Содержание к диссертации
Введение
1. Методологические принципы моделирования 6
1.1. Параметрические функциональные зависимости 6
1.2. Обзор популяционных моделей 6
1.3. Виды параметров 10
1.4. Основные положения, лежащие в основе построения моделей динамики популяций 12
2. Методики классификации моделей демографических систем и процессов на основе эндогенных и экзогенных связей 16
3. Параметрические аппроксимации процессов рождаемости и смертности 19
3.1. Введение 19
3.2. Требования к моделям аппроксимации возрастных распределений 19
3.3. Определение понятий и простейшие модели возрастного распределения рождений 21
3.4. Модель Романюка на основе кривой Пирсона 24
3.5. Общая модель рождаемости на основе гамма-распределения 25
3.6. Смысл статистического гамма-распределения 27
3.7. Модель с исчерпанной плодовитостью (последовательное рождение детей) 29
3.8. Двухэлементная модель рождаемости 29
3.9. Влияние на рождаемость факторов окружающей среды 30
3.10. Параметрическая аппроксимация закона распределения продолжительности жизни 32
3.11. Влияние на смертность факторов окружающей среды 34
3.12. Что такое «ресурс»? 36
4. Методы определения структур новорожденных по очередностям рождений 38
4.1. Введение в проблематику задачи 38
4.2. Используемые обозначения 38
4.3. Методика “точного совпадения данных” 39
4.4. Методика “подбора вероятностей” по очередностям 39
4.5. Методика параметрического моделирования без использования базового года 40
4.6. Условие корректности применения методик 42
4.7. Методика пропорционального распределения расчета прогноза двух лет 43
4.8. Методика пропорционального распределения неизвестных 45
5. Приближение стабильного населения и решение уравнения Лотки 47
6. Влияние неоднородности на темп роста численности популяции со стабильной возрастной структурой 52
6.1. Введение в проблему 52
6.2. Функция распределения по признаку 52
6.3. Дифференциальные и интегральные величины смертности и рождаемости 53
6.4. Модель унимодального распределения по признаку 55
6.5. Зависимость интегральной смертности от среднего дохода и дисперсии 57
6.6. Зависимость интегральной рождаемости от среднего дохода и дисперсии 59
6.7. Распределение по признаку с положительной нижней границей 61
6.8. Случай полимодального распределения по признаку 62
6.9. Зависимость коэффициента Лотки от среднего дохода и дисперсии 64
7. Макроэкономическая модель устойчивого развития населения 67
7.1. Введение в проблему 67
7.2. Модель Солоу, ее результаты и недостатки 68
7.3. Влияние демографических характеристик на параметры экономического роста 70
7.4. Модифицированная модель Солоу 73
8. Заключение 80
9. Выводы 82
Приложение 1. Таблицы 83
Литература 94
- Основные положения, лежащие в основе построения моделей динамики популяций
- Методики классификации моделей демографических систем и процессов на основе эндогенных и экзогенных связей
- Определение понятий и простейшие модели возрастного распределения рождений
- Методика параметрического моделирования без использования базового года
Введение к работе
Данная работа посвящена развитию методик параметрического моделирования динамики популяций, и применению полученных результатов в актуальных прикладных экономико-демографических исследованиях.
Моделирование систем на основе анализа влияния эндогенных и экзогенных статистических показателей на параметры функциональных зависимостей является одним из перспективных путей решения теоретических и прикладных задач в этой области. В настоящее время благодаря усилиям многих исследователей в значительной мере разработана методология математического моделирования и достигнуты большие успехи в применении таких моделей в прикладных разработках.
В настоящей диссертационной работе проведена систематизация и предпринята попытка развития параметрических методов моделирования динамики численности популяций и, в частности, населения, вводится понятие «информационного параметра» как отличительной черты цивилизованного общества от биологической популяции и рассматривается его участие в демографических процессах. В работе уделено особое внимание параметрическому описанию распределения количества рождений от возраста матери и использованию этого описания для построения прогнозов изменения численности населения. Одним из прикладных направлений данной работы была разработка методов восстановления демографических параметров по неполным временным статистическим рядам данных. В частности, с 1995 по 1998 год в государственных статистических исследованиях в демографии на Украине и в России приводятся статистические данные не по возрастному распределению рождаемости с учетом очередности рождения ребенка, а только по возрастному распределению полной рождаемости (количество детей, рожденных за год 1000 женщин некоторого возраста, либо численность женщин некоторого возраста и количество рожденных ими детей). Поэтому, если исследователя интересует полная информация по рождаемости, он оказывается в затруднительном положении. В настоящей работе предлагается методика по получению возрастного распределения по очередности рождений исходя из чисел родившихся по возрасту матери прогнозируемого года и статистических данных по годам, по которым имеется полная информация. На основе методики был разработан программный пакет, результаты расчетов которого приняты как рекомендуемые статистические величины для практического использования, например при планировании размеров выплат по детским пособиям.
Ещё одним из направлений данной работы было исследование влияния неоднородности популяции по какому-либо признаку на динамику её численности. Обычно при построении соответствующих моделей исследователи обычно делают предположения об однородности популяции по различным биологическим, а для населения – также по социальным, экономическим признакам и об однородности влияния внешней среды на процессы рождаемости и смертности. Это, как правило, не соответствует реальности и дает расхождение между моделируемыми и наблюдаемыми величинами. В данной работе приводятся некоторые результаты моделирования популяции со стабильной возрастной структурой, неоднородной по некоторому биологическому или социальному признаку.
В работе на основе полученного оригинального аналитического выражения для коэффициента Лотки (характеризующего скорость роста численности популяции со стабильной возрастной структурой) была также рассмотрена новая модификация широко известной макроэкономической модели Солоу, которая более точно учитывает взаимное влияние друг на друга экономических и демографических процессов, позволяя адекватно оценить роль различных информационных параметров в развитии системы.
Основные положения, лежащие в основе построения моделей динамики популяций
В 1900 году Гильберт выступил в Париже на II Международном конгрессе математиков со знаменитым докладом «Математические проблемы». «Когда речь идет о том, чтобы исследовать основания какой-нибудь науки, то следует установить систему аксиом, содержащих точное и полное описание тех соотношений, которые существуют между элементарными понятиями этой науки. Эти аксиомы являются одновременно определениями этих элементарных понятий, и мы считаем правильными только такие высказывания в области науки, основания которой мы исследуем, какие получаются из установленных аксиом с помощью конечного числа логических умозаключений» – такими словами [34, стр. 25] Гильберт предварил формулировку проблемы. Далее он высказал требования, предъявляемые к системе аксиом математической науки: независимость и непротиворечивость.
В том же докладе под номером шесть Гильберт сформулировал задачу «об аксиоматическом построении по этому же образцу (по образцу геометрии) тех физических дисциплин, в которых уже теперь математика играет выдающуюся роль: это в первую очередь теория вероятностей и механика» [34, стр. 34].
В докладе Гильберт так определяет сущность своего понимания аксиоматического метода: «Я верю, что все, что может быть объектом научного исследования и достигшее уровня зрелости, достаточного для включения в некоторую теорию, подвластно аксиоматическому методу и через него косвенно математике. Обращаясь к более глубокому пласту аксиом... мы достигаем более глубокого проникновения в сущность научного мышления и еще яснее осознаем единство нашего знания. В проявлениях аксиоматического метода математика, как представляется, призвана играть лидирующую роль в науке в целом».
В начале 20-го века многие ученые отдали дань построению аксиоматики физики на основе геометрических моделей многомерного пространства, венцом чего явилось создание общей теории относительности. Однако многочисленные открытия в области квантовой физики, открытие сильных и слабых взаимодействий не дали возможности построения «единой теории поля», не смотря на продолжавшиеся усилия ученых по ее созданию.
В отличие от физики, отдельные разделы которой зародились еще в античные времена, экология и демография являются очень молодыми науками. К сожалению, до сих пор демографию относят к разделу общественных (читайте: неточных) наук, наряду с социологией, обществоведением и философией. Для большинства демографов математика в демографии сводится к применению математических методов статистики при построении и анализе таблиц смертности и рождаемости, построению прогноза численности населения на некоторый период. Часто идет обычная констатация фактов, полученных из анализа имеющихся статистических данных, но не их объяснение.
Разделами науки, близкими к математической демографии, являются математическая экология (теория эволюции популяций), микробиология (модели дифференциации клеток), моделирование социально-экономических систем (модели макроэкономического развития). Не смотря на то, что большинство использующихся в демографии моделей были получены при решении задач в этих смежных областях, исследователями часто проводится резкое разграничение демографических и биологических понятий и объектов. Таким образом, демография сегодня только на пути к тому, чтобы по праву считаться наукой, в которой математика играет «выдающуюся» роль (по Гильберту). Поскольку большинство объектов и процессов в демографии (этнические, религиозные и культурные факторы) считаются трудно формализуемыми с точки зрения математики и поэтому недоступными количественному измерению, для них часто используется только качественное описание. В то же время их влияние на демографические процессы (рождаемость, смертность, миграцию) можно описать количественно. Ниже приводится ряд положений, являющихся, по нашему мнению, наиболее существенными при построении моделей динамики популяции: 1. Основной динамической характеристикой популяции или любой ее части является численность. Примечание. Часто при моделировании биологических популяций, таких как растения, микроорганизмы, в качестве основной характеристики удобнее брать биологическую массу, поскольку именно эта характеристика представляет интерес и является существенной для многих процессов. Однако расчет численности является эквивалентным, добавляя учет наличия отдельной особи, что актуально для демографии. 2. Все возможные характеристики можно разделить на набор характеристик численности популяции и ее частей, и набор характеристик признаков (ресурсные, пространственные, биологические, социальные и т.д.). 3. Для моделирования существенны только величины, характеризующие реальную популяции и ее части, которые являются количественно определяемыми и статистически измеримыми. 4. Все возможные характеристики популяции как объекта исследования можно разделить на параметры, характеризующие признаки объекта исследования (образующие пространство аргументов соответствующей размерности, например, возраст, пол, время, координаты в пространстве), и параметры, характеризующие состояние объекта исследования и являющиеся объектом изучения и моделирования (например, численность). 5. Все возможные характеристики можно разделить на внутренние и внешние по отношению к данной популяции или ее части (отдельному индивидууму). 6. Изменение некоторой характеристики численности популяции (или ее части) в любой момент времени пропорционально ее величине (то есть все уравнения эволюции численности являются дифференциальными уравнениями первого порядка по времени). Примечание. При этом коэффициенты рождаемости, смертности и миграции могут нелинейным образом зависеть от численности различных частей популяции. 7. Решение системы уравнений, характеризующих эволюцию популяции, при заданных начальных и граничных условиях должно существовать и быть единственным. Примечание. Если мы используем вероятностную трактовку, то данное требование относится к плотности вероятности распределения характеристик популяции (населения). Вопрос о полноте, непротиворечивости и независимости данных утверждений остается открытым.
Методики классификации моделей демографических систем и процессов на основе эндогенных и экзогенных связей
В настоящей работе использована предложенная нами [49] классификация демографических и экономико-демографических математических моделей воспроизводства населения по системе взаимоотношений между экзогенными и эндогенными переменными и постоянными коэффициентами модели. К моделям первого уровня в рамках классификации [49] относятся модели различной степени сложности (дискретные и непрерывные, детерминистские и вероятностные, с учетом возрастной структуры и без учета возрастной структуры, для однородного и неоднородного по каким-то параметрам населения), которые описывают воспроизводство популяции на основе использования различных популяционных процессов (рождаемости и смертности), являющихся эндогенными характеристиками конкретной модели при фиксированных внешних условиях. В этих моделях отсутствует явный учет экзогенных факторов, однако их влияние проявляется через величины используемых в моделях эндогенных характеристик. Модели второго уровня – это модели воспроизводства популяции (населения), учитывающие зависимость тех или иных популяционных (демографических) процессов от внешних (экологических, экономических, социальных, культурных, правовых) факторов. Здесь задаются экзогенные характеристики без учета обратных связей, то есть без влияния на них популяционных процессов. К моделям третьего уровня относятся модели воспроизводства населения, учитывающие обратные связи, то есть влияние друг на друга эндогенных демографических и экзогенных экономических, экологических и других факторов.
Обобщая все сказанное выше, сформулируем основные этапы, использованные в данной работе при построении экономико-демографических моделей в соответствии с данной классификацией: 1. Установление повозрастной плотности численности населения как основной характеристики объекта «население». Разделение характеристик совокупности «население-среда проживания» на эндогенные и экзогенные по отношению к объекту «население». 2. Качественное описание таких эндогенных характеристик, как смертность, рождаемость и миграция. Построение математических параметрических моделей для повозрастных распределений рождаемости и смертности исходя из следующих требований: аппроксимация функциональными зависимостями реальных статистических данных с заданной точностью; применимость функциональной зависимости в теоретическом анализе; интерпретация параметров функциональных зависимостей через реальные, интегральные, статистически измеримые характеристики моделируемых процессов; временная, пространственная и биологическая универсальность применяемых моделей. 3. Построение модели I уровня – демографической модели стабильного населения при фиксированном влиянии внешней среды. Решение уравнения Лотки – нахождение темпа прироста численности населения исходя из значений фиксированных параметров возрастного распределения эндогенных характеристик населения – смертности и рождаемости. Для простоты модель строится как точечная (нет распределения по пространству и миграции). 4. Построение связи I типа – качественное рассмотрение и математическая аппроксимация зависимости демографических характеристик от условий внешней среды. Введение интегрального параметра, обобщающего в себе степень замещения естественной природной среды на искусственную технократическую среду («цивилизацию»), показатель защиты отдельных членов общества от неблагоприятных внешних условий и показатель эффективности распределения жизненно необходимых ресурсов, поступающих в общество из внешней среды. 5. Построение модели II уровня – интерпретация интегрального параметра как общественного богатства или обобщенного ресурса, которое население может производить, распределять и расходовать.
Выражение значения этого параметра в единицах свободной энергии и (или) в денежном выражении как удельное потребление члена общества дает возможность построить модель изменения во времени количества общественного богатства как математическую модель экономики. Построение модели II уровня с однородным распределением общественного богатства среди членов общества. Проведенные исследования дают возможность перейти к более сложным моделям, более адекватно описывающим реальное население: 1. Построение модели II уровня с фиксированным и нефиксированным неоднородным распределением общественного богатства среди членов общества. 2. Построение связей II типа – влияния основных демографических характеристик (смертность, рождаемость, брачность и миграция) на производство общественного богатства – долю трудоспособного населения, долю занятых в производстве, квалифицированность труда, темп научно-технического прогресса, распределение населения по доходам. 3. Построение глобальных моделей III уровня, вбирающих в себя эволюцию и взаимосвязи различных экзогенных и эндогенных характеристик населения, распределение плотности населения в пространстве и механизмы миграции, изменение во времени распределения населения по доходам [27, 42, 45]. Теперь перейдем к рассмотрению конкретных популяционных процессов – рождаемости и смертности.
Определение понятий и простейшие модели возрастного распределения рождений
Под рождаемостью (полной рождаемостью, интенсивностью рождений) B(t) в дальнейшем мы будем понимать повозрастное распределение рождений, то есть среднее количество новорожденных за год, рожденных 1000 женщин в возрасте t лет. Можно так же рассматривать количество новорожденных за год, в среднем приходящееся на 1000 женщин всех возрастов. В качестве наглядного примера приведем возрастное распределение рождений по Украине, 1985 год (рис. 3.1): Для рождаемости, подобно работе [15], мы рассматриваем полную рождаемость ( ) как произведение биологической компоненты (биологическая способность женщины рожать ребенка – ) и множителя, принимающего значения от 0 до 1, отражающего влияние внешней социально-экономической среды и имеющего смысл коэффициента реализации видовой биологической продуктивности (коэффициент социального влияния – ): Изменение возрастной структуры рождений как во времени, так и для обществ с различным уровнем экономического и социального развития можно качественно объяснить изменением представления общества об оптимальном числе детей в семье и, как следствие, изменением соотношений между собой долей детей различных очередностей рождений. Количественно связать изменение повозрастной структуры рождаемости с величиной удельного потребления на основании имеющихся у нас данных в настоящее время не представляется возможным (как одну из причин можно указать существенную неоднородность населения по социальным и экономическим признакам, по которой нет достаточного массива статистической информации).
Поэтому в настоящей работе мы не обсуждаем историческое изменения повозрастной структуры рождаемости, которое может рассматриваться как следствие социально-экономических изменений, и формально рассматриваем повозрастную зависимость интенсивности рождений как исторически относительно стабильную характеристику в рамках биологической компоненты. Рассмотрим структуру биологической компоненты. Здесь функциональная аппроксимация структуры зависит от того, существенна ли точная возрастная структура для модели. Если исследователю требуется указать лишь тот факт, что женщина за продуктивный период рожает Ф детей и средний возраст рождений tо, пренебрегая точность описания самой возрастной структуры, он для упрощения теоретического анализа может воспользоваться распределением в виде дельта-функции: где Поскольку , f(t) – произвольная функция, непрерывная на интервале , tо 0, то теоретический анализ модели значительно упрощается, что и было использовано в работе [32]. Если нам важно правильное описание распределения возрастной структуры рождений, то один из простейших способов аппроксимации – это трапеция (рис. 3.2):
Для биологической компоненты рождений площадь под графиком равна числу детей, в среднем рождаемых женщинами за свою жизнь в наименее развитых странах. В результате оценки исторических данных это число было принято нами равным 16, что и определило высоту трапеции – Q = 0,8 . Хотя данная модель имеет достаточно слабое теоретическое обоснование, лишь качественно отображая тенденции возрастной динамики рождений, она удобна в качественном анализе эволюции демографических характеристик как кусочно-линейная функция. Одним из классических примеров подбора удачной математической аппроксимации рождаемости является трехпараметрическая (пяти-параметрическая с учетом произвольности выбора возраста вступления в детородный период и продолжительности детородного периода) модель Романюка на основе кривой Пирсона типа I [57]: с дополнительным требованием .
Обозначим: – нижняя граница детородного периода, – верхняя граница детородного периода, – модальный возраст матери, – средний возраст матери при рождении детей. Тогда – продолжительность детородного периода; , – верхняя и нижняя границы интегрирования. Параметры аппроксимации , , , через измеримые статистические величины можно выразить следующим образом: – имеет смысл возрастного промежутка от начала детородного периода до модального возраста матери; – имеет смысл возрастного промежутка от модального возраста матери до конца детородного периода;
Методика параметрического моделирования без использования базового года
Рассмотрим методику, по которой расчет величин и можно провести, не используя прямо данные базового года. Идея методики состоит в том, чтобы повозрастное распределение рождений для каждой очередности аппроксимировать некой непрерывным параметрическим функционалом , таким, что . Здесь подбираемые параметры, характеризующие конкретное распределение по очередности j, – подбираемый коэффициент плодовитости для очередности j. Значения параметров и , , находятся из минимума функционала , при . Функционал характеризует распределение вероятностей рождения по возрасту: В литературе встречается несколько видов данного функционала. Простейшей функцией является трапеция. Хотя данная модель имеет достаточно слабое теоретическое обоснование, лишь качественно отображая тенденции возрастной динамики рождений, она удобна в качественном анализе эволюции демографических характеристик как кусочно-линейная функция. Одним из классических примеров подбора удачной математической аппроксимации рождаемости является трехпараметрическая (пяти-параметрическая с учетом произвольности выбора возраста вступления в детородный период и продолжительности детородного периода) модель Романюка на основе кривой Пирсона типа I [57]: с дополнительным требованием . Модель рождаемости Романюка имеет большое значение в исторической демографии для реконструкции возрастного распределения рождений по известным интегральным характеристикам рождаемости. К сожалению, использование модели в теоретическом анализе затруднено из-за сложного функционального вида и отсутствия ясной интерпретации функциональной зависимости и ее параметров через биологические и социальные характеристики. Выше (см. так же работы [49-55]) описывался метод математической аппроксимации рождаемости, более точно описывающий реальную возрастную структуру рождений: Здесь – гамма-функция Эйлера, , – возраст вступления женщины в детородный период (для данной очередности). Функцию можно использовать как для моделирования всего повозрастного распределения рождений, так и для отдельных очередностей. Частным случаем данной модели является приближение для n=2 [51]: , где , – интервал между началом детородного периода и модальным возрастом (для данной очередности). Данное приближение, не смотря на свою простоту, позволяет с высокой точностью аппроксимировать имеющиеся данные. Кроме того, оно имеет параметры, имеющие ясный демографический смысл, что позволяет делать хорошее приближение исходного значения параметров при решении задачи оптимизации. Если имеются данные базовых лет, их можно использовать для более точной оценки исходных значений параметров. Данный метод самый сложный из перечисленных, однако представляет большой интерес с точки зрения развития методик математической аппроксимации возрастных структур рождаемости и углубления понимания социальных, психологических и биологических факторов, лежащих в основе процесса рождений. 4.6. Условие корректности применения методик Как мы видели выше, для применения методик необходимы данные базового года. Возникает вопрос: любой ли год, по которому есть полные статистические данные, можно брать в качестве базового?
Ответ дает сравнение возрастных распределений вероятности рождения ребенка j-ой очередности для разных базовых лет. Как показали исследования, на роль базового года методики “подбора вероятностей” для 1995-1997 годов лучше всего подходят 1990-1994 года, а для прочих годов наблюдается тенденция смещения распределений в старшие возраста с увеличением давности статистики и с увеличением коэффициента суммарной рождаемости. Соответственно для нахождения возрастных распределений рождаемости с учетом очередности для, например, послевоенного времени, в качестве базовых следует использовать 1950 или 1955 года. То есть чем меньше временной интервал между базовым и прогнозируемым годами, тем лучше качество расчетов. Для эффективного применения методики “точного расчета” необходимо сохранение соотношения долей каждой очередности рождения для каждого возраста матери. Например, если в базовом году для некоторой очередности рождений для некоторого возраста матери рождаемость равна нулю (с точностью до положенного количества знаков после запятой), то и в прогнозируемом году это значение будет равно нулю. Необходимым условием сохранения соотношений долей каждой очередности рождения для каждого возраста матери является сохранение возрастных распределений вероятности рождения ребенка для разных очередностей. Сравнивая эффективность различных методик, надо заметить, что самые лучшие результаты дает первая методика, как наименее чувствительная к различию между кривыми возрастных распределений некоторой очередности для разных базовых годов. Из изложенного выше возникает вопрос: как часто необходимо проводить сбор полной статистической информации о рождаемости? Анализ статистических данных по Украине (1958-1999 гг.) и проверка методик для годов с имеющейся полной статистикой показывает на первой методике удовлетворительные результаты для десятилетних периодов (ошибка не более 10% для первых трех очередностей рождения) и хорошие результаты для пятилетних периодов (ошибка не более 5%) для периодов с относительно стабильной демографической ситуацией. Для периода 1994-1999 гг., когда для Украины характерно резкое (почти в 2 раза) снижение уровня коэффициента суммарной плодовитости, существенные изменения в возрастных структурах рождений для разных очередностей, ошибка возрастает до 50%, что не может считаться удовлетворительным признаком. Это и заставило нас приступить к разработке методики, которая бы использовала базовые года на границах рассчитываемых временных интервалов (поскольку точность интерполяции данных значительно выше, чем точность экстраполяции). Однако представленные методики сохраняют свое значение для прогноза значений для будущих лет. Отдельной проблемой, которую можно поставить исходя из представленного выше материала, является описание смещения со временем возрастных структур для различных очередностей рождений, выявление его причин и закономерностей.
