Содержание к диссертации
Введение
1.1. Методы и особенности исследования 9
1.2. Краткий обзор диссертационного цикла работ 11
1.3 Результаты, выносимые на защиту 17
1.4 Научная новизна работы и личный вклад автора 19
1.5 Научная и практическая ценность работы 20
1.6 Апробация'результатов 21
1.7 Структура и содержание диссертации 21
2. Приливное трение в конвективных звездах и планетах-гигантах 22
2.1 Приливное взаимодействие в системах, содержащих экзопланеты, и других объектах 22
2.2 Теория возбуждения и диссипации фундаментальной моды в планете, находящейся на сильно вытянутой орбите 24
2.2.1 Приливное взаимодействие вращающейся конвективной планеты, находящейся на слабо связанной орбите 24
2.2.2 Передача энергии и углового момента в результате многих прохождений периастра 37
2.3 Квазистатическое приливное трение, обусловленное /-модой 44
2.3.1.Орбитальная эволюция 52
2.3.2 Эффективные спин-орбитальные резонансы 55
2.4 Теория возбуждения нормальных мод во вращающихся звездах и планетах, находящихся на сильно вытянутых орбитах 61
2.4.1 Приведение уравнений движения к само-сопряженной форме и их формальное решение 62
2.4.2 Передача энергии и углового момента 66
2.4.3 Отклик низкочастотных мод на приливное воздействие 68
2.5 Нормальные спектры и характерные времена эволюции орбит массивных экзопланет 76
2.5.1 Собственные частоты и интегралы перекрытия для фундаментальной моды 77
2.5.2 Спектр инерциальных колебаний и передача энергии в состоянии псевдосинхронизации 78
2.5.3 Условие возникновения стохастической неустойчивости 84
2.5.4 Характерное время орбитальной эволюции 86
3 Приливное разрушение звезд сверхмассивными черными дырами 95
3.1 Описание проблемы и постановка задач 95
3.2 Упрощенная модель звезды, эволюционирующей в приливном поле черной дыры 96
3.2.1 Вывод и анализ динамических уравнений
3.2.2 Численный подход
3.3 Сечения приливного разрушения и сброса массы
3.3.1 Случай 0оо = тг/2 115
3.3.2 Полу-аналитическое представление полученных результатов
3.3.3 Случай 0^ ф тг/2 12^
3.4 Темп приливного разрушения в галактическом каспе, содержащем сверхмассивную двойную черную дыру 126
3.4.1 Модельная проблема 126
3.4.2 Вековая эволюция 135
3.4.3 Темп поставки в конус потерь
3.4.4 Характерные значения темпа поставки звезд и временных масштабов
3.4.5 Астрофизические приложения 146
4. Теория искривленных аккреционных дисков 15^
4.1 Система уравнений, описывающих нестационарный диск малой вязкости 151/
4.2 Стационарный искривленный аккреционный диск малой вязкости вокруг вращающейся черной дыры
4.3 Искривленный аккреционный диск вокруг двойной системы 16
5. Захват компактных звезд массивными черными дырами и формирование источников гравитационного излучения в галактических центрах и шаровых скоплениях 17
5.1 Захват компактных звезд сверхмассивными черными дырами 176
5.1.1 Формулировка проблемы 17'і
5.1.2 Темп захвата 17"<
5.1.3 Вероятность нахождения источников гравитационного излучения 19с
5.2 Приливный захват белых карликов в каспах вокруг черных дыр промежуточной массы 19і
5.2.1 Модель динамических приливов в белом карлике 196
5.2.2 Энергия и угловой момент переданный моде колебаний и звезде 20]
5.2.3 Критерий "выживания|,белых карликов 205
5.2.4 Максимальный темп приливного захвата 201
5.2.5 Темп захвата звезд, которые могут попасть на тесные орбиты без разрушения 21С
5.2.6 Вероятность обнаружения источников 215
6. Взаимодействие сверхмассивной двойной черной дыры с аккреционным диском 217
6.1 Качественное описание различных стадий эволюции 219
6.2 Явления, возникающие в результате пробоя аккреционного диска черной дырой 225
6.2.1 Физические условия в течение столкновения черной дыры и диска 226
6.2.2 Аналитический анализ перпендикулярных столкновений 229
6.2.3 Численный анализ перпендикулярных столкновений 235
6.3 Вековая эволюция орбиты массивной двойной за счет взаимодействия с аккреционным диском 239
6.3.1 Эволюция двойной и диска 242
6.3.2 Самоподобное решение 247
Заключение 252
Литература 258
- Теория возбуждения и диссипации фундаментальной моды в планете, находящейся на сильно вытянутой орбите
- Теория возбуждения нормальных мод во вращающихся звездах и планетах, находящихся на сильно вытянутых орбитах
- Упрощенная модель звезды, эволюционирующей в приливном поле черной дыры
- Стационарный искривленный аккреционный диск малой вязкости вокруг вращающейся черной дыры
Введение к работе
Настоящая диссертация посвящена исследованию физических явлений, возникающих при движении газа, звезд, массивных черных дыр и планет-гигантов на параболических и гравитационно-связанных орбитах вокруг центрального массивного тяготеющего тела. Будут обсуждаться системы, содержащие в качестве центрального тела сверхмассивные черные дыры, которые могут быть найдены в центрах галактик и шаровых скоплениях, а также планетные системы с центральной звездой с массой порядка массы Солнца. Несмотря на значительное разнообразие свойств таких систем, они обладают некоторыми общими характеристиками, позволяющими применять при их изучении похожие методы. В частности, в таких объектах, как правило, можно одинаковым образом разделить протекающие физические процессы на две группы согласно их характерной временной шкале.
"Быстрыеипроцессы протекают на "динамических"временных масштабах меньше или порядка некоторого "типичного"орбиталыюго периода. Они могут приводить к интересным нестационарным наблюдательным эффектам. Как правило, основную роль в динамической эволюции системы на малых временных масштабах играет сила гравитации центрального тела, которую, в интересующих нас случаях, можно рассматривать в классическом ньютоновском приближении. Также могут быть важными газодинамические процессы.
"Медленные"процессы, протекающие на временах, много больше характерного динамического времени обусловлены, в основном, поправками к ньютоновским законам движения точечных объектов в поле центрального точечного источника гравитации. В проблемах, обсулодаемых в настоящей диссертации, они определяют форму возможных квазистационарных конфигураций распределения звезд, планет и газа вокруг центрального тела и основные эволюционные и статистические характеристики систем. Изучение медленных процессов позволяет оценить типичные параметры систем, интересных с наблюдательной точки зрения, и вероятность обнаружения того или иного эффекта.
В галактических центрах для звездной компоненты системы и массивных черных дыр основными физическими эффектами, определяю-
щими медленные процессы, являются: гравитационное взаимодействие звезд и черных дыр со звездами центрального скопления, эффекты ОТО (такие, как постныотоновские поправки к законам движения и излучение гравитационных волн), взаимодействия с газовой компонентой системы и, в случае звезд и планет, приливные взаимодействия. Для газовой компоненты, важную роль играют эффекты, определяемые физическим свойствами газа, в частности его вязкостью, поправками ОТО и эффектами взаимодействия со звездами и черными дырами. Похожая ситуация возникает и в планетных системах, где роль центрального звездного скопления играет система протопланет, а центрального аккреционного диска - протопланетный диск. В отличии от галактических центров, в планетных системах можно пренебречь эффектами ОТО.
С наблюдательной точки зрения в галактических центрах интересными, в частности, являются быстрые динамические процессы приливного разрушения звезд и последующей аккреции газа на центральную черную дыру и излучения гравитационных волн звездами, имеющими малый орбитальный период. Часть настоящей диссертации посвящена исследованию этих процессов. Отметим, что эффекты, связанные с приливным разрушением, широко привлекаются при интерпретации переменного рентгеновского излучения, приходящего из ядер некоторых галактик, см., например, работу Komossa и др. 2004 и ссылки в этой работе. В случае образования системы, содержащей двойную черную дыру, вероятно, наиболее интересным является процесс излучения гравитационных волн на стадии слияния черных дыр. Планируемые гравитационно-волновые антенны типа LISA (см., например, веб-страницу ) позволяют уверенно обнаружить сливающуюся черную дыру на расстояниях вплоть до размера космологического горизонта. Темп слияния двойных сверхмассивных черных дыр зависит от характерного времени вековой эволюции орбиты такой системы, которое, в свою очередь, в основном определяется характерными временами четырех процессов: слияния галактик, динамического трения за счет взаимодействия черных дыр со звездами, излучения гравитационных волн и взаимодействия с газовой компонентой. Интересными также являются процессы взаимодействия двойной черной дыры с газовой компонентой на динамической шкале времен на малых расстояниях < 1рс от центра галактики, которые могут приводить к образованию квазипериодического источника оптического излучения из галактических центров. К примеру, так интерпретируется двенадцатилетняя периодичность оптического излучения квазара
0J 287 (см., например, работу Valtonen, 2007 и ссылки в этой работе). В диссертации исследуются как медленные вековые, так и быстрые процессы взаимодействия двойной черной дыры с газовой компонентой системы в форме аккреционного диска и оцениваются соответствующие характерные времена и характеристики возможных наблюдательных проявлений этих взаимодействий. Также мы оцениваем усиление темпа приливного разрушения звезд за счет присутствия двойной черной дыры в центре галактики.
В планетных системах наиболее загадочным представляется распределение планет-гигантов, обнаруженных вне солнечной системы, по их орбитальным параметрам, в частности, наличие большого числа планет с очень маленькими периодами порядка нескольких дней и наличие планет, движущихся по орбитам с существенным эксцентриситетом, см., например, веб-страницу . Отметим, что аналогичные вопросы возникают и при исследовании распределения двойных звезд с орбитальными периодами порядка десяти дней по их орбитальному эксцентриситету, см., например, обзор Mathieu 2005. Эволюция орбитальных параметров планет-гигантов определяется их взаимодействием друг с другом, с протопланетным диском и приливным взаимодействием с центральной звездой. Для теории эволюции радиуса орбиты планеты-гиганта, находящейся в протопланетном диске, оказывается полезной наша оценка характерного времени эволюции для аналогичной системы, содержащей сверхмассивную двойную черную дыру. Мы также детальным образом анализируем в тексте диссертации приливные взаимодействия конвективной планеты-гиганта, движущейся по достаточно вытянутой орбите вокруг центральной звезды. Особое внимание уделяется процессу возбуждения колебаний вращающейся планеты после прохождения периастра за счет приливных взаимодействий. Этот эффект носит название "динамические приливы". При определенных условиях он приводит к вековой эволюции орбиты планеты, характерное время которой не зависит от плохо известных механизма диссипации возмущений планеты и величины вязкости. Полученные выражения для передачи энергии из орбитального движения в колебания звезды, критерия эффективности динамических приливов, и т. д. важны не только для оценки важности роли приливных взаимодействий в системах, содержащих планеты-гиганты. Как мы увидим ниже, они также позволяют оценить темп приливного захвата белых карликов и образования источников гравитационного излучения в системах, содержащих
черные дыры с массой в диапазоне 103 — 1О4М0.
Часть диссертации посвящена некоторым процессам, протекающим в газовой компоненте изучаемых систем, а именно исследуются геометрические возмущения тонких аккреционных дисков, возникающие в следствии выхода колец диска из общей плоскости и их поворота друг относительно друга. Аккреционные диски такого рода называются искривленными. Возмущения искривленных дисков эволюционируют на медленной шкале времен, определяемой величинами вязкости и температуры газа, находящегося в диске. В диссертации получена общая система динамических уравнений, описывающая эту эволюцию. В часто встречающемся случае, когда вблизи центрального тела сферическая симметрия рассматриваемой системы нарушена, а осевая - сохраняется, и плоскость диска вдали от центрального тела не совпадает с плоскостью, выделяемой осевой симметрией, возможно образование квазистационарного искривленного диска. К примеру, в астрофизических системах, обсуждаемых в настоящей диссертации, такая ситуация возможна, когда орбитальная плоскость двойной системы не совпадает с плоскостью диска вокруг более массивного компонента или, когда орбитальная плоскость звезды, разрушенной вращающейся черной дырой, и поставившей газ в аккреционный диск, не совпадает с экваториальной плоскостью черной дыры. Изучение квазистационарных конфигураций искривленных дисков началось в работе Bardeen & Petterson 1975. В ней было сделано утверждение о том, что кольца стационарного искривленного аккреционного диска вокруг вращающейся черной дыры обязательно должны быть уложены в экваториальную плоскость на достаточно малых радиусах от черной дыры. Это утверждение носит название эффекта Бардина-Петерсона. Оно интенсивно использовалось в последующих работах, посвященных изучению аккреционных потоков вокруг черных дыр, где предполагалось, что эти потоки являются осесимметричными. В диссертации показано, что это утверждение, строго говоря, не верно для аккреционных дисков малой вязкости, вращающихся в сторону вращения черной дыры. В этом случае, угол наклона колец может колебаться как функция радиуса. Мы приводим общий критерий, использование которого позволяет судить о том, какая равновесная конфигурация - соответствующая плавной укладки диска в плоскость симметрии системы или имеющая вид радиальных колебаний - реализуется в той или иной системе. В частности, показано, что искривленный аккреционный диск вокруг двойной системы всегда укладывается в ее орбитальную плос-
кость.
Теория возбуждения и диссипации фундаментальной моды в планете, находящейся на сильно вытянутой орбите
В этом разделе мы рассматриваем приливные возмущения, возбужденные во вращающейся планете, двигающейся по сильно вытянутой орбите вокруг центральной звезды. Рассматривая движение планеты в течение одного орбитального периода, можно считать, что участок орбиты в непосредственной близости от звезды представлен параболической орбитой, и мы вычисляем передачу энергии и углового момента в энергию и угловой момент колебаний звезды, движущейся по такой орбите. Затем мы рассмотрим последовательность параболических облетов для того, чтобы обобщить наши результаты на случай орбиты обладающей высоким эксцентриситетом.
Если предположить, что диссипация в планете отсутствует, передача орбитальной энергии происходит в возбуждение нормальных мод колебаний планеты. Такой процесс называется - "динамические приливы". Для невращающейся звезды передача энергии за счет динамических приливов была рассмотрена в работе Press & Teukolsky 1977 (далее РТ). Уравнения для возмущений, возбужденных в слабо вращающейся планете, также были рассмотрены в работе Lai 1997. В этой работе учитывались только динамические приливы, и рассмотрение вязких членов в уравнениях движения было неправильным. Стационарные (или квазистатические) приливы были рассмотрены в работах Alexander 1973, Hut 1981, Zahn 1989, Eggleton, Kiseleva Hut 1998, где использовался абсолютно другой подход, основанный на вычислении задержки фазы квазистатического приливного горба. В этом разделе мы покажем, что выражения для передачи энергии, связанные с квазистатическими приливами и резонансными динамическими приливами, следуют из одной системы динамических уравнений.
Вообще говоря, в рамках стандартного подхода к проблеме уравнения, описывающие малые колебания вращающегося тела, не могут быть разделены. Тем не менее, существенные упрощения возможны в случае полностью конвективной планеты и достаточно медленного вращения с угловой частотой вращешія планеты Г2Г много меньшей характерной динамической частоты fi — . д%р , где mv\ - масса планеты. Если собственная частота колебаний является величиной больше или порядка динамической частоты то возможно построить теорию возмущений, основанную на разделяемых уравнениях движения для невращающейся планеты в качестве нулевого приближения, используя отношение Г2Г/Г2 как малый параметр.
Отметим, что обобщение нашего анализа на случай р-мод - тривиально. Здесь (г, 9, ф) - сферическая система координат с началом координат в центре планеты и полярной осью, совпадающей с осью вращения планеты. М - масса звезды и D(i) -радиус вектор звезды, орбита которой предполагается лежащей в плоскости в = 7г/2, причем D(t) — D(i) и Ф() - соответствующий азимутальный угол в некоторый произвольный момент времени t.
Важно отметить, что в конвективной планете или звезде коэффициент кинематической вязкости может зависеть от частоты приливного воздействия (см. например Goldreich & Nicholson 1977, Goldreich & Keely 1977, Zahn 1989). Последовательная теория приливных взаимодействий с коэффициентом вязкости, зависящим от частоты, будет дана в разделе 1.3. В настоящем разделе, для простоты, мы предполагаем, что такая зависимость отсутствует. Мы будем искать решение задачи об возбуждении колебаний планеты в результате облета периастра в виде разложения по собственным векторам свободных колебаний планеты к, имеющих соответствующие собственные частоты шк.
Когда вращение отсутствует, собственные вектора зависят от ф стандартным образом: ос ехр(г т0) где т - обычное азимутальное собственное число. В дальнейшем мы не показываем явно эту зависимость.
Уравнение (14) близко к аналогичному уравнению, полученному в работе Lai 1997. Разница заключается в последнем члене в левой стороне. Мы даем явное выражение для j (см. уравнение (20)). Отметим вклад, пропорциональный (imQ,rbm) в (14). Он получается после перехода от эйлеровых возмущений скорости к лагранжевым векторам смещения. Как будет показано ниже, этот член необходим для корректного описания квазистатических приливов.
Теория возбуждения нормальных мод во вращающихся звездах и планетах, находящихся на сильно вытянутых орбитах
В разделе 2.2 мы рассмотрели проблему возбуждения нормальных колебаний в результате облета звезды или планеты, движущейся по сильно вытянутых орбите вокруг центра гравитации. При этом мы предполагали, что собственные моды колебаний имеют периоды много меньшие, чем период вращения планеты, и искали решение задачи в виде разложения по малому параметру. Однако, даже в баротропных средах существует низкочастотная ветвь колебаний, связанная с вращением (например, Papaloizou & Pringle 1981, далее РР). Эти колебания обычно называются "инерциальными модами"и имеют собственные периоды порядка периода вращения планеты. Методы, рассмотренные в 2.2, несправедливы для таких мод. Существует еще одна мотивация к рассмотрению принципиально других методов. Как мы обсуждали выше, во вращающихся средах переменные в уравнении движения для свободных колебаний не разделяются. Более того, соответствующая задача об нахождении собственных частот не имеет стандартного само-сопряженного вида, и поэтому соответствующие решения не являются ортогональными друг другу в смысле обычно используемых внутренних произведений. В таком случае, общая задача о нахождении отклика вращающейся планеты на внешнее воздействие произвольной формы сталкивается со значительными трудностями.
В этом разделе мы представляем новый самосопряженный метод описания низкочастотных колебаний планеты под воздействием внешней силы, основанный на спектральной теории самосопряженных операторов. Отметим, что этот метод может иметь значение, выходящее за рамки рассматриваемой здесь задачи об приливном возбуждении нормальных мод колебаний вращающейся планеты. Мы вычисляем энергию и угловой момент, переданные в нормальные моды, в результате облета периастра планетой, движущейся по сильно вытянутой (формально, параболической) орбите.
Мы предполагаем, что планета находится в состоянии твердотельного вращения с осью вращения, перпендикулярной орбитальной плоскости. Мы будем использовать цилиндрические координаты (w, ф, z) во вращающейся системе отсчета. Мы используем преобразование Фурье для векторов смещения и любых других величин, скажем Q, по углу ф и времени t: Q = 2 (ехр(гтф) / doQmexp{—iat) + ее) , (165) где суммирование происходит по т = 0 и 2 и ее означает комплексно-сопряженную величину.
Предполагая, что уравнение состояния планеты можно описать в баро-тропном приближении, то есть, что зависимость давления Р от плотности р имеет одинаковый вид Р — Р(р) для невозмущенного состояния и для возмущений, перепишем уравнения (2) во вращающейся системе координат в виде m+2axi —-f" (167) где W = С\Р1Р + nt + Феті, (168) р - возмущение плотности, cs - адиабатическая скорость звука, Фт -внутренний гравитационный потенциал, определяемый возмущениями и фежі _ внешний гравитационный потенциал определяемый, в нашем случае, приливным взаимодействием. fv - сила вязкости, определяемая уравнением (5). Подчеркнем, что в этом разделе мы считаем, что действие этой силы локально по времени, и таким образом, не учитываем эффекты, обсуждаемые в разделе 2.3.
Можно легко проверить, что таким образом определенные операторы В и С являются самосопряженными в смысле внутреннего произведения (166). Для моделей со слабой самогравитацией оператор С является положительно определенным при условии, что имеется где бы то ни было отличное от нуля возмущение плотности. Он не отрицателен для любых возмущений, включая те, которые имеют возмущение плотности повсюду равное нулю. Источник Sm определяется внешним возмущающим потенциалом Sm = V f. (175) Присутствие силы вязкости fv ведет к диссипации возмущений на некоторой временной шкале. Как правило, для астрофизических систем эта временная шкала много больше, чем характерное время возмущающего воздействия. В этой ситуации, является возможным рассматривать эффекты, определяемые вязкостью как возмущение.
Пренебрегая вязким членом (172), можно показать, что это уравнение определяет стандартную самосопряженную проблему на собственные значения, формулируемую с помощью нового самосопряженного оператора % (PI, IP3). Для того, чтобы привести уравнение (172) к стандартному виду, мы формально рассматриваем квадратный корень оператора С, определенный условием: С = С1//2С1 2.
Соответствующие собственные значения ок с необходимостью являются действительными величинами. Уравнение (181) эквивалентно уравнению (172), когда источник Sm = 0. Отметим, что спектр Н или его часть, может быть непрерывным. В этом случае, суммирование в (181) должно быть заменено интегрированием с соответствующей нормой. Собственные функции Zk ортогональны в смысле внутреннего произведения Zk\Zl = (Zk\Z[) + (Zk\Zl2) = aMtklti) + tefc %) (182) где к = Zk/ak Подставляя (180) в (177) и используя(182), получим (183) Zk\S = ajSk Nk(a + гаи - ак) Nk(a + %ov - ак) где мы добавляем к частоте а малую мнимую часть с т„ 0 в знаменателе для того, чтобы учесть эффект диссипации. Как будет показано ниже, в случае, когда эффект диссипации может быть рассмотрен как возмущение, явное выражение для ov определяется силой вязкости /„. Nk = Zk\Zk = аІ(к\к) + (&С&) (184) является нормой. Коэффициенты Sk определяют разложение вектора источника по собственным функциям где суммирование выполнено по всем модам с некоторым определенным значением т.
Упрощенная модель звезды, эволюционирующей в приливном поле черной дыры
В начале остановимся на некоторых удобных соглашениях. Мы используем довольно необычное правило суммирования в этом разделе, предполагая, что суммирования выполняется по всем индексам, появляющимися в наших выражениях более, чем один раз, но суммирование отсутствует, если индексы заключены в скобки. Матрицы в абстрактной форме обозначаются жирным шрифтом. Все индексы могут быть подняты или опущены с помощью дельта-символов Кронекера, но, тем не менее, мы различаем верхние и нижние индексы, обозначающие соответственно столбцы и колонки матриц. Другой подход к задаче приливного разрушения основан на рассмотрении этого процесса как одного из элементарных процессов в физике активных галактических ядер. В отличии от собственно задачи приливного разрушения, в этом подходе учитываются многочисленные дополнительные газодинамические и звезднодинамические процессы, играющие роль в галактических центрах, но в тоже время, само приливное разрушение описывается, как правило, простейшим образом. Такой подход используется при вычислении темпа приливного разрушения в галактических ядрах, а также при вычислении главных эволюционных характеристик таких систем и их светимости. Для случая одиночной черной дыры, находящейся в галактическом центре, различные аспекты этого подхода обсуждались, например, в работах Hills, 1975, Frank & Rees 1976, Young et al 1977, Hills 1978, Frank 1979, Gurzadian & Ozernoi 1980, Lacy и др. 1982, Illarionov & Romanova 1986 a, Illarionov & Romanova 1986 6; Dokuchaev 1991, ВНР, Roos 1992, Syer & Ulmer 1999, Magorrian & Tremaine 1999. Родственной задачей является рассмотрение последствий единичного акта приливного разрушения. В рамках этой задачи можно описать нестационарные газодинамические процессы, возникающие вблизи черной дыры после приливного разрушения звезды и найти основные характеристики излучения, формируемого в такой системе. Такого рода исследования были проведены в работах Lacy и др. 1982, Rees 1988, Evans & Kochanek 1989, Cannizzo и др. 1990, Roos 1992, Kochanek 1994, Ulmer и др 1998, Kim и др. 1999, Syer к Ulmer 1999, Ulmer 1999.
Во всех предыдущих исследованиях предполагалось, что в центре галактики существует только одна черная дыра. В этой главе в разделе 3.4 мы рассматриваем обобщение результатов, полученных другими авторами на случай сверхмассивной двойной черной дыры, и вычисляем темп приливного разрушения в системе, которая состоит из сверхмассивной двойной черной дыры и звездного скопления вокруг нее. Мы показываем, что темп приливного разрушения в такой системе может быть на несколько порядков больше, чем стандартный результат (см. работу IPS). Отметим, что такие двойные черные дыры могут достаточно часто формироваться за счет процесса слияния галактик и последующего сближения черных дыр за счет эффекта динамического трения.
В дальнейшем мы рассмотрим эффекты, возникающие после приближения к галактическому центру, содержащему черную дыру, другой черной дыры с массой, значительно меньшей, чем масса черной дыры, принадлежащей скоплению. Эти черные дыры будут называться, соответственно, первой и второй компонентами двойной системы. Полное гравитационное поле такой системы определяется, вообще говоря, обеими компонентами и массой центрального звездного скопления. В разделе 3.4 будет рассмотрен случай этой системы, находящейся в области влияния первой компоненты. Иными словами, мы будем предполагать, что масса первой компоненты превосходит сумму масс второй компоненты и звездного скопления, и таким образом, движение звезд и второй черной дыры, в первом приближении, будет считаться кеплеровским движением в гравитационном поле первой черной дыры, а поправки, связанные с наличием возмущающей второй компоненты и звездного скопления, будут рассмотрены в рамках теории возмущений.
Как мы уже обсуждали выше, только звезды с достаточно малым орбитальным угловым моментом могут испытывать существенные приливные взаимодействия. Поэтому темп приливного взаимодействия определяется двумя факторами: количеством звезд, находящихся на орбитах с достаточно малым угловым моментом, и механизмами изменения углового момента, приводящими к поставке звезд на такие орбиты. Сутью механизма, приводящему к увеличению темпа поставки звезд в конус потерь, является следующее обстоятельство. Можно показать, что возмущение, определяемое второй черной дырой вызывает изменения орбитальных параметров звезд на характерной временной шкале много большей, чем орбитальный период второй компоненты. Предполагая, что несущественны резонансные взаимодействия, мы можем усреднить уравнения движения звезд по орбитальному периоду двойной. Для круговой орбиты двойной гравитационное поле второй компоненты после процесса усреднения имеет вид гравитационного поля тонкого кольца с массой вторичного компонента и радиусом орбиты двойной. Так как гравитаци онное поле кольца - статическое и аксиально-симметричное, сохраняются орбитальная энергия и проекция орбитального углового момента на ось, перпендикулярную плоскости кольца. Полный угловой момент, однако, меняется со временем, и поэтому присутствие второй компоненты приводит к изменению значения углового момента с характерным временем, большим, чем орбитальный период двойной. Этот процесс приводит к поставке звезд, обладающих достаточно малой проекцией углового момента, на орбиты с малым полным угловым моментом и, соответственно, к увеличению темпа приливного разрушения. Отметим, что этот эффект аналогичен широко известному эффекту, открытому в работах Лидов 1961, Lidov, 1962, Kozai, 1962 9, посвященных небесной механике. Как мы увидим ниже, эффект является стабильным относительно возмущений гравитационного потенциала, связанных с присутствием звездного скопления и возмущения, связанного с релятивистской прецессией линии апсид.
Стационарный искривленный аккреционный диск малой вязкости вокруг вращающейся черной дыры
В случае отрицательного значения этой величины диск укладывается в экваториальную плоскость объекта для любых значений вязкости. Такая ситуация возникает, когда черная дыра вращается в сторону, противоположную направлению вращения газовых элементов диска. Подчеркнем, что критерий возникновения режима осцилляции носит весьма общий характер, и применим к различным объектам, обладающим гравитационным полем, близким к гравитационному полю точечного источника. Пример другого объекта с подобными свойствами обсуждается в следующем разделе. _
В работе Lubow, Ogilvie & Pringle 2002 численно исследовалась задача об установлении равновесной конфигурации искривленного аккреционного диска малой вязкости вокруг вращающейся черной дыры в результате динамической эволюции. В качестве начальной конфигурации задавался профиль, обладающий резким изменением угла наклона от нулевого значения на малых радиусах, до значения /3 = 1 на достаточно больших радиусах и решалась система уравнений, аналогичная системе (425-426). Было показано (см. рис. 42), что на достаточно больших временах зависимость угла наклона от радиуса действительно приближается к немонотонному стационарному решению (432) на достаточно малых радиусах от черной дыры.
Будем также считать, что существует аккреционный диск вокруг этой двойной системы, наклоненный на достаточно больших расстояниях относительно орбитальной плоскости двойной. Такая ситуация может возникать в галактических центрах после процесса слияния галактических ядер и последующего формирования тесной пары двух сверхмассивных черных дыр. Некоторые процессы, возможные в такой системе, будут обсуждены в главе 6. Также подобные системы могут возникать в объектах, содержащих тесные пары двух звезд, или звезды и планеты внутри протозвсздного или протопланетного диска. Тем не менее, для конкретности, мы будем иметь ввиду системы, содержащие сверхмассивные черные дыры. Существование квазистационарного искривленного аккреционного диска в этих системах носит транзиентный характер (см. IPP). В случае, когда масса второй компоненты много больше, чем масса диска внутри орбиты двойной 20, в течение некоторого времени после подлета второй компоненты в галактический центр, содержащий первую компоненту и аккреционный диск вокруг нее, аккреционный диск находится в нестационарном состоянии и релаксирует к квазистационарному состоянию на временной шкале tai, определяемой ниже формулами (444) и (445). Как видно из этих формул, характерное время эволюции является величиной много большей орбитального периода двойной. Таким образом, квазистационарные искривленные аккреционные диски вокруг массивных двойных возможны только при выполнении условия: tacc/tai 2 1. Как следует из результатов, полученных в работе IPP и обсужденных ниже, это неравенство действительно соблюдается при условии, что параметр а 1.
Аналогично подходу, используемому в предыдущих разделах, обсудим, для начала удобную для наших целей систему координат. Рассмот 20Как показано в работе IPP, в противоположном случае, напротив, вторая компонента укладывается в плоскость диска.
Мы не решаем зависящий от времени вариант этих уравнений и ограничиваемся только качественным анализом. Для простоты мы также пренебрегаем членами, пропорциональными частотам прецессии в этих уравнениях, см. также работу Papaloizou & Lin 1997, далее PL. Эти члены определяют форму стационарных решений уравнений (425)и (426), но не являются важными для установления характера временной эволюции. Рассмотрим ВКБ решения этих уравнений W ОС eK"(k)t-kr) где кг 1, и получим дисперсионное соотношение ш(к) в форме (см. PL): ш = \{iaVLK ± k2v2-a2Q2K), (442) где vs = 8гО,к - скорость звука в диске. В случае к ., уравнение (442) описывает распространение волн со скоростью vw vs/2. В противоположном случае к s , мода, соответствующая знаку (+) в уравнении (425), описывает распад эллиптичности траекторий газовых элементом в диске за счет действия вязкости. Мода, соответствующая знаку (—), описывается соотношением и г—-(г2к2)ПК. (443)
Это соотношение означает, что релаксация к стационарному состоянию носит, в этом случае, диффузионный характер с характерной временной шкалой tai(k) a5 2(rk) torb, где torb - орбитальный период.
Сравнивая уравнения (451) и(454), можно увидеть, что в случае достаточно большой вязкости кольца диска поворачиваются с изменением г, тогда как в противоположном случае этот эффект отсутствует. Таким образом, в принципе, наблюдения искривленных дисков в двойных системах могут позволить выяснить характерную величину эффективной вязкости.
Компактный объект, вращающийся вокруг сверхмассивной черной дыры с массой 105 — 106М с периодом порядка 103 — 105s, излучает гравитационные волны, которые могут быть легко обнаружены проектируемыми космическими гравитационно-волновыми антеннами типа LISA с космологических расстояний. Как было отмечено рядом авторов, орбиты с такими периодами могут быть образованы благодаря комбинированному действию двух процессов: гравитационному рассеянию компактного объекта на других звездах скопления и потери орбитальной энергии за счет гравитационного излучения. В свою очередь, гравитационное излучение, образованное такими источниками, может предоставить непосредственную информацию об гравитационном поле черных дыр. Поэтому задача об вычислении темпа образования тесной двойной, состоящей из сверхмассивной черной дыры и компактного объекта, и связанной с ним вероятностью обнаружения таких систем, является весьма интересной и актуальной. Эта задача рассматривалась рядом авторов (см. например Hils & Bender 1995, Sigurdsson & Rees 1997, далее SR). Как правило, задача либо решалась численно с помощью методов Монте-Карло и методов решения задачи многих тел, либо производились качественные оценки по порядку величины. Целью настоящего раздела является применение количественного теоретического метода, основанного на так называемом приближении конуса потерь (см. например Lightman & Shapiro 1977, далее LS), для вычисления этих величин. Также мы исправляем ошибку, допущенную SR.
Рассмотрим в дальнейшем черную дыру, окруженную центральным звездным скоплением, с параметрами, близкими к параметрам центра нашей Галактики. Предположим, что масса черной дыры порядка 1О6М0. Как и в разделе 3.4, будем считать, что внутри радиуса, где масса черной дыры становится равной полной массе звездного скопления, называемого в дальнейшем радиусом влияния, образуется "касп", в котором плотность звезд увеличивается с уменьшением расстояния от центра. Существование такого каспа согласуется с наблюдениями центра нашей Галактики (например, Alexander, 1999) и некоторых других галактик. Эти наблюдения позволяют предположить, что в ряде случаев размер каспа порядка 1рс. Как мы покажем в дальнейшем, для того чтобы вычислить темп образования двойных, для нас будут важны внутренние области каспа, где плотность нормальных звезд существенно подавлена процессом двойных физических столкновений, разрушающих звезды. Поэтому для нас будут интересны компактные звезды, которые могут выжить в процессе столкновения с нормальными звездами. Существует еще один аргумент в пользу рассмотрения компактных звезд. Именно нормальные звезды, имеющие интересующие нас периоды вокруг черной дыры, должны быть-разрушены приливными полями, и поэтому только компактные звезды, имеющие маленькие радиусы, могут провести существенное время на таких орбитах, образуя долговременный квазипериодический источник гравитационного излучения. Разумно предположить, что в галактических центрах имеется существенная популяция эволюционных остатков нормальных звезд, белых карликов, нейтронных звезд и черных дыр звездных масс. Так как популяция белых карликов представляется наиболее существенной (их отношение к плотности нормальных звезд может быть 0.1, SR), то в дальнейшем мы будем рассматривать, в основном, белые карлики. Обобщение наших результатов на другие типы компактных объектов тривиально.
