Априорные оценки и существование ограниченных во всей плоскости решений квазилинейных эллиптических систем первого и второго порядка Джабборов Абдукудус Абдуманонович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Вспомогательные утверждения

1. Основные вспомогательные факты 15

2. Оператор Т и его свойства 21

Глава 2. Ограниченные и периодические решения квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка

1. Априорные оценки ограниченных решений — 31

2. Априорные оценки периодических решений 39

3. Существование периодических и ограниченных решений

3.1. Эквивалентность уравнения векторному полю 45

3.2. Вращение векторного поля 48

3.3. Существование периодических и ограниченных решений 52

Глава 3 Ограниченные и периодические решения квазилинейных эллиптических систем двух уравнений

1. Априорные оценки ограниченных решений 56

2. Априорные оценки периодических решений 65

3. Существование периодических решений

3.1. Эквивалентность задачи векторному полю 71

3.2. Вращение векторного поля и существование периодических и ограниченных решений 73

3.3. Пример 83

Литература

• Оператор Т и его свойства
• Априорные оценки периодических решений
• Вращение векторного поля
• Априорные оценки периодических решений

Введение к работе

Aw - P(z,w,w-) + f(z,w,w-) (1)

и эллиптические системы вида

fa = P(z,w,), [со, = Q(z,w,co) + g(z,w,a>).

Здесь функции P и Q двояко-периодические по 2 с основными периодами 2я и 2т, положительно однородные порядков т > 0 и к > О, соответственно, по переменным w,co, т.е.

P(z,hv,Zo)) = X^mP{z,w,co\ Q{z,Xw,Xco) = X^kQ{z,w,co\ X>0, а функции f(z,w,ci)) и g(z,w,a) удовлетворяют условиям

\f(z,w,co)\< &(/), \g{z,w,0))\<(3₂{r\ (3)

Pi(r) = o{r^m\ P₂(r) = o(r^k) при r->x, r = |w| + |a>|.

Основополагающими работами по эллиптическим уравнениям и системам на плоскости являются труды М.А.Лаврентьева, И.Н.Векуа, Л.Берса, Л.Г.Михайлова, их учеников и последователей (см., например, [1, 8 - 14, 27 - 30]). Для линейных уравнений и систем в регулярном случае И.Н.Векуа и в сингулярном случае Л.Г.Михайловым построены достаточно полные теории (см., например, [11 - 14, 27 - 29]). Нелинейным, в частности квазилинейным эллиптическим уравнениям на плоскости посвящены сравнительно мало работ. Различные вопросы, такие как представление решений, краевые задачи, ограниченные и периодические решения, распространение теоремы Лиувилля для нелинейных и квазилинейных

уравнений на плоскости изучены в работах И.Н.Векуа, Л.Г.Михайлова, В.С.Виноградова, Э.Мухамадиева, В .Тучке, Л.Вольферсдорфа, А.И.Янушаускаса и др. (см., например, [13, 17, 20 - 27, 29 - 34, 36, 44 -48]). Для квазилинейных систем вида

w-. = P(z,w) + f(z,w),

где функции Р vi f удовлетворяют условиям, аналогичным выше перечисленным, в ряде работ С.Байзаева (см, [2 - 7]) изучены задачи о периодических и ограниченных решениях, а также распространение принципа максимума модуля и теоремы Лиувилля на решения таких систем. Цель работы. Для квазилинейного уравнения (1) и системы (2):

исследовать задачи о двояко-периодических и ограниченных на всей плоскости решениях;

найти условия на главные члены правой части, при которых существует двояко-периодическое (ограниченное на всей плоскости) решение.

Общие методы исследования. В диссертации применяются методы теории функций комплексного переменного, теории обобщенных аналитических функций и теории вращения вполне непрерывных векторных полей в банаховом пространстве.

Научная новизна. Основные результаты диссертации.

1. Для уравнения (1) в терминах функции Р получены условия существования двояко-периодических (ограниченных на всей плоскости) решений.

2. Для системы (2) в терминах функций Р и Q найдены условия существования двояко-периодических (ограниченных на всей плоскости) решений.

3. Найдены признаки наличия равномерных априорных оценок вместе с производными для ограниченных на всей плоскости, а также двояко-периодических решений уравнения (1).

4. Найдены признаки наличия равномерных априорных оценок для ограниченных на всей плоскости, а также двояко-периодических решений системы (2).

5. Вычислены вращения нелинейных векторных полей, соответствующие двояко-периодическим решениям уравнения (1) и системы

(2).

Теоретическая и практическая ценность работы. Полученные в

работе результаты носят теоретический характер и являются важными в

теории квазилинейных эллиптических уравнений на плоскости. Они могут

быть применены при изучении краевых задач для уравнения (1) и системы

(2).

Апробация работы. Основные результаты диссертации были доложены в международных научных конференциях «Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений» (Россия, Воронеж - 2003 г.), «Дифференциальные и интегральные уравнения с сингулярными коэффициентами» (Душанбе, 25 - 28 октября 2003 г.), «Актуальные проблемы математики и ее приложения» (Худжанд, 29-31 мая 2003 г.), «Дифференциальные и интегральные уравнения и смежные вопросы анализа» (Душанбе, 6 - 10 ноября 2005 г.) и конференции молодых ученных Согдийской области (17-21 мая 2006 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 6 работ [37 - 42]. Все результаты диссертации принадлежат лично автору, за исключением постановки задач в совместных с С. Байзаевым работах.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы. Текст диссертации насчитывает 90 страниц, В списке литературы - 48 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, дается краткий обзор работ, посвященных квазилинейным эллиптическим системам на плос-

кости и близких к теме диссертации, и излагаются основные результаты диссертации.

В первой главе приводятся основные вспомогательные понятия и утверждения, а также получены ряд новых фактов, касательно уравнению вида(1).

В пространстве С_1я непрерывных и двояко-периодических ПО Z с

основными периодами 1ж и 1т функций f\z) с нормой

[Д. =mi&\f{z\ К = {(х,у): 0<х,_у<2^} рассмотрим оператор Г, определенный по следующей формуле

где fk - коэффициенты Фурье функцииfiz), k = k_} + ik₂, (k,z)~ k_tx + k₂y; k_t,k₂ - целые числа; область К будем называть квадратом периодов. В равенстве (4) суммирование ведется по таким ^ и k₂, которые одновременно не обращаются в нуль. Ряд, стоящий справа в формуле (4) сходится в L₂(K) к некоторой функции g(z). Установлены ряд свойств оператора Т, Например;

- Оператор Т с областью определения С_2к a L₂(K) является ограни
ченным и справедлива следующая оценка

< 2|| /1

II > Н₂(К) !к II/.,(Л

- Функция g(z) имеет обобщенные производные по z, z и для этих
производных верны следующие оценки:

- Функция g{z) является на всей плоскости обобщенным решением
уравнения

Ш = /-и (5)

- Если f(z) єС_а, то функция g(z) на всей плоскости будет классиче
ским решением, уравнения (5).

Оператор Т действует, в пространстве С_2її и является вполне непрерывным.

Если f є С_1п, то T(Af) = f(z) - f₀ {C^J_2/_ -множество функций из

С_1л, имеющие непрерывные частные производные j-го порядка).

Пусть функция F = F(z,w, со) является двояко-периодической по г с основными периодами 2л и 7т и непрерывной по совокупности перемен-ных в КхС . Доказано, что если weC_2n, то сложную функцию F_x{z) = F[z,w(z),w_?(z)] оператор Т переводит в функцию g(z), которая является на всей плоскости обобщенным решением следующего уравнения

AU^F_x{z)-F_{, (6)

где F_l - среднее значение функции Fj.

Таким образом, мы имеем оператор, который сопоставляет каждой функции w є С\_п обобщенное решение уравнения (6), причем в силу теоремы о гладкости решений эллиптических уравнений функция g(z) принадлежит классу С^]_а. Этот оператор с областью определения E_r =|w: weC_2f, max(|w(z)j + |w_F(z)|)7 и вполне непрерывности оператора Т.

В дальнейшем будем предполагать, что функция F удовлетворяет условию Гельдера по всем переменным. Установлено, что

- если функция w₀ є С\_п для. какой-нибудь постоянной с удовлетворяет уравнению

w = (TF)(z) + c,

где (TF)(z) = TF(z, w, w_F), то она будет на всей плоскости классическим

решением уравнения

Аи = F(z,u,u_i)-F,

где F - среднее значение функции F[z,w₀(z),d .w₀(z)].

Во второй главе рассматривается квазилинейное эллиптическое уравнение второго порядка (1) с соответствующими выше перечисленными условиями на правую часть. Также предполагается, что функции Р и / удовлетворяют условию Гельдера по совокупности переменных.

Первый параграф посвящен вопросу о наличии общей априорной оценки ограниченных решений уравнения (1).

Справедлива следующая теорема (здесь и далее сохраняется нумерация теорем, принятая в главах диссертации).

Теорема 2.1. Пусть т>\ и функции Р иfудовлетворяют выше перечисленным условиям. Пусть

1) для любого z₀ є К, w_u є С, \w₀ \ = 1 выполнено условие

P(z_Q,w₀,0)*0;

2) для любого z₀ eK,w_De С, \w₀\ < 1 уравнение

-=P(z₀,w₀,&))

не имеет ненулевых ограниченных во всей плоскости решений. Тогда для всех ограниченных во всей плоскости решений уравнения (1) справедлива общая априорная оценка вида

"

SUp(]w(z)|+№-(z)

где R зависит только от функций Р и (3_V

Под выражением справедлива «общая априорная оценка» имеется ввиду то, что априорная оценка имеет место для решений всех уравнений, в которых функция f удовлетворяет условию (3).

Во втором параграфе рассмотрен вопрос о наличии общей априорной оценки периодических решений уравнения (1). Предположим, что функция / двояко-периодическая по z с основными периодами 2л- и 2т. Здесь и далее под периодическим решением уравнения (1) и системы (2) будем иметь ввиду двояко-периодическое решение по z с основными периодами 2л- И 2л-/.

Справедлива следующая Теорема 2.2.Пусть 0<т<1 и

Q₀(w)=\\P(z,yv,())dxdy*Q

для любого w^O. Тогда для всех периодических решений уравнения (1) справедлива общая априорная оценка

max(|w(z)[+ w-(z))

где R зависит только от функций Р и Д.

Рассмотрим квазилинейное уравнение вида

bw = F(z,w,w-), (7)

где функция F -F(z,w,u))- удовлетворяет выше перечисленным условиям, а также следующее операторное уравнение

w(z) = w(0) + (TF){z) ~ (7F)(0) + F, (8)

где w.C\_K, F- среднее значение функции F[zMz),wJz)]. Имеет место

следующая теорема, которая устанавливает эквивалентность уравнений (7) и (8) в определенном смысле.

Теорема 2.3. Справедливы следующие утверждения:

а) если функция w є С_2!Г является решением уравнения (7), то она
удовлетворяет уравнению (8);

б) если функция w є С_1п является решением уравнения (8), то она

удовлетворяет уравнению (7).

Эта теорема показывает, что задача нахождения периодических решений уравнения (1) эквивалента нахождению решений из пространства

С\_п следующего уравнения

w(z) = чо) + (ЦР + fW) - (T^ + /))(0) + Р + /, где Р,/- средние значения функций P[z,w(z),w-(z)], f[z,w(z),w-_:(z)] соответственно. Поэтому далее изучается следующее уравнение

фц> = w(z) - Aw(z) = 0,

Aw(z) = _W(0) + (ЦР + /))(z) - (T(P + /))(0) + P + /. В силу предположения относительно функций Р, / и вполне непрерывности оператора Т следует, что оператор А : С_2ж -> С_2ж с областью определения E_r а С_1ж является вполне непрерывным. Отображение Ф представляет собой вполне непрерывное векторное поле в пространстве С_2я

В силу теоремы 2.3 нули поля Ф будут периодическими решениями уравнения (1). Поэтому, устанавливая существование нулей векторного поля Ф, тем самим получаем наличие периодических решений уравнения (1). Далее вычисляется вращение векторного поля Ф и устанавливается существование периодических решений уравнения (1).

В условиях теоремы 2.1 об априорной оценке следует, что векторное поле Ф при достаточно большом значении г (нужно взять г > R, R- число, указанное в теореме) на границе S_r области Е_г невырождено. Поэтому, если мы сумеем установить, что ^(,5^)^0 при достаточно больших г,

то существование периодических решений уравнения (1) будет доказано. Теорема 2.5. Пусть

Q_Q{w)*0 Vw^O

и выполняется одно из следующих требований:

1) Пусть выполнены условия теоремы 2.1 и уравнение

Aw = P(z, w, w-)

в пространстве С'_ъ не имеет ненулевых решений.

2) 0 < m < 1.

Тогда вращение у(Ф,8_г) векторного поля Ф на границе S_r области

Е_г с С_2п при достаточно больших значениях г равно индексу нулевой особой точки двумерного векторного поля Q₀: у(Ф, S_r) = y(Q₀,0).

Таким образом, получаем следующее утверждение о существовании периодических (ограниченных) решений уравнения (1):

Пусть выполнены условия теоремы 2.1 или 2.2 и ш^(0,(?₀) -Ф 0. Тогда уравнение (1) имеет по крайней мере одно периодическое (ограниченное, если функция f ограниченная по переменной z) решение.

Третья глава посвящена изучению вопросов наличия общих априорных оценок, а также существования ограниченных во всей плоскости и периодических решений системы (2). Кроме выше перечисленных условий дополнительно будем предполагать, что функции P,Q,fEg удовлетворяют условию Гельдера по всем переменным.

Здесь также как и в главе 2 вначале получены априорные оценки для ограниченных решений системы (2), а затем - теоремы существования ограниченных и периодических решений.

Теорема 3.1. Пусть т > тах{1,&}. Пусть уравнение

w- = P(z_Q,w,&>₀) для любых г₀ є К, (У₀ є {а ; \о\ < 1} не имеет ограниченных на всей плоскости решений w(z), удовлетворяющих условию

[w(0)| = l-K|-

Тогда существует такая постоянная R>0, зависящая только от. функций Р,2,Д,/?₂, что для всех ограниченных на всей плоскости решений системы (2) справедлива общая априорная оценка вида

SUp(|w(z)|+|

Условие наличия общей априорной оценки вида (9) зависит от соотношения между порядками однородностей функций Р и Q. Например, если объединить теоремы 3.2-3.4 диссертации, то справедлива следующая

Теорема. Пусть выполнены одно из следующих условий: а) т = к>\ и для любого г₀ є К система

w,=P(z_0>w,co) не имеет ненулевых ограниченных на всей плоскости решений;

б) Пусть т = 1, 0 <к < І. Пусть P(z,w,)^0 для любого
zeK, (w,co)^0 и для любого со₀:\со₀\<1 уравнение

не имеет ненулевых ограниченных на всей плоскости решений;

в) Пусть т=к~\ и система

(w, = P(z,w,&) \m.=Q{z,w,(a)

не имеет ненулевых ограниченных решений.

Тогда существует такое число R > О, зависящее только от функций

Р, Q, /?], /?₂ < ^что д^{ДЯ всех} ограниченных на всей плоскости решений системы (2) справедлива общая априорная оценка вида (9).

Теперь рассмотрим случай, когда порядки однородности функций Р и Q меньше 1. В этом случае предполагая двояко-периодичность функций /и g по переменной z с основными периодами 2ж и 2т устанавливается

общая априорная оценка для всех периодических решений системы (2). Оказывается, что в этом случае в отличие от теоремы 3.1 значения функции Р при отдельных г и йі роли не играют. Пусть

p(w,o))= ^P(z,w,a>)dcdy,

q(w,co)= \\Q(z,w,d))dxdy.

Справедлива следующая Теорема 3.5. Пусть m,ke (0, 1) и

\p(w,co)\ + \q(w,6j)\> О для любого (w,6))? (0,0). Тогда для всех периодических решений системы (2) справедлива общая априорная оценка

max(\w(z)\ + \(d(z)\) < R,

где R - постоянная, зависящая только от функций Р, Q, Дм j3₂.

В третьем параграфе изучаются вопросы об эквивалентности задачи о периодических решениях векторному полю, о вращении векторного поля и существовании периодических и ограниченных решений. Пусть С_2ж -декартово произведение С,_ xC_2jr.

Лемма 3.1. Задача нахождения периодических решений, т.е. решений из пространства С\_Й системы (2) эквивалентна задаче нахождения решений из пространства С\_к следующей системы уравнений

\oj-a₂(w,&) = Q,

(10)

Л, (w,*)) = ЦО) + [S(P + /)](z) - [S(P + /)](0) -[F, ]₀ , A₂(w,e>) = 6>(0) + [S(Q + g)]{z)-[S(Q + g))(0)-[F₁]₀₎ S- оператор, определенный в C_2x no формуле

h_k -коэффициенты Фурье функции h, [B\\, [F₂]₀- среднее значение функ-

ifuuP[z,w{z)M^z)] + f(^zM^z)M^z)), Q[z,w(z)Mz)] +g(zMz)M^z)) соответственно.

Отметим, что операторы А_х,А_г являются вполне непрерывными. С

учетом этой леммы в дальнейшем исследуется разрешимость системы уравнений (10) в пространстве С\_я. В пространстве С₂^У_Я рассмотрим оператор (векторное поле) Ф, определенный по формуле:

Л.. л г... -Л

0(w,u)) =

w- A_{{w,a>) со - A₂(w,co)^

В силу леммы 3.1 нули этого поля являются решениями системы (10), и наоборот. Это поле является вполне непрерывным. Далее находятся условия невырожденности поля Ф на сферах

5,.=)(^,0))6^:14^+14^ =г\

и вычисляется вращение у = у(Ф, S_r) поля на этих сферах. Отметим, что неравенство 7 ф 0 гарантирует существование по крайней мере одного пуля поля Ф внутри шара

K,,=lw,)eCl-.\\w\\^₊\\&\\^

Введем обозначение

1 J P{z,w,co)\ Аж- i\Q(z,w,oj)J

R₀- является отображением из С² в С², причем R(0, 0) = (0, 0),

Справедливы теоремы 3.6 и 3.7, которые можно объединить так. Теорема 3.6. Пусть

R₀(w,co)?0 для любых (>-,uj)#(0;0). (9)

w выполнены одно из следующих условий:

а) Пусть т>к>\ и выполнены условия теоремы 3.1. Пусть система

w._z=P{z,w,6)\ |fi?_F=(z₍w,fl>),

не имеет ненулевых решений в пространстве С\_ж;

б) Пусть 0<к<т<\.

Тогда для достаточного больших г векторное поле Ф является невырожденным на сферах S_r с С_1к и его вращение на этих сферах равно

у₀ =i.nd(Q,R₀)~ индексу нуля отображения R₀ :С² ~>С².

Таким образом, получаем следующее утверждение о существовании периодических (ограниченных) решений системы (2):

Пусть выполнены условия теоремы 3.6 и шй?(0,7?₀)^0. Тогда система (2) имеет по крайней мере одно периодическое (ограниченное, если функции fug ограниченные по переменной z) решение.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю С.Байзаеву за постоянную помощь и оказанное внимание к работе.

Оператор Т и его свойства

Исследование задач об ограниченных во всей плоскости, а также двояко-периодических решений квазилинейных эллиптических уравнений и систем является особенно важным в связи с тем, что такие задачи изучены сравнительно мало. В диссертации изучаются квазилинейное уравнение вида Aw - P(z,w,w-) + f(z,w,w-) (1) и эллиптические системы вида fa = P(Z,W, D) + f(z,w,a ), [со, = Q(z,w,co) + g(z,w,a ). Здесь функции P и Q двояко-периодические по 2 с основными периодами 2я и 2т, положительно однородные порядков т 0 и к О, соответственно, по переменным w,co, т.е. P(z,hv,Zo)) = XmP{z,w,co\ Q{z,Xw,Xco) = XkQ{z,w,co\ X 0, а функции f(z,w,ci)) и g(z,w,a) удовлетворяют условиям \f(z,w,co)\ &(/), \g{z,w,0))\ (32{r\ (3) ГДЄ Pi(r) = o{rm\ P2(r) = o(rk) при r- x, r = w + a .

Основополагающими работами по эллиптическим уравнениям и системам на плоскости являются труды М.А.Лаврентьева, И.Н.Векуа, Л.Берса, Л.Г.Михайлова, их учеников и последователей (см., например, [1, 8 - 14, 27 - 30]). Для линейных уравнений и систем в регулярном случае И.Н.Векуа и в сингулярном случае Л.Г.Михайловым построены достаточно полные теории (см., например, [11 - 14, 27 - 29]). Нелинейным, в частности квазилинейным эллиптическим уравнениям на плоскости посвящены сравнительно мало работ. Различные вопросы, такие как представление решений, краевые задачи, ограниченные и периодические решения, распространение теоремы Лиувилля для нелинейных и квазилинейных уравнений на плоскости изучены в работах И.Н.Векуа, Л.Г.Михайлова, В.С.Виноградова, Э.Мухамадиева, В .Тучке, Л.Вольферсдорфа, А.И.Янушаускаса и др. (см., например, [13, 17, 20 - 27, 29 - 34, 36, 44 -48]). Для квазилинейных систем вида w-. = P(z,w) + f(z,w), где функции Р vi f удовлетворяют условиям, аналогичным выше перечисленным, в ряде работ С.Байзаева (см, [2 - 7]) изучены задачи о периодических и ограниченных решениях, а также распространение принципа максимума модуля и теоремы Лиувилля на решения таких систем. Цель работы. Для квазилинейного уравнения (1) и системы (2): - исследовать задачи о двояко-периодических и ограниченных на всей плоскости решениях; - найти условия на главные члены правой части, при которых существует двояко-периодическое (ограниченное на всей плоскости) решение.

Общие методы исследования. В диссертации применяются методы теории функций комплексного переменного, теории обобщенных аналитических функций и теории вращения вполне непрерывных векторных полей в банаховом пространстве.

Научная новизна. Основные результаты диссертации. 1. Для уравнения (1) в терминах функции Р получены условия существования двояко-периодических (ограниченных на всей плоскости) решений. 2. Для системы (2) в терминах функций Р и Q найдены условия существования двояко-периодических (ограниченных на всей плоскости) решений. 3. Найдены признаки наличия равномерных априорных оценок вместе с производными для ограниченных на всей плоскости, а также двояко-периодических решений уравнения (1). 4. Найдены признаки наличия равномерных априорных оценок для ограниченных на всей плоскости, а также двояко-периодических решений системы (2). 5. Вычислены вращения нелинейных векторных полей, соответствующие двояко-периодическим решениям уравнения (1) и системы (2).

Теоретическая и практическая ценность работы. Полученные в работе результаты носят теоретический характер и являются важными в теории квазилинейных эллиптических уравнений на плоскости. Они могут быть применены при изучении краевых задач для уравнения (1) и системы (2).

Апробация работы. Основные результаты диссертации были доложены в международных научных конференциях «Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений» (Россия, Воронеж - 2003 г.), «Дифференциальные и интегральные уравнения с сингулярными коэффициентами» (Душанбе, 25 - 28 октября 2003 г.), «Актуальные проблемы математики и ее приложения» (Худжанд, 29-31 мая 2003 г.), «Дифференциальные и интегральные уравнения и смежные вопросы анализа» (Душанбе, 6 - 10 ноября 2005 г.) и конференции молодых ученных Согдийской области (17-21 мая 2006 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 6 работ [37 - 42]. Все результаты диссертации принадлежат лично автору, за исключением постановки задач в совместных с С. Байзаевым работах.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы. Текст диссертации насчитывает 90 страниц, В списке литературы - 48 наименований.

Априорные оценки периодических решений

Покажем, что из последовательностей функций {un(z}}, {vn(z)} можно выбрать подпоследовательности, равномерно сходящиеся на каждом компакте плоскости. Имеем

В силу первого равенства из (1.10) и соотношений (1.1.2) имеем dun(z) 1с1 v„00 dz і (1.13) dz Так как — - 0, то из (1.13) следует, что равномерно ограничен ии L J на, Поэтому в силу леммы 1,1 (см. гл.1, 1) последовательность {щ(г)} будет равностепенно непрерывной. Итак, последовательность un(z) равномерно ограниченна и равностепенно непрерывна.

Зафиксируем р 0. В силу теоремы Арцела из последовательности {ujz)} можно выделить подпоследовательность \ип (z)j, которая равномерно сходится на круге К = {z : z р). Пусть и(1)(г)предел этой подпоследовательности. Аналогично из последовательности и„ [гц выделим подпоследовательность !шп (z)L равномерно сходящуюся на круге К2р - {z : z 2р]. Пусть u{1\z) предел этой подпоследовательности. Ясно, что M(2)(Z) = W(I)(Z) при z єКр.

Покажем, что эта последовательность равномерно сходится на каждом компакте плоскости. Пусть К произвольный компакт. Возьмем Л" так чтобы При k N последовательность uh(z\ktJ принадлежит N-й строке таблицы (1.14). Поэтому uk(z) равномерно сходится на К- , в частности на компакте К.

Итак, диагональная последовательность uk(z),keJ сходится равномерно на каждом компакте к некоторой функции u(z).

Рассматривая первое соотношение из (1.10) для n k .J, zeKR и используя формулу (1.2) (см. гл.1, 1) перепишем его в виде:

Отсюда следует, что u(z) аналитическая в круге KR. В силу произвольности R функция u(z) будет аналитической во всей плоскости. Из (1.11) следует, что м(г) 1 для любого z є С. Поэтому по теореме Лиувилля функция и будет постоянной, т.е. и(г) = щ (1.16) причем

Рассмотрим последовательность {v }, keJ. Поступая аналогично как при построении последовательности ик, к є J построим диагональную последовательность v,, j є J{ с/ равномерно сходящуюся на каждом компакте к некоторой функции v(z).

Рассматривая второе соотношение из (1.10) при n = jeJi, перепишем его в виде: где zy. eK , Rez =Rezy(mod2;r), Imz j = ImZj(mod2л-). В силу ограниченности последовательности z, можно считать, что она сходится к некоторой точке 20 є К. Переходя в (1.17) к пределу при j -»со, с учетом свойств функций Р, /, и j, получим

Поэтому переходя в последнем неравенстве к пределу, получим w(0)j + v(0) 1, \щ + [v(0) 1 (1.20) Возможны два случая; 1) v(z) = Q, 2) v(z) 0 В первом случае \щ\ = 1 в силу (1.16) и (1.20). Тогда из (1.18) следует, что 0 = -1/ (г0,и0,0), т.е. P(z0,w0,0) = 0, что противоречит условию 1) теоремы.

Во втором случае функция v будет ненулевым ограниченным во всей плоскости решением системы (1.19). Тогда функция w(z) v(4z) будет ненулевым ограниченным во всей плоскости решением уравнения (1.2). А это противоречит условию 2) теоремы. Полученное противоречие доказывает теорему.

Вращение векторного поля

В дальнейшем будем иметь ввиду, что у двояко-периодической функции основные периоды равны 2п и 2т.

В силу теоремы 2.3 нули поля Ф будут двояко-периодическими решениями уравнения (1.1). Поэтому, если мы сумеем доказать существование нулей векторного поля Ф, то тем самим покажем существование двояко-периодических решений уравнения (1.1). Для этого будем использовать следующее утверждение, в котором S,. является границей области Er = м: WE С2л., max(w(z) + w= (z)) r \, (r - фиксированное положитель ное число).

Теорема 2.4, Пусть вполне непрерывное векторное поле Ф не вырождено, т.е. не обрагцается в нуль на границе Sr области Ег и вращение у(Ф, S,.) этого поля на Sr отличен от нуля. Тогда поле Ф внутри области Ег имеет по крайне мере один нуль. Это утверждение является частным случаем известной теоремы 1.1 из главы 1.

В условиях теоремы 2.1 об априорной оценке следует, что векторное поле Ф при достаточно большом значении V (нужно взять г R, R- число, указанное в теореме) на границе Sr области Ег с С2л. невырождено. Поэтому, если мы сумеем установить, что /(Ф,8Г)Ф0 при достаточно больших г, то существование периодических решений уравнения (1.1) будет доказано.

Теорема 2.5. Пусть ЄоИ 0 Vw 0 (3.9) и выполняется одно из следующих требований: 1) Пусть выполнены условия теоремы 2.1 и уравнение /±w = P(z,w,w-) (3.10) -48 в пространстве Cis не имеет ненулевых решений. 2) 0 т 1 Тогда вращение у(Ф,8г) векторного поля Ф на границе Sr области Ег с: С1ж при достаточно больших значениях г равно индексу нулевой особой точки двумерного векторного поля 0:

Доказательство. Рассмотрим семейство вполне непрерывных в векторных полей Ф = ф)-Ахф), (3-12) где AAw= w(0) + (Т(Р + lf)){z)- (Т(Р + Xf ))(0) + Р + Л/, 0 Я 1 (3.13) В силу теоремы 2.3 нули поля Фд будут двояко-периодическими решениями уравнения Aw = P(z, w, vh) + ty{z,w,w), (0 Я 1) (3.14)

Так как функция Л/ принадлежит классу Flllfl и выполнены условия теоремы 2.1, то для всех ограниченных во всей плоскости, в частности двояко-периодических решений семейства уравнений (3.14) имеет место общая априорная оценка вида (1.3). Следовательно, поля (3.12) на границе Sr области Ег сС2г при достаточно больших значениях г невырождены. Поэтому они определяют гомотопный переход от поля Ф, = Ф к полю Ф0: Qw = w(z)-A0w(z), где AQw(z) - w(0) + (T(P)){z) - (7P)(0) + P. По свойству вращения гомотопные векторные поля имеют одинаковые вращения

Используя теорему о вращении получим признаки существования периодических и ограниченных решений уравнения (1.1).

Теорема 2.6. Пусть выполняются все условия теоремы 2.1 или 2.2. Пусть ind(Qu,0) 0. Тогда уравнение (1.1) имеет по крайней мере одно периодическое решение (ограниченное, если функция f ограниченна по переменной z).

Доказательство. Пусть функция / является периодической по z. В силу условия теоремы для ограниченных во всей плоскости (или периодических) решений системы (1.1) справедлива общая априорная оценка. Тогда соответствующее периодическим решениям поле Ф (см. доказательство теоремы 2.5) на границе Sr области Ег при достаточно больших значениях г является невырожденным. По теореме 2.5 вращение этого поля на Sr равно у() = ind{Q {i) которое в силу условия теоремы отлично от нуля.

Поэтому из теоремы 1.1 (см. гл.1) следует, что поле Ф внутри области Ег имеет по крайней мере один нуль. Этот нуль и будет периодическим решением уравнения (1,1). Пусть теперь функция f(zyw,&) является ограниченной по переменной z. Ниже мы изложим схему построения ограниченных на всей плоскости решений уравнения (1.1).

Априорные оценки периодических решений

Таким образом, векторные поля ц/fl (0 /.і І) на каждой сфере Sp невырождены. Поэтому они на этих сферах определяют гомотопный переход от поля у/, = f к полю у/0. Следовательно, Векторное поле ц/0 имеет вид 1-А, где/- единичный оператор

Значения оператора ,4 лежат в подпространстве постоянных функций. Поэтому в силу свойство 2 вращения (см. гл.1, 2) для вычисления вращения поля i//0 достаточно его рассмотреть в С2. На С2 поле у/0 имеет вид:

Таким образом, из цепочки равенств у(Ф,5Л = У(Ч А) = У( оЛ) = ы(А) = 7о i.r R,P 0) следует справедливость утверждения теоремы.

Теперь рассмотрим случай, когда порядки однородности функций Р и g, т.е. числа т я к заключены между 0 и 1. Для этого случая справедливо следующее утверждение о вращении поля, соответствующего периодической задаче.

Тогда для достаточно больших г векторное поле где Ах, А2-операторы, определенные по формулам. (3.2) невыраждено на сферах Sr с С,"г и его вращение на этих сферах равно у0 = ind(0,R0)-индексу нуля отображения R0: С1 -лС7.

Доказательство. В начале аналогично как в доказательстве теоремы 3.1 можно показать, что поле Ф на сферах Sr достаточно большого радиуса г пространства С\п гомотопно следующему полю

Рассмотрим теперь следующее семейство вполне непрерывных векторных полей 0 Л 1, т = Очевидно, Ф, = у/ и % I. Нули поля Фк при 0 X 1 являются решениями из пространства С системы Это доказывается аналогично как в случае т,к 1. Предполагая Л О, введем замены u = X "-]w, v = Xm lco (3.13) Покажем, что если (w,ЕУ) є С является решением системы (3.12), то пара (u,v) е С"т будет решением системы

В силу теоремы 3.5 об априорной оценке для всех решений из пространства С 1Г системы (3.14) имеет место неравенство где -постоянная, зависящая от функций Р и Q. Тогда учитывая формулы (3.13), для решений (w,u))eCjt системы (3.12) имеем

Поэтому нули векторного поля Фя при 0 Я 1 находятся внутри шара радиуса R. Следовательно, на сферах Sr радиуса r R поле Фя (0 Я 1) невырождено.

Таким образом, поля Фд при Лє[0;і] на сферах Sr радиуса r R являются невырожденными. Следовательно, эти поля определяют гомотопнии переход от поля Ф,=Ф к полю Ф„. Поэтому вращения этих полей совпадают

Значения оператора А лежат в подпространстве постоянных функций. Поэтому в силу свойства 2 вращения (см. гл.1, 2) для вычисления вращения поля Ф0 достаточно его рассмотреть в С2. На С2 поле Ф0 имеет вид;

Используя теорему о вращении получим признаки существования периодических и ограниченных решений системы (1.1).

Теорема 3.8. Пусть функции fug являются периодическими по z и выполняются все условия теоремы 3.1 или 3.2. Пусть yQ = ind{0,Ra) 0. Тогда, система (1.1) имеет, по крайней мере одно периодическое решение.

Доказательство. В силу условия теоремы для ограниченных во всей плоскости решений системы (1.1) справедлива общая априорная оценка. Тогда соответствующее периодическим решениям поле Ф (см. доказательство теоремы 3.6) на сферах Sr больших радиусов пространство С т является невырожденным. По теореме 3.6 вращение этого поля на таких сферах Sr равно уа =ind{%Ra) Qi которое в силу условия теоремы отлично от нуля. Поэтому из теоремы 1.1 (см. гл.1) следует, что поле Ф внутри сферы , имеет по крайней мере один нуль. Этот нуль и будет периодическим решением системы

Если функции / и g являются только ограниченными по переменной Z, то рассуждая аналогично как в главе 2, 3, п.3.3 можно установить, при условиях теоремы 3.8, существование ограниченного решения системы (1А).

Похожие диссертации на Априорные оценки и существование ограниченных во всей плоскости решений квазилинейных эллиптических систем первого и второго порядка

Исследование решений систем дифференциальных уравнений второго порядка при наличии частного алгебраического интегралаИванова, Жанна Викторовна

Семейство периодических решений несимметричных систем дифференциальных уравнений второго порядка Лёзина Татьяна Андреевна

Периодические решения систем S дифференциальных уравнений второго порядкаПогорелов, Игорь Анатольевич

Формулы представления решений систем уравнений в полных дифференциалах второго порядка с одной и двумя сингульярными линиямиОрипов Турдикул Сафарович

Исследование регулярности обобщенных решений краевых задач для эллиптических нелинейных систем уравнений высокого порядкаАлдохина, Виктория Николаевна

Совпадение классических и обобщенных решений некоторых краевых и смешанных задач для систем уравнений второго порядка с неограниченными младшими коэффициентамиСафиев, Эльшан Кавы оглы

Решение систем сингулярных интегральных уравнений, сводящихся к факторизации подстановочных матриц-функций третьего порядкаКолмакова, Людмила Николаевна

Интегральные представления многообразия решений для некоторых переопределенных систем дифференциальных урвнений в частных производных, содержащих гиперболическое уравнение вторго порядка с сингулярными и сверхсингулярными линиямиМохамед Эльсаед Абдель-Аал Абдель-Гхани Гхареб

Обобщенные решения интегро-дифференциальных уравнений высоких порядков в банаховых пространствахОрлов Сергей Сергеевич

Априорная оценка и разрешимость третьей двухточечной краевой задачи для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядкаБыстрецкий, Михаил Васильевич