL \{0), то определим значение: а ordp — = ordp а — ordp b. Определение 1.4. р-адическим абсолютным значение числа х Є Q\{0) называется величина, определяемая равенством:
При этом полагают, что 0р = 0. Известно, что /?-адическое абсолютное значение является нормой и задает на Q следующую /?-адическую метрику
Пара (Q, dp) образует метрическое пространство, при этом метрика dp является неархимедовой (ультраметрикой, т.е. для нее выполняется усиленное неравенство треугольника). Отметим, что по теореме Островского ([49]), любая нетривиальная норма в поле Q эквивалентна (т.е. задает одну и ту же топологию) либо действительному модулю, либо /?-адическому абсолютному значению.
Метрическое пространство (Q, dp) не является полным, т.е. не всякая фундаментальная последовательность (последовательность Копій) сходится по метрике dp к элементу из Q. Пополнение Qp данного пространства является полем и называется полем /?-адических чисел. Множество является подкольцом поля Qp и называется кольцом целых /?-адических чисел. В работах [48, 49, 50] оно обозначается Жр, однако, чтобы не путать его с полем вычетов по модулю р, в настоящей работе будем использовать указанное обозначение. Например, любое целое число х Є TL является целым /?-адическим числом.
Любая конгруэнция такого кольца эквивалентна отношению сравнимости по некоторому его идеалу pmZ(p). Если элементы а,Ь Є Z(p) сравнимы по идеалу pmZ(p), то пишут а = Ъ (mod pm) и говорят о сравнимости по модулю рт. Известно ([49]), что верен следующий критерий сравнимости для целых р-адических чисел: а = Ъ (mod pm) тогда и только тогда, когда \а — Ь\р р т. Кроме того, имеет место изоморфизм факторкольца Z(p)/pmZ(p) = Жрт кольцу вычетов по модулю рт.
Справедливо следующее утверждение о представлении чисел кольца Ъ (известное, например, из работы B.C. Анашина [49]). Утверждение 1.1. ([49]) Любой элемент х Є Z(p) может быть представлен в виде суммы ряда: где сходимость ряда понимается относительно р-адической метрики dp. Пример 1.1. Для любого простого р верно разложение для -1: будем называть координатными функциями в координатном множестве Ъ, а элементы а = //(а) Є Ъ координатами элемента а в координатном множестве Ъ.
Координатные функции у,: 1.рт - Ъ, j = 0,т — 1, аналогичным образом можно определить для элементов любого примарного кольца вычетов 7Lpm (см., например, работы [28, 34]). Также, аналогично утверждению 1.1, любой элемент х Є 7Lpm однозначно представим в виде суммы конечного ряда (р-ичного разложения целого числа):
При этом любую координатную функцию yjf, j = О, т — 1, можно рассматривать как функцию Yjf: Ъпт -» Ъ от пт переменных над полем , в роли которых выступают координаты х 0- , ...д . В таком случае будем предполагать, что координаты переменных расположены в указанном порядке, т.е. Yjf = Yjf(x(\ ...д "1 ). Следовательно, любая такая координатная функция может быть представлена многочленом над полем Ъ от указанных переменных ([25]).
Введенное /?-адическое абсолютное значение -р легко продолжается на Щр), положив ДЛЯ X Є Щру xp = max{Xjp,i = T/n). Используя введенные величины, сформулируем следующие определения (см. [49]).
Определение 1.7. Функция /(х):2 л -» Z(p) называется совместимой, если она сохраняет любую конгруэнцию Z(p), или, что то же самое, сохраняет отношение сравнимости по модулю рт для любого т EN.
Определение 1.8. Функция f(x): l!L\ -» Z(p) удовлетворяет условию Липшица с коэффициентом 1, если для любых х, у Є Щ выполняется неравенство: 1/(х)-/(у)р х-ур. Определение 1.9. Функция /(x):Z p) Z(p) называется Т-функцией, или треугольной функцией, если для любого j Є М0 ее _/-я координатная функция зависит только от координат переменных х 0- , ...,х, т.е. если /(х) имеет вид:
Теперь сформулируем известный из работ B.C. Анашина результат о соотношении приведенных классов функций, который в дальнейшем будет использован для доказательства автором диссертации свойств Т-функций над примарным кольцом вычетов. Теорема 1.2. ([49]) Пусть f(x): Щр\ -» Z(p). Тогда равносильны утверждения:
Тогда для совместимой функции /(х): Zp) - Z(p) корректно определена функция / Є Трт(п): f{j(cLi), т(ап)) = т(/(а:)), а = (а1;..., ап) Є Щр-), которая индуцируется функцией f(x). При этом, поскольку f(x) является совместимой (а значит, сохраняет отношение сравнимости по любому модулю рк, к Є 1, m), то, очевидно, и /(х) сохраняет отношение сравнимости по любому делителю рт, т.е. /(х) Є Т рт(п).
Алгоритм решения систем полиномиальных уравнений над примарным кольцом вычетов
В данном параграфе опишем важные известные свойства полиномиальных функций, связанные с «-квазигруппами. Используя также известные утверждения, получим критерий того, что полиномиальная функция задает «-квазигруппу. Формулируемые ниже утверждения будут в третьей главе обобщены на более широкий класс функций.
Напомним ([14, 15]), что пара (Q,f), где f:Qn Q и Q конечное множество, называется w-квазигруппой (или «-арной квазигруппой), если унарная операция, полученная фиксацией всех аргументов операции /, кроме одного, любыми значениями из Q, является биекцией (такая унарная операция называется элементарной трансляцией). Иногда «-квазигруппой также называют саму функцию /. При п = 1 «-квазигруппа - это подстановка элементов Q. Если Q -кольцо и функция / является полиномиальной над Q, то такая квазигруппа также называется полиномиальной.
Для любой полиномиальной функции f(x) над кольцом 7Lpm очевидным образом определяется функция f(x) (modpfe), к Є 1,т, которая получается путем приведения коэффициентов некоторого полиномиального представления f(x) по модулю рк и рассматривается над кольцом вычетов Ж к. Такое определение корректно и не зависит от представления функции fix), так как f(x) сохраняет отношение сравнимости по модулю рк. Подобная процедура приведения по модулю определялась для совместимых функций в 1.1. В частности, f(x) (modp) является функцией над полем Щ,, однако, ее также можно рассматривать и как функцию над полем Ъ.
Сформулируем известные сведения о биективных полиномиальных преобразованиях кольца вычетов Zpm, полученные ранее различными авторами (например, работы [40, 50, 61, 64, 67]).
Теорема 1.10. ([64]) Функция /(х) Є Tpm(V) задает биективное преобразование (подстановку) кольца 7Lpm тогда и только тогда, когда одновременно выполняются следующие условия: 1) /(х) (mod р) задает биективное преобразование поля Ъ; 2) fix) (mod р) не имеет корней в поле Ъ. Данный критерий справедлив и для конечных коммутативных локальных колец R, где в качестве Ъ берется поле вычетов R/J(R) кольца R и/(Д) - радикал Джекобсона. Пример 1.8. Используя данную теорему, легко показать, что в таком случае многочлен fix) = х5 + х3 + х + 1 над кольцом J.2m при любом ж 1 задает биекцию. Действительно, fix) = х + 1 (mod 2). Значит, /(х) биективна по модулю 2. В то же время, f (x) = 5х4 + Зх2 + 1 = 1 (mod 2) не имеет корней в поле Ъ.
Приведем примеры, показывающие независимость используемых в теореме условий, которые будут необходимы в третьей главе. Пример 1.9. Пусть fix) = х2 + х Є Т2т(Х)- Тогда f{x) = 0 (mod 2) и следовательно, /(x)(mod2) не является биекцией поля Ъ. В то же время, f (x) = 2х + 1 = 1 (mod 2) не имеет корней в поле Ъ. Отсюда следует, что fix) не задает подстановку кольца 7L2m ни при каком ттг 1. Пример 1.10. Пусть f(x) = х3 Є Т3т(1). Тогда /(х) = х3 = х (mod3) задает биекцию на , при этом f (x) = Зх2 = 0 (mod3). Следовательно, /(х) не задает подстановку кольца 7L3m ни при каком т 1.
Справедлив также известный ([37]) критерий биективности полиномиальной функции, который непосредственно следует из теоремы 1.10. Утверждение 1.11. ([37]) Функция /(х) Є Tpm(V) задает биективное преобразование (подстановку) кольца 7Lpm тогда и только тогда, когда /(х) (modp2) задает биекцию кольца Ър1 (т.е. функция биективна по модулю Следовательно, согласно утверждению 1.11 многочлен /(х) задает биекцию на элементах кольца Z2 при любом m 1. Сформулируем представленнный в [67] критерий того, согласно которому полиномиальная функция /(х) Є Трт(п) задает «-квазигруппу. Теорема 1.12. ([67]) Функция /(х) Урт(п) задает п-квазигруппу (п 1) на кольце 7Lpm тогда и только тогда, когда для любых (а1;..., ап_1) Є Sn_1 каждая из полиномиальных функций:
Используя теоремы 1.10 и 1.12, автором настоящей работы получен критерий (и следствие из него), согласно которому функция /(х) Є Трт(п) задает «-квазигруппу на 7Lpm. Доказательство данного критерия опустим, поскольку докажем его для более широкого класса функций в главе 3.
Аналогично случаю функций от одной переменной из теоремы 1.13, можно получить следующее следствие.
Следствие. Функция f(x) Є Трт(п) задает п-квазигруппу на кольце 7Lpm тогда и только тогда, когда /(x)(modp2) задает п-квазигруппу на кольце Ърг (т.е. задает п-квазигруппу по модулю р2). мультипликативная группа кольца вычетов Zpm, а 0(Жрт — множество делителей нуля в 7Lpm или, что то же самое, - необратимых элементов 7Lpm. Тогда его формальные частные производные по переменным х, у равны соответственно:
Вектор (%, а3) не содержит нулевых компонент. Приведя fix,у) по модулю р, получим: fix, у) = а±х + а3у (modp), at ї 0 (modp), і Є {1,3}. Таким образом, fix,у) (modp) - линейная функция над полем Ъ. Очевидно, что она задает 2-квазигруппу на и для многочлена fix,у) выполнены все условия теоремы 1.13, а значит fix, у) задает 2-квазигруппу на кольце 7Lpm при любых отмеченных выше параметрах.
В литературе 2-квазигруппы называют просто квазигруппами и их таблицы Кэли, соответственно, являются латинскими квадратами. По этой причине пример 1.12 показывает способ построения целого класса латинских квадратов. В работах [24, 45] приводится описание различных практических применений латинских квадратов.
Пусть (/i(x), ...,/г(х)) - система многочленов над кольцом 7Lpm от п переменных. Она задает полиномиальную вектор-функцию F: Ж т -» Ж т F = ifi — fi)- Матрица, составленная из формальных частных производных
Отметим, что матрица Якоби определяется для систем многочленов, а не для произвольной полиномиальной вектор-функции (fi — fi), в силу зависимости значений такой матрицы в точке х и ее определителя - якобиана - от полиномиального представления компонент ft. Однако, если привести матрицу Якоби JF(x) по модулю р, то значения полученной матрицы и ее якобиана в точке х не будут зависеть от полиномиального представления компонент ft (см. утверждение 1.8). Приведенные рассуждения делают корректными формулировки изложенных ниже теорем.
Результаты о биективности полиномиальной функции от одной переменной обобщены различными авторами на случай полиномиальной вектор-функции F(x) = (/i(x), ..., fn(x)) от п переменных в теореме 1.14 ([50, 60, 72]), которую также можно сформулировать для конечных коммутативных локальных колец. В главе 3 излагаемый ниже критерий обобщен автором настоящей работы на случай более широкого класса вектор-функций.
Оценка числа ВКП функций от п переменных над примарным кольцом вычетов
В данной главе вводится важное для всего исследования понятие -функции с вариационно-координатной полиномиальностью (BKQ-функции) над кольцом вычетов. Вначале автором дается определение ВКП-функции над примарным кольцом вычетов и доказываются некоторые свойства класса таких функций, а затем - определение ВКП-функции над произвольным кольцом вычетов. Автором доказаны оценки мощности введенного класса над 7Lpm и его соотношения с классом полиномиальных функций. В заключение главы приводится авторский алгоритм решения систем ВКП-уравнений, основанный на методе покоординатной линеаризации и обобщающий алгоритм 1 из первой главы. Результаты главы опубликованы в работах [1, 2, 3, 8, 9].
Определение и общие свойства функций с вариационно-координатной полиномиальностью над кольцом вычетов
Определение 2.1. Функцию f(x) Є Трт(п), т EN, назовем вариационно-координатно полиномиальной (или ВКП-функцией), если для любого j Є 0, т — 1 существует полиномиальная функция Ру(х) Є Трт(п), j-я координатная функция которой совпадает cj-й координатной функцией функции f(x), т.е. выполняется равенство:
В условиях определения 2.1 будем считать, что функция f(x) обладает свойством вариационно-координатной полиномиальности. Класс всех ВКП-функций от п переменных над 7Lpm обозначим через СТрт(п).
Поясним введенное определение. Произвольная функция f(x) E!Fpm(n) является вариационно-координатно полиномиальной, если существуют такие многочлены, или полиномиальные функции, Ро(х), Pi(x),..., ртп_1(х) (над кольцом 7Lpm и их переменные принимают значения из этого кольца), что выполнено равенство для всех а Є Jllm. Будем называть рДх) многочленом у-й координаты функции /(х), или ее у-м координатным многочленом. При этом отметим, что данный многочлен для функции f(x) определяется неоднозначно. Использование в терминологии слова «вариационно-» подчеркивает тот факт, что данные координатные многочлены могут быть разными для различных координат.
Данная ВКП-функция является полиномиальной, однако, любое ее полиномиальное представление имеет степень не меньше 3 (доказывается непосредственной проверкой). В частности, одно из таких представлений равно 2х3 + Зх. Это показывает, что, используя полиномиальные функции некоторой фиксированной степени нелинейности, можно строить функции большей степени нелинейности. Один из подходов к определению степени нелинейности функций, заданных на абелевых группах, указан в [46, 47]. Пример 2.2. Построим ВКП-функцию над Z4 координатными многочленами:
Ее значения представлены в табл. 2.2. Такая функция является полиномиальной и представима многочленом х2 + ху + у2 + х2у2. Легко заметить, что данный многочлен устроен «сложнее» каждого из координатных многочленов. Это означает, что свойство вариационно-координатной полиномиальности можно использовать для задания функции (в том числе, и полиномиальной).
Следующая теорема, полученная автором диссертации, устанавливает, что ВКП-функции, также как и полиномиальные функции, сохраняют отношение сравнимости по любому делителю рт.
Теорема 2.2. При любом п Є N класс ВКП-функции СТрт(п) сохраняет отношение сравнимости по любому делителю рт, т.е. справедливо включение:
Сравнения (2.1.3) позволяет (в некотором смысле) считать, что многочлен нулевой координаты ВКП-функции является многочленом над полем , при этом он задает функцию над полем Ъ от младших координат аргументов: 7оРо(х(0)):п . Как известно, любая функция над полем полиномиальна и при этом однозначно представима многочленом, у которого степени входящих в него переменных не превосходят р — 1 ([25]). Поэтому можно считать, что многочлен нулевой координаты определяется однозначно. По значениям самой функции / Є СТрт(п) данный многочлен легко восстановить, используя сравнения
В следующей теореме, доказанной автором, описывается строение координатных функций /у/ ВКП-функций, рассматриваемых над полем Ъ. При этом, как и ранее, будем предполагать, что порядок следования их переменных соответствует возрастанию номеров координат. в которых левые части fi(x1, ...,хп) являются ВКП-функциями. В дальнейшем такие системы будем называть системами ВКП-уравнений. Идея использования данного свойства заключается в следующем. При нахождении координат неизвестных переменных до у-го порядка включительно, (у + 1)-я координатная функция каждой из ВКП-функций, входящих в систему, становится аффинной относительно неизвестных (у + 1)-х координат. Как следствие, можно свести задачу их нахождения к решению некоторой системы линейных уравнений над полем Ъ.
Докажем формулу Тейлора для ВКП-функций, обобщающую утверждение 1.6. Этот результат в определенном смысле оправдывает терминологию «полиномиальность» в названии ВКП-функций.
Изучение периодических свойств одного ВКП-генератора
Рассмотренное описание класса ВКП-функций носит конструктивный характер, поскольку в явном виде предлагает задание функций из этого класса. При этом важное свойство, которым обладают данные функции, описывается в теореме 2.3. А именно, оно заключается в том, что каждая у-я координатная функция (у 1) BKQ-функции является аффинной по j-ш координатам переменных (при фиксированных координатах меньшего порядка). Указанное свойство является ключевым при решении систем ВКП-уравнений. По этой причине интересным представляется вопрос об описании всех функций над примарным кольцом Zpm, которые им обладают, поскольку системы уравнений, левые части которых образованы такими функциями, могут быть решены «покоординатно». В данном параграфе автором будет предложен в некотором смысле аксиоматический подход к определению функций, имеющих описанное свойство.
Определение 3.4. Функцию f(x) Є Трт(п) назовем координатно L-линейно разрешимой (или L-KJIP-функцией), L Q О, т — 1, если она является Т-функцией и при любом j Є L, і Ф 0, существуют такие функции д ,д Ъщ - Ъ, і = 1,п, что У;/(х) = У;/(х xO-)) =
При заданном подмножестве X = 0, т — 1 обозначим класс всех Х-КЛР-функций от п переменных над 7Lpm через CSpm(n). При этом в условиях определения 3.4 будем также считать, что функция f(x) обладает свойством координатной Х-линейной разрешимости. В том случае, когда нам неважно множество L либо оно определено контекстом, будем говорить просто о КЛР-функциях и о свойстве координатно-линейной разрешимости.
Введенный класс функций обобщает в некотором смысле классы ВКП и квази-ВКП-функций, поскольку в нем условие, налагаемое на функцию д менее жесткое - функция gji может зависеть от всех координат меньшего порядка, а не только от младших х 0- . При этом отметим, что для Х-КЛР-функции, при j Є 0,m — 1\Х существует функция ду.Ъп +1 - , для которой: (х 1 ) 0 2 (8) х 0 2 - существенно зависит от х . По этой же причине она не является и BKQ-функцией. Заметим, что эта функция также задает подстановку на Ъ27. Остается рассмотреть случай L = 1, т — 1, т = 2. Для этого ответим сначала на вопрос о мощности класса Х-КЛР-функций. В отличие от случая ВКП-функций, здесь можно найти ее точное значение. Предварительно докажем следующую лемму.
В соответствии с определением 3.4, любая Х-КЛР-функция /(х) сохраняет отношение сравнимости по делителям рт, поэтому данное условие является необходимым для принадлежности произвольной функции классу CLS т(п). Данное свойство не является достаточным в общем случае. Однако при L =
Следствие. Класс L-KJIP-функцией CLS т(п), = 1, т — 1, совпадает с классом Т-функций Т)рт(п) тогда и только тогда, когда одновременно р = 2, п = 1. Следствие. Класс ВКП-функцией СТрт(п), совпадает с классом Т-функций Т)рт(п) тогда и только тогда, когда одновременно р = 2, т = 2, п = 1. Это справедливо и для класса полиномиальных функций Трт(п).
Автором далее доказана определенная замкнутость класса КЛР-функций при применении суперпозиции. Теорема 3.17. Пусть \,2 Q 0,т — 1, к,п Є N. Если функции f Є CS m(ri) и ht,...,hn Є CSpm(k), то функция f(ht, ...,hn) Є CSpm 2{k). Доказательство. Пусть u(x) = /(/ (x),...,/in(x)), проверим, что u(x) является Т-функцией. Действительно, при любому Є 0,ж — 1: Yju(x) = y,-/(/ii(x),..., hn(x)) = = У//(УО І(Х), ...,y0hn(x),...,YjК(x), ...,Yjhn(x)y Поскольку при любом s Є 0,j и і Є 1,77, координатная функция Ysh-i(x) зависит от координат переменных х 0- , ...,х , постольку у-я координатная функция ууіі(х) зависит от координат х 0- ,..., х \ а следовательно, и(х) - Т-функция.
Если г П 2 = 0, то утверждение верно в силу равенства CLS т (k) = Ърт(к). Если же ± П 2 Ф 0, то возьмем j Є ± П L2, j Ф 0, и рассмотрим j-ю координатную функцию y_/ii(x). Обозначим через g gL и g\g,\ (I = 1,п) функции из определения 3.4 для / и hi соответственно. Тогда имеем:
Таким образом, функция и является г П 2-КЛР-функцией. Из данной теоремы получим важное следствие. Пусть ЭС - некоторый класс функций, обозначим через [ЭС] - замыкание этого класса (состоящее из всех функций, представимых формулой над ЭС, или что то же самое, содержащее все возможные суперпозиции функций из ЭС). Класс функций ЭС называется замкнутым, если его замыкание [ЭС] совпадает с самим собой. Следствие. При любых п EN и Q 0, т — 1 справедливо:
Доказательство. Действительно, по доказанной теореме суперпозиция любых Х-КЛР-функций является снова Х-КЛР-функцией, отсюда и следует замкнутость класса CS т(п). ш совпадают. Открытым остается вопрос о замкнутости класса ВКП-функций и о его соотношении с классом квази-ВКП-функций. Следует заметить, что автор считает возможным выдвинуть гипотезу о том, что классы QCTpm(n) и СТрт(п) совпадают, однако ему пока не удалось ее доказать.