Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Групповой анализ дифференциальных уравнений, описывающих деструкцию теплозащитных материалов 19
1.1. Постановка задачи 19
1.2. Группы, допускаемые дифференпиальными уравнениями, описывающими движение пленки расплавана осесимметричных телах вращения 27
1.3. Инвариантные решения и физическая интерпретация некоторых из них 42
1.4. Новые автомодельные решения уравнений несжимаемого пограничного слоя 54
1.5. Групповые свойства и инвариантные решения уравнения теплопроводности . 61
Глава 2. Методы расчета деструкции некоторых теплозащитных материалов в высокоскоростном и высо котемпературном потоке газа 65
2.1. Редукция уравнений и граничных условий, моделирующих течение пленки расплава на осесимметричных телах вращения 65
2.2. Приближенный метод расчета основных характеристик разрушения аморфных материалов 73
2.3. Методика расчета основных характеристик разрушения материала в окрестности точки торможения осе симметричного тела 80
2.4. Точный метод расчета характеристик разрушения кристаллических материалов 86
2.5. Автомодельные решения в задаче о нестапионарной деструкции материала 90
Глава 3. Идентификация теплофизических свойств некоторых разрушающихся теплозащитных материалов 97
3.1. Постановка задачи идентификапии параметров вязкости аморфного материала и алгоритм ее решения 97
3.2. Постановка и решение задачи идентификапии параметра теплопроводности кристаллического материала 104
Заключение 110
Список использованных источников 112
Приложения 118
- Группы, допускаемые дифференпиальными уравнениями, описывающими движение пленки расплавана осесимметричных телах вращения
- Групповые свойства и инвариантные решения уравнения теплопроводности
- Приближенный метод расчета основных характеристик разрушения аморфных материалов
- Постановка и решение задачи идентификапии параметра теплопроводности кристаллического материала
Введение к работе
В настоящее время при разработке теплозащитных покрытий широко используются материалы, на поверхности которых в результате воздействия высокоскоростного и высокотемпературного потока газа может образовываться жидкая пленка расплава.
Для теплозащитных покрытий применяются также и коксующиеся материалы, которые при нагревании разрушаются как на внешней гранипе, так и изнутри. В результате разрушения такого покрытия образуется твердый пористый каркас, через который выделяются газообразные продукты разрушения /I/, /4/, /5/, /28/, /43/, /52/, /59/.
Задачи, где имеют,место фазовые превращения, сопровождающиеся разрушением (деструкпией) материала при его горении или плавлении встречаются, например, при расчете температурного поля теплозащитного материала, которым покрываются головные части летательных аппаратов, индукпионные угольные печи в электрометаллургии, плазменные установки и т.д.
Основным способом тепловой защиты головных частей летательных аппаратов, стенок сопел реактивных двигателей и т.д., слу -жат специальные покрытия из стеклопластика, графита и других композиционных материалов, которые в пропессе эксплуатании оплавляются, испаряются, обугливаются и сносятся обтекающим потоком. В качестве тепловой защиты используются также некоторые тугоплавкие кристаллические металлы: вольфрам,' молибден.
Решение задачи о взаимодействии теплозащитных материалов с высокотемпературным и высокоскоростным потоком газа необходимо для обоснования и рационального выбора тепловой защиты. Это требует совместного решения задачи тепломассообмена в газооб-
разном пограничном слое, жидкой пленке расплава и прогретом слое твердой оболочки /44/, /45/, /51/. Отметим некоторые трудности, связанные со сложностью решения таких задач :
математическая модель деструкпии теплозащитных материалов описывается нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных с нелинейными краевыми условиями, которые записываются на поверхности разрыва основных характеристик течения,
исходная физическая модель данного явления очень сложна, а коэффициенты переноса и другие физико-химические параметры недостаточно достоверны /45/, что, в основном, связано с высоким уровнем рабочих температур,
при интенсивном испарении с поверхности тела, что соот-вествует сильному вдуву, нельзя использовать уравнения ламинарного пограничного слоя в газе.
Ввиду указанных сложностей, обычно поступают следующим образом /44, 45/ : получают решение исходных уравнений для каждой зоны ( газообразной, жидкой и исходного твердого материала ) в конечном виде как некоторую функцию краевых условий и далее стыкуют эти решения друг с другом.
Практическая важность решения проблемы тепловой защиты стимулирует разработку в настоящее время экспериментальных и теоретических исследований. Эти исследования направлены на выяснение главных факторов, влияющих на процессы взаимодействия нагретого газа и материала покрытия, на определение теплофизических свойств разрушающихся материалов, на расчет основных параметров разрушения теплозащитных покрытий и т.д. Судить о характере этих процессов можно лишь на основании сравнения расчетных и измеренных значений некоторых суммарных параметров, таких, как G^ -суммарная скорость уноса массы и 1^ -температура на разрушающейся поверхности, так как прямые измерения в подповерхностном
слое практически невозможны из-за высокого уровня температур и быстрого протекание всех пропессов /45/ .
Саттон Дж. У., в недавно вышедшей статье /50/, делится личными впечатлениями по созданию тепловой защиты в США, а также кратко прослеживает предысторию этого вопроса.
Основополагающей работой по уносу массы оплавлением, как отмечено в /38/, была работа Саттона /49/. Для решения задач, на поверхности материалов которых образуется тонкая движущаяся пленка расплава, он предложил использовать уравнение пограничного слоя. Рассмотрим кратко последнюю из указанных работ.
Используя переменные Дородшшина-Диза, Саттон преобразует уравнения пограничного слоя в обыкновенные дифференциальные уравнения, которые при определенных допущениях справедливы только в окрестности точки торможения осесимметричного затупленного тела. При этом эти уравнения рассматривались с граничными условиями простейшего вида, когда температура на разрушающейся поверхности и испарение задаются параметрически, В качестве примера рассматривался стеклообразный материал пирекс. В этой работе подчеркивается, что вязкость, являющаяся функцией температуры, играет определяющую роль в определении скорости уноса массы материала в расплавленном виде.
Позднее появилось большое количество работ, в которых предлагались те или иные приближенные методы решения поставленной Саттоном проблемы. Эти приближенные методы обычно базируются на допущениях, которые диктуются математическими соображениями или основаны на приближенных опенках. Одной из таких фундаментальных работ является работа Лиза Л. /30/ .
В /30/ для получения конечных формул по расчету основных характеристик разрушения материала, качественной и количественной их опенки были сделаны следующие допущения при решении урав-
- 9 -нений пограничного слоя :
теплофизические свойства материала полагались постоянными,
в уравнении энергии для пленки расплава пренебрегали конвективными и диссипативными членами,
при интегрировании уравнения энергии поперечная скорость в пленке полагалась постоянной,
уравнения энергии и движения интегрировались по толщине пленки расплава, а члены, содержащие толщину пленки во второй степени не учитывались из-за малости,
уравнение энергии в твердом материале заменялось уравнением теплового баланса на поверхности плавления,
уравнение неразрывности по толщине пленки интегрировалось в предположении линейности изменения продольной скорости. Таким образом, указанные выше допущения сводились фактически к тому, что продольная скорость, температура по толщине пленки расплава, а также температура в твердом материале по нормальной координате считались линейными функциями.
В последующей работе /2/ этого направления, исходя из модели предложенной Саттоном, дан простой приближенный метод расчета характеристик разрушения аморфных материалов для окрестности точки торможения осесимметричного тупого тела.
Авторы этой работы решали уравнение энергии в предположении, что температурный профиль зависит только от нормальной координаты, нормальная скорость в пленке расплава постоянна и получили, что профиль температуры изменяется в зависимости от нормальной координаты по экспоненциальному закону. В дальнейшем аппроксимируя физическую зависимость вязкости от ТеМПераТу-ры]а=ет степенной зависимостью и, сопоставляя степенной закон вязкости от температуры с распределением температуры полу-
- 10 -ченной из решения уравнения энергии, получили экспоненциальное распределение вязкости от нормальной координаты. Температура поверхности разрушения определялась из уравнения баланса тепла на гранипе раздела газ-жидкая пленка, в котором полагалось, что тепловой поток, идущий на прогрев внутренних слоев, уже не зависит от коэффициента теплопроводности вблизи поверхности, а полностью обусловлен теплосодержанием прогретого слоя.
В /30/ отмечено, что Саттон, сравнивая приближенные результаты работы /2/, полученные для пирекса, с численным решением аналогичных дифференциальных уравнений показал, что для заданного теплового потока на поверхности разрушения интенсивность плавления в работе /2/ занижена примерно на 30$ .
В /54/ поставлена задача об оплавлении осесимметричного тела в окрестности точки торможения, которая сводится к совместному решению уравнений ламинарного пограничного слоя в газе, уравнений ламинарного пограничного слоя в пленке расплава и уравнения теплопроводности в твердом материале. Граничные условия взяты в приближении теории пограничного слоя /55/ без учета на поверхности раздела газ-жидкая пленка излучения, испарения.Система уравнений в частных производных, исходя из вида краевых условий, редуцировалась к обыкновенным дифференциальным уравнениям, которые при определенных допущениях интегрировались численно. При функциональной зависимости вязкости от температуры в пленке расплава задача решалась методом Кармана-Польгаузена.
На основе упрощенной математической модели ( по сравнению с моделью рассматриваемой в диссертации ) процесса течения пленки расплава в /21/ проводится последовательный асимптотический анализ теории жидкой пленки, основанный на сильной зависимости вязкости от температуры. В /41/, /42/ получены приближенные аналитические решения для квазистапионарного случая в задаче о те-
- II -
чении и теплообмене жидкости, образованной в результате плавления при соприкосновении ториа стержня с нагреваемой поверхностью. Для математического описания рассматриваемой задачи используется система уравнений течения жидкой пленки расплава в окрестности точки торможения и соответствующие граничные условия.
В методе предложенном в /7/, по сравнению с /2/, была дана некоторая модификация в определении условной толщины пленки расплава и был предложен численный алгоритм, позволяющий найти характеристики разрушения вдоль образующей затупленных осесимметричных тел с помощью конечной разностной схемы, если в критической точке взяты значения Tw и Qrz , вычисленные по приближенной методике.
В данной работе в качестве теоретического аппарата исследования уравнений, моделирующих процессы, связанные с тепломассообменом и деструкпией материала, была применена техника группового анализа дифференциальных уравнений /36/, /39/, /40/, имеющие многочисленные применения, например, в топологии, дифференциальных уравнениях, теории функиий, кристаллографии, квантовой механике, теории управления и других областях естествознания.
После появления монографии /39/ в нашей стране были выполнены интересные работы по отысканию групповыми методами инвариантных решений в разных конкретных прикладных задачах /6/, /22/, /32/, /33/ и т.д.
Отметим, что теоретико-групповой подход к исследуемым уравнениям позволяет найти все автомодельные решения, которые могут использоваться для ускорения численных расчетов, для обобщения экспериментальных данных, а также служат эталоном результатов приближенных вычислений. Кроме того, редуцированные с помощью этого подхода модели находят эффективное применение в задачах идентификации теплофизических свойств материалов.
Цель данной работы: провести качественное исследование нелинейных дифференпиальных уравнений в частных производных, описывающих пропессы деструкции теплозащитных материалов и построить их редуцированные модели ; на основе рассматриваемых математических моделей процессов деструкпии, получить методы расчета основных параметров разрушения некоторых теплозащитных материалов ; на основе редуцированных моделей, описывающих разрушение материалов в результате образования движущейся пленки расплава, рассмотреть задачи идентификапии коэффипиентов вязкости и теплопроводности аморфного и кристаллического материалов.
На защиту выносятся следующие теоретические результаты :
Решены задачи групповой классификации исследуемых уравнений, указаны представители произвольного элемента У и соответствующие им базисные операторы, расположенные в порядке возрастания по включению.
Построены редуцированные математические модели оплавления аморфного, плавления кристаллического и нестационарной деструкпии композиционного материалов.
Найдены инвариантные решения ( Hi - решения ), которые, в качестве частного случая, включают в себя все известные классические автомодельные решения уравнений несжимаемого пограничного слоя, а также дают ряд новых решений, имеющих физическую интерпретацию.
Поставлены задачи идентификации параметров теплофизичес-ких коэффициентов вязкости и теплопроводности, зависимых функционально от. температуры, используя редуцированные математические модели процессов квазистапиоварного разрушения материалов, и приведены алгоритмы их решения.
В качестве приложения теории на защиту выносятся следующие результаты :
- ІЗ -
а) даны точные и приближенные методы расчета основных па
раметров разрушения теплозащитных материалов,
б) приведены расчетные формулы по определению суммарной
скорости уноса материала в расплавленном виде,
в) предложена методика расчета характеристик разрушения
теплозащитных материалов в окрестности точки торможения осесим-
метричного тела с учетом параметров до и после скачка уплотне
ния,
г) выполнен пример расчета характеристик разрушения поли
этилена ( аморфный материал) в окрестности точки торможения осе-
симметричного тела. Проведено сравнение результатов расчета па
раметров разрушения полиэтилена с методом предложенным в /7/ ,
д) построена методика идентификапии параметров теплофизи-
ческих коэффициентов, зависимых от температур, аморфного и
кристаллического материалов и проведены формулы по их определе
нию ,
є) решена в квадратурах задача о нестапионарной деструкпии материала в автомодельном режиме разрушения и прогрева при краевых условиях первого и второго рода и приведен пример расчета деструкпии бакелита при вариашш температуры поверхности разрушения и пористости.
Краткое содержание диссертации.
В І.І формулируются три задачи: задача об оплавлении однородного аморфного материала, задача о плавлении кристаллического материала и задача о нестационарной деструкции композиционного материала.
В первой задаче приводится математическая модель, которая моделирует движение пленки расплава на осесимметричных телах вращения.
Во второй задаче о плавлении кристаллического материала
предлагается математическая модель, в которой уравнения неразрывности, движения и энергии в пленке расплава решаются сов -местно с уравнением энергии в исходном'твердом материале.
В третьей задаче рассматривается нестационарная математическая модель, которая охватывает единой математической постановкой как задачу о плавлении, так и задачу о разрушении композиционного материала с образованием пористой матрицы, через которую движутся газообразные (жидкие) продукты деструкции /43/.
В 1.2 для уравнений, описывающих течение пленки расплава на осесимметричных телах вращения, используя технику группового анализа, выписываются определяющие уравнения. На основе этих определяющих уравнений, некоторые из них являются классифицирующими, решается задача групповой классификации по отношению к произвольно заданным функциям. Окончательным итогом задачи групповой классификации рассматриваемой системы является таблица, где указаны спепиализапии произвольно заданных функпий и соответствующие им базисные операторы, расположенные в порядке возрастания по включению.
В 1.3 выписываются инвариантные решения уравнений, описывающие течение пленки расплава на осесимметричных телах вращения и дана физическая интерпретация некоторых из них. Многие из этих решений автору не встречались в опубликованной литературе. Показывается, что п* и rls - решения обобщают все известные классические автомодельные решения уравнений несжимаемого пограничного слоя.
В 1.4 приводятся новые автомодельные решения уравнений несжимаемого пограничного слоя, которые являются следствием решения,найденного в 1.3. На основе этих решений и соответствующих им обыкновенных дифференциальных уравнений, ставятся краевые задачи. Указывается, что эти решения имеют более широ-
- 15 -кую возможность управления температурой или вдувом (отсосом) на поверхности рассматриваемых тел, чем классические автомодельные решения.
В 1.5 приводится теоретико-групповой анализ неетапионар-ного уравнения теплопроводности и выписаны пі - решения с соответствующими им факторосистемами.
В 2.1 приводятся формулы преобразования ( \\ - решение) с помощью которых математические модели, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, редуцируются к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Главным достоинством найденного преобразования является то, что уравнения пограничного слоя ( без учета инерционных и диссипативного членов) редупируются к обыкновенным дифференциальным уравнениям без каких-либо ограничений на произвольно заданные функции.
В известных преобразованиях( например, Дороднипина-Лиза) эти же уравнения редупируются к обыкновенным, когда касательная составляющая инерционной силы равняется нулю, а градиент давления конкретно заданная функция. Показывается, что в окрестност-ности точки торможения затупленного тела Нг - решение является автомодельным и указываются граничные условия при которых это решение имеет место вдоль образующих осесимметричных и плоских тел произвольной формы.
В 2.2 предлагается на основе редуцированной математической модели, описывающей оплавление аморфного материала, приближенный метод расчета параметров разрушения этого материала. Отмечаются следующие основные достоинства предлагаемого метода по сравнению с методами ранее предлагавшимися /2/, /7/, /30/ :
- система уравнений в частных производных редуцируется к системе обыкновенных дифференциальных уравнений без каких-либо ограничений на произвольно заданные функции ,
приводятся условия сходимости интегралов как с возрастающей, так и с убывающей вниз по потоку течения жидкой пленки,
температура поверхности определяется из решения уравнения сохранения энергии в конденсированной фазе с учетом нормальной
и продольной составляющей течения жидкой пленки без аппроксимации действительного закона вязкости от температуры степенным.
В 2.3 предлагается методика расчета характеристик разрушения теплозащитных материалов в окрестности точки торможения осесимметричного тела с учетом физических параметров до и после скачка уплотнения.
По этой методике выполняется пример расчета характеристик разрушения полиэтилена в окрестности точки торможения. Приводится сравнение результатов расчета параметров разрушения полиэтилена по двум методикам: по методике, предложенной в 2.2, и по методике, предложенной в /7/. Расчет характеристик разрушения полиэтилена по методу работы /7/ дает заниженные значения
\w и (j , что обусловлено принятыми в этой работе допущениями. Получено основное соотношение для определения
В 2.4 при постоянных теплофизических свойствах кристаллического материала редупированная система уравнений с краевыми условиями решается в квадратурах без каких-либо допущений относительно искомых функпий, в отличие от других работ в которых для получения конечных соотношений по определению характеристики разрушения материала при интегрировании системы уравнений в частных производных принимаются такие допущения, которые фактически соответствуют тому, что продольная скорость, температура по толщине пленки расплава, температура в твердом материале по нормальной координате являются линейными функпиями. Получены основные соотношения ( при различных краевых условиях), определяющие унос массы кристаллического штериала в расплавлен-
- 17 -ном виде.
В 2.5 решается в квадратурах задача о нестапионарной деструкции композиционного материала в автомодельном режиме разрушения и прогрева при краевых условиях первого и второго рода. Выполнен пример расчета бакелита при вариапии температуры поверхности разрушения и пористости.
В 3.1 на основе редупированных уравнений ставится задача идентификации параметров вязкости, заданной экспоненшальной зависимостью от обратной температуры. Строится методика определения идентифицируемых параметров теплофизических свойств материалов, зависящих от температуры, при ограниченном привлечении экспериментальных данных. Приводятся формулы первого приближения по определению идентифицируемых параметров аморфного материала.
В 3.2 ставится задача по идентификации параметра теплопроводности кристаллического материала при квазистационарном режиме его разрушения. В случае линейного закона изменения теплопроводности от температуры идентифицируемый параметр определяется из аналитического решения математической модели. Идентифицируемый параметр определяется также согласно алгоритма, указанного в 3.1 .
Необходимость определения теплофизических свойств теплозащитных материалов диктуется следующими соображениями:
Неточность определения вязкости и теплопроводности материала очень сильно влияет на скорость уноса массы и толщину прогрева теплозащитного материала.
При высокотемпературных ( 2 000К и более ) потоках газа не существует достаточно достоверных экспериментальных методов определения теплофизических свойств веществ.
Завершает диссертацию заключение, в котором кратко форму-
- 18 -лируются основные выводы диссертаиионной работы, список научной литературы, содержащей 59 наименований и.справка о внедрении результатов работы.
Объем диссертапии без учета рисунков, таблип, справки о внедрении и приложения составляет 112 странип. В диссертапии имеются : 6 - таблип и 16 рисунков. Объем приложения 10 страниц.
Основные результаты диссертапионной работы опубликованы в следующих научных статьях : / 10 ... 15 / .
В статьях, опубликованных в соавторстве, основные научные результаты принадлежат автору.
Материалы диссертапии докладывались и обсуждались :
На научно-технических семинарах кафедры аэрогидродинамики КАИ имени академика А.Н.Туполева ( 1975-1983 г.г. ).
На Всесоюзной конференции молодых ученых в МАИ им. С.Орджоникидзе (1977 г.) .
На Всесоюзной конференции молодых ученых в ЦАГИ (1978 г., 1980 г. ).
На Всесоюзной конференции молодых ученых в Сиб.НИА ( г.Новосибирск, 1983 г.) .
На семинаре кафедры аэрогидродинамики КуАИ им. С.П.Королева (1984 г.) .
На семинаре в Институте теплофизики СО АН СССР .
7. На семинаре в Институте технической теплофизики АН УССР.
Результаты работы внедрены на предприятии п/я Г-4725.
Справка о внедрении прилагается к диссертапии.
Группы, допускаемые дифференпиальными уравнениями, описывающими движение пленки расплавана осесимметричных телах вращения
Знание группы, допускаемой данным уравнением, позволяет с ее помощью искать такие преобразования, чтоб преобразованное уравнение имело по возможности наиболее простую и удобную для отыскания конкретных решений дифференциальную структуру.
Главной задачей этой главы будет отыскание таких преобразо - 28 -ваний, которые позволили бы редупировать нелинейные уравнения в частных производных (I.I.4) - (I.I.6) к системе обыкновенных дифференпиальных уравнений, при возможно менее жестких ограничениях на произвольно заданные функции ja(Y)» с(Т\ \ (Т) ,
Рассмотрим Г - параметрическую непрерывную группу преобразований G ( группа G может быть и бесконечномерна ), допускаемую уравнением (I.2.I)
Подставим в уравнения (1.2.II) - (1.2.ІЗ) выражения дополнительных координат, заданных формулами (1.2.9), (1.2.10). Рассмотрим полученные уравнения на многообразии, заданном уравнениями (1.2.6) - (1.2.8). Эта операпия перехода на многообразие сводится к замене в условиях инвариантности величин Uy , Uyy и Туу их выражениями, согласно (1.2.6) - (1.2.8) .
Практически важной задачей является задача групповой классификации дифференциальных уравнений Е по отношению к произвольно заданным функциям или параметрам ( обозначим их за в ), которые не строго фиксированы в конкретном исследовании /36/. К таким функпиям, в исследуемой системе (I.I.4) - (I.I.6) (обозначим ее за Е(6) ), можно отнести теплофизические свойства материала - "X , JO. , С ( которые обычно находят экспериментально), функции которые определяют форму тела - Ф-е » fк t а также NM .
Групповая классификация дает целенаправленный выбор произвольного элемента 0 такого, что система уравнений вместе с ним может допускать максимально широкую группу или группу с определенными свойствами.
Используя общие решения определяющих уравнений J)L выпи - 39 -шем, согласно /36/, базисные операторы в каждом конкретном случае, рассматриваемом в пункте 3 . Случай I.
Сводка полученных результатов групповой классификаиии (групповая классификапия уравнений по отношению к произвольному элементу 0 установлена с точностью до эквивалентности) системы (І.І.4) - (І.І.6) дана в таблице П.І.З.І , где в первом столбов указаны рассмотренные случаи, во втором - вид функций 0(Т) , в третьем - вид функций в (У) , в четвертом список операторов, расположенных в порядке возрастания по включению.
Весьма актуальным для приложений является поиск классов частных решений, на которых исследуемые дифференциальные уравнения существенно упрощаются. Ранее это обычно выполнялось либо на основании "соображений симметрии", либо с помощью теории размерностей /17/, /47/, /53/. Следует отметить, что очень убедительно настаивал на использовании теории групп в гидродинамике и других прикладных вопросах Г.Биргоф /3/. Однако на возмож -ность построения классов частных решений с помощью любой допускаемой группы впервые указывается в /40/ .
Начиная с конпа шестидесятых годов в работах /6/, /9/, /16/, /20/, /22/, /32/, /33/ и других теоретико-групповые методы нашли систематическое применение в анализе как неуправляемых, так и управляемых систем с распределенными параметрами, возникающих в различных задачах аэрогидромеханики.
Групповые свойства и инвариантные решения уравнения теплопроводности
Рассмотрим уравнение для температуры в слое кокса, которое запишем в виде /I/, /5/ . где введены следующие обозначения : Сд - удельная теплоемкость просачивающегося газа ; X - коэффициент теплопроводности ; t - время ; Тс - температура ; р - плотность ; А - толщина слоя кокса, где индексы с и и" относятся соответственно к свойствам прококсованного материала и исходного. Определяющие уравнения системы (1.4.I), когда ptf и рс - функции независимой переменной X , примут вид /39/ При решении определяющих уравнений (1.4.2) не удается найти общее решение, поэтому приходиться ограничиваться выборкой из системы определяющих уравнений каких-либо частных решений. Полученные результаты сведем в таблицу П.1.5.2, где в первом столбпе - указаны номера случаев, во втором и третьем - специализации функций А СО , р(х) , в четвертом - подгруппы Hi. » 1. Формулируются три задачи и указываются основные допущения, положенные в основу рассматриваемых математических моделей. 2.
Проводится качественный анализ рассматриваемых нелинейных дифференпиальных уравнений и строятся их редуцированные уравнения. Многие решения этих уравнений имеют физическую интер-претапию. 3. Решается задача групповой классификапии уравнений, описывающих движение пленки расплава на осесимметричных телах вращения, по отношению к произвольно заданным функпиям JO. , X , F » fK , С . Указываются специализации этих функций, дающие расширение ядра основных групп Ли. 4. Приводятся новые автомодельные решения уравнений несжимаемого пограничного слоя, которые получены как следствие ПА -решения. Показывается, что на подгруппах Hi и Hs можно построить -Hi - решения, которые обобщают все известные классические автомодельные решения уравнений несжимаемого пограничного слоя. 5. Проводится групповой анализ нестационарного уравнения теплопроводности и выписываются Hi,- решения с соответствующими им факторосистемами.
Приближенный метод расчета основных характеристик разрушения аморфных материалов
Рєдупированная система уравнений и краевых условий (2.1.3)-(2.1.5) ( в случае, когда п2 - решение зависит от произвольно заданных фушший F(x) , Гк(х) ), с учетом условий (2.1.10) -(2.1.13), запишется : Связь между физическими и безразмерными переменными дается инвариантным преобразованием (2.1.2). В этом параграфе предлагается приближенный метод расчета полученной математической модели (2.2.1) - (2.2.3). Это необходимо для того, чтобы получить аналитическое решение поставленной задачи и дать условия существования этого решения. Достоинства рассматриваемого ниже приближенного решения, по сравнению с решениями, предложенными в работах /2/, /7/, /30/, следующие : решается система обыкновенных дифференпиальных уравнений, справедливая при указанных граничных условиях вдоль образующих осесимметричных и плоских тел произвольной формы, а не только в окрестности точки торможения осесимметричного тела ; при решении уравнения энергии снимается допущение о постоянстве поперечной скорости пленки расплава ; указываются условия су -ществования приближенного решения ; температура поверхности на Гранине раздела газ - жидкая пленка определяется из решения уравнения сохранения энергии в конденсированной фазе ( то есть учитывается продольная и нормальная составляющие скоростей течения жидкой пленки), а не из решения уравнения баланса тепла на разрушающейся поверхности, где принято следующее допущение : толщина прогрева материала определяется из решения уравнения энергии. Известно, что у аморфных материалов зависимость вязкости от температуры в общем виде можно аппроксимировать следующей формулой : где оС и р - константы, зависящие от вида аморфного материала. В новых переменных зависимость вязкости (2.2.5) от безразмерной температуры 0 примет вид Получить аналитическое решение второго уравнения (2.2.1) невозможно, пока вязкость JUL (0) не будет выражена явным образом от f (х,у) . Пусть JLL =J4W f(f) (при = 0 :/A.=)4.w , T.e.f(o) = { ), Х-\ . Проинтегрируем систему уравнений (2.2.1) от О до . Интегрируя второе уравнение системы (2.2.1), получим Так как вязкость р() монотонно возрастающая функпия и (Х 0 , то из (2.2.12) следует: 0W O , ( 0, V0) Для того чтобы получить простую аналитическую формулу по расчету скорости уноса массы материала в расплавленном виде (по аналогии с методом, предложенным в /7/ ), положим в формуле (2.2.8) .=.0 ( 1=2,.. .,П ), то есть представим вязкость экс-поненпиальной функпией от безразмерной переменной Щ, Интегрируя уравнения (2.2.1) с учетом, что K J Yv xpfv , получим Для окрестности критической точки затупленного тела все три слагаемых выражения (2.2.18) будут отрицательны :]) 0 , К 0 из условия задачи ; Ь 0 , так как Х--\ ("конфузор-ный участок"), а 0
При X -\ ("диффузорный участок") второй член выражения (2.2.18) будет положителен, поэтому для сходимости интеграла необходимо выполнение следующего условия : Определив w ( lw ), можно затем определить продольную и поперечную составляющие скоростей. Подставим (2.2.13), (2.2.14) в ІІ2 - решение (2.1.2), тогда получим где постоянные j) , D , \ , \ - определены выше. Выражение (2.2.20) при заданных форме и размерах тела, энтальпии и давлении заторможенного потока, а также при известной температуре поверхности Tw , представляет собой алгебраическое соотношение для определения Gv . В этом параграфе, на примере полиэтилена (низкого давления), приводится методика расчета его характеристик разрушения. При этом принимаются следующие основные допущения : 1) полиэтилен относится к материалу аморфного класса ; 2) массовая скорость испарения Gw происходит только с поверхности ; 3) в краевое условие Gw вводится как параметр, так как для полиэтилена нет функпиональной зависимости Gw от температуры Tw , коэффициента теплоотдачи 0( , давления Ре и энтальпии 1е ; 4) излучением пренебрегаем, так как из-за малой степени черноты и низкой температуры поверхности потери излучением с разрушающейся поверхности пренебрежимо малы /45/ ; 5) влияние вдува паров на тепло-и массоперенос , трение в пограничном слое учитываем с помощью линейного приближения с постоянным коэффипиентом пропорпиональности /45/
Постановка и решение задачи идентификапии параметра теплопроводности кристаллического материала
Для разрушающихся теплозащитных покрытий особенно сильное влияние на температурное поле в материале оказывает теплопроводность. Поэтому изменениями других теплофизических свойств материалов в инженерной практике часто пренебрегают. Замена действительного коэффишента теплопроводности, зависимого от температуры, постоянным ( для материалов с постоянной скоростью уноса массы ) приводила в расчетах /45/ к отклонениям в результатах определения глубины прогрева до пяти раз. 2. Постановка задачи. При квазистапионарном разрушении кристаллических материалов с постоянной температурой внешней поверхности и постоянной скоростью уноса массы в расплавленном виде можно пренебречь динамическими уравнениями. Тогда одномерное уравнение переноса тепла в твердом материале ( см. четвертое уравнение (2.1.6) ) в системе координат, связанной с разрушающейся поверхностью, запишется в безразмерных переменных в виде 3. Приближенное определение параметра ( Определим параметр РЪ согласно алгоритма, указанного в параграфе 3.1, п. 3 . Для этого уравнение (3.2.1) и условия (3.2.2) запишем в виде В данной постановке задача (3.2.1), (3.2.2) при а = Н{Ь0 имеет аналитическое решение лишенное недостатков, указанных в 3.1 .
Полагая в уравнении (3.2.1) Подставляя в формулу (3.2.7), измеренные значения 0 , при каком-либо значении » найдем искомый параметр (Ь В заключение отметим, что если X зависит от большего числа параметров ( например, X = 1 + р 9+у0г-Ь" ), то аналитического решения получить не удается и надо использовать в этом случае алгоритм, указанный в параграфе 3.1 . 1. На основе редуцированной математической модели поставлена задача идентификации параметров вязкости, заданного экспо -ненпиальной зависшлостью от обратной температуры и дается алгоритм ее решения. Предложена методика определения идентифипируе-мых параметров теплофизических свойств материалов при ограниченном привлечении экспериментальных данных. Получены формулы первого приближения для определения идентифипируемых параметров. 2. Поставлена задача по идентификапии параметра теплопроводности при квазистапионарном режиме разрушения материала. При линейной зависимости теплопроводности от температуры параметр определяется из аналитического решения предложенной математической модели, а также согласно методике, построенной в 3.1 . В заключение сформулируем основные результаты диссертапии: 1. Проведено качественное исследование нелинейных дифферен-пиальных уравнений в частных производных, описывающих деструкпию некоторых теплозащитных материалов в высокоскоростном и высокотемпературном потоке газа. По отношению к произвольно заданным функпиям решена задача групповой классификаций системы нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих установившееся движение пленки расплава на осесимметричных телах вращения, а также решена задача групповой классификапии нестационарного уравнения теплопроводности. 2. Получены инвариантные решения, которые включают в себя как известные классические автомодельные решения уравнений не -сжимаемого пограничного слоя, так и новые автомодельные решения, имеющие физическую интерпретапию. 3. Построены редуцированные математические модели процессов деструкции теплозащитных материалов. 4. Даны точные и приближенный методы расчета основных параметров разрушения некоторых теплозащитных материалов при воздействии на них высокоскоростного и высокотемпературного потока газа.
