Введение к работе
і Актуальность темы. Математические исследования краевых задач для
равнений математической физики, содержащих малый параметр, имеют эягую историю. Ещё в 19 в. в работах Лапласа, Максвелла, Кирхго-а поучались конкретные задачи, фактически содержащие пограничные гои (упоминание об этом см. в [1, 2]), но пдея рассматривать погра-ачный слой при решении задачи об обтекании тела жидкостью с малой гакостью была предложена в начале XX века Л. Прандтлем на III Магматическом Конгрессе (см. [3]). Наиболее полное исследование мате-атических вопросов, связанных с применением метода погранслоя для гфференппалъных уравнении с частными производными, было дано в іботах М.О. Вшпика и Л.А. Люстерника [4, 5]. В этих работах для иш-экого класса систем дифференциальных уравнений были указаны усло-
. Ван—Дейк М. Методы возмущений в механике жидкости. — М.: Мир,
)67.
. Найфэ A.M. Методы возмущений. — М.: Мир, 1976.
. Piandtl L. Uber Fkissigkeitsbewegung bei sehr kleinet Reibnng. -Ver-
urdlungen des drittsn iateraationalen Mathematikei Kongresses, Heidelberg,
)04, Leipzig.— 1905. — S. 484 - 491.
. Впшик M.O., Люстерник Л.А. Регулярное вырождедпе п пограничный
ой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром.
УМЕ, 1957,12, N 5, с. 3 -122. . Впшпк М.О., Люстерник Л.А. Решение некоторых задач о возмуще-
ш в случае матриц и самосопряжённых и весамосопряжённых диффе-
!нпи;ільяьп. yii-dznccim. -УМН, 1960, 15, N 3, с 3 — 80.
Typeset by Дм5-ТеХ
вия, при которых асимптотика решеада представляется в виде суммы
внешнего (т. е. вне погранслоя) и внутреннего (внутри погранслоя) раз
ложений, причём внутреннее разложение состоит из функций, окспонен-
диально стремящахся к нулю вне пределов логранслоя. Такая ситуация
была названа в Щ регулярным вырождением, а пограничный слой — экс
поненциальным. v
Однако, для уравнений в частных производных случай экспоненциапь-; ного погранслоя скорее исключение, чем правило. Часто коэффициенты внешнего разложения имеют особенности в каких-либо точках границы или даже внутри области. В такой ситуации равномерное асимптотическое разложение не может быть получено в виде суммы внешнего разложения и каких-либо рядов с ограниченными коэффициентами, а влияние погранфункций (коэффициентов внутреннего разложения) не ограничивается лишь узким погранслоем шириной Q.(e7), 0 < є « 1, у > 0, как в елл'^'ас ис^'ля^нсто вырождения. За^ячн такого типа называют бненн-гулярньши (в частности, задачи, рассматриваемые в диссертации, являются бисингулярными). Известен целый ряд методов, предлагаемых для решения таких задач (метод ВКБ [6J, метод осреднения Крылова - Боголюбова - Митропольского [7] п др.) В диссертации мы будем пользоваться методом согласования асимптотических разложений. Для уравнение с частными производными первые строгие математические резупьтатк по обоснованию асимптотики, построенной этим методом, появились і 70-е годы. Так в [8] К.И. Бабснко была получена и обосновала асимпт»
6. Маслов В.П. Теория возмущений и асимптотические методы. — М.
Изд-во МГУ, 1965.
7. Боголюбов Н.Н., Митропольскпй Ю.А. Асимптотические методы і
теории нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1974.
8. Бабенко К.И. Теория возмущений стационарных течений вязкой не
гика рсшенасв задаче об обтекании трехмерного тела жпдкостью при галых числах Репнольдса, л з [9, 10] В.М. Бабтсм, B.C. Булдыревым п І.Я. Кпрппчнпкопым было проведено строгое математптмюс псследова-гпе а. р. решения для задачи дифракции коротких волн.
Большой nHTq>cc представляют исследования решений храевых задач ;ля эллиптического дифференциального уравнения в езучае, когда гранта область, в которой рассматривается задача, имеет особенности: тлы, рёбра, разрезы и т. п. Построение а. р. решетпш краевых задач ;пе эллиптического уравнения в области с узкой щелью посвящєеьі работа А.М. Ильина [11, 12, 13].
Построению а. р. спектральных характеристик задачи рассеяния на іезонаторе Гельмго.чьца методом согласования а. р. отомщены работы
жимаемой жидкости при малых числах Репнольдса. Препринт ИПМ.
). Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические метода в задачах ди-
іракцни коротких волн.— М. : Наука, 1972.
). Бабич В.М., Кирпичников НЛ. Метод погранслоя в задачах дифрак-
пп. Л.: — ЛГУ, 1974.
.. Ильин А.М. Краевьл задача для эллиптического уравнения второго
орядка в области с узкой щелью. I. Двумерный случай. —Мат. сборник.
- 1976. -99, N 4, с. 514 -537.
!. Ильин A.M. Красзля задача для эллиптического уравнения второго
орядка ч области с узкой щелью. II. Область с малый отверстием. —
іат. сборник. — 1977. — 103, N 2, с. 265 -284.
!. Ильин А .М. Исследораппе асимптотики эллиптическое краевой задачи
облнетн'с малым отверстием.—Труды семинара им. ILH. Петровского.
- 1981. — вып. 6, с. 57 - 82.
Гадылышша PP. [14, 15, 16, 17]. Резонатором Гельмгольца называется Ерепятствпе, полученное в результате вырезания малого отверстия линейных размеров порядка є из замкнутой поверхности Г = ЗЯ, где П — ограниченная область в R3 с границей, дпффеоморфной сфере. В частности, в [16] рассматривались внутренние задачи Дирихле и Неймана для акустического резонатора Гельмгольца
ue=pcj или ~fa=P
где ІЇ С R3 -ограниченная односвязная область с гладкой границей Го = (32, Г, = Го \ wt, шг — открытое одно связное подмножество на Го, имеющее гладкую границу дше и лежащее в шаре радиуса с центром в точке хо Є Го, 0 < є « 1, г = |х|, я — внешняя нормаль, / Є С(Г0), рс — оператор сужения на Ге. Установлено, что полюса функции Грина рассма-
14. ГадыльшинРР. Сингулярно возмущенная задача для оператора Гель
мгольца. — В кн.: Дифференциальные уравнения с малым параметром.
Свердловск: УВД АН СССР, 1984, с. 18 - 35.
15. ГадыльшинРР. Асимптотика собственного значения сингулярно воз
мущенной самосопряженной эллиптической задачи с малым параметром
в граничных условиях. — Дпфф.уравнения, 1986, 22, N 4, с.640 - 652.
16. ГадылышшРР. Асимптотика собственного значения эллиптической
краевой задачи с малым параметром в граничных условиях. — В кн. Асимптотические методы решения задач математической физики. Уфа :
БНЦ УрО АН СССР, 1989.
17. Гадыльшик P.P. Позерхностные потендпалы и метод согласования
асимптотических разложении в задача о резонаторе Гельмгольца. —.Алгебра и анализ. — 1992. — 4, N 2. — с. 88 - 115.
риваемой задачи при закрывании отвеі>сгпя стремятся к квадратным орням пз собственных значений задачп Дпрпхле плп Непмана соотвст-твенно в П. Построена полная асимптотика ио малому параметру t якого полюса те, стремящегося при закрывании отверстая к ко, где k% - простое собственное значение. В [15] аналогичный результат пояу-ен для случая, когда Щ — двукратное собствегное значение внутренней адачи Неймана. Для гиперболических уравнений и.систем асимптотические методы п, частности, метод согласования а. р. применялись в следующих ситуапп-х. В [18, 19] для гиперболической системы уравнений в частных проио-одных первого порядка, в которой начальные функции быстро* стремятся своим пределам на бесконечности, Калякин Л.А. методом согласования остропл асимптотическое разложение решения ло малому параметру е, ешномерное в области
(є М — положительная константа. В этих задачах сингулярный ха-іктер Еозмущения связан с большим промежутком- зремеЕИ t ~ с-1, а эгранслой располагается вдоль характеристик.
Цель работы. В диссертации решается задача о построении аспмпто-гческих разложений решений смешанных задач дня волнового уравне-[Я в следующей формулировке. Пусть Q — неограниченная область в
. Калякин Л.А. Длинноволновые асимптотики решений нелинейных іавненпй с дисперсией. — ДАН СССР. — 1986. — 288, N 4. — с. 80Э
513.
Калякин Л.А. Метод сращпвапия в задаче о длезнсволвовой моду-пин нелинейных плоских волн с дисперсией. — Тр. Моск. мат. о-ва. 990.-53 — с. 3 - 41.
8і (возможно, Q — R5) с кусочно-гладкой конечной границей Г п а < со -фиксированная константа такая, что Г легспт внутри шара |i| < а. Чер* Пс будем обозначать -ограниченную подобласть Q с бесконечно глади конечной границей Г», гомотетичную с центром в нуле п коэффициента г фиксированной области Пі С Q, диффеоморфной шару; Qe = Q \ П При є —» 0 область П» стягивается в точку. В первой п второй глав: диссертации рассматриваются (внешние) сметанные задачи
!
Пи{х,і,є) = е-"*д{х), х Є Q«, t > О,
«!t=o = <|i=o = 0, ^ (
u|eQ.=0
' Ou(x,t,e) = 0, xeQc,t>0,
- «|*=o = 0, ui|t=o = V". (
«Uq. = с,
іде = Jp-- Д; функции $(s), V(z) 6 CM(Q)r\L2(Qe) и suppffClfi, = supprpn\lt = . Отметим, что в первой главе Q = R3, таким обраоом, о дачи (1) п (2) рассматриваются во внешности исчезающего препятствЕ Во второй главе Q = R3 \ Й, где & — замыкание ограниченной области R3 с гладкой неловушечиой границей (т. е. разрывы матрицы Грина д задачи (2) уходят на бесконечность при t —* со (в смысле определен [20])). Следовательно, область Qe = R3 \ (Й П Пе) является внешносп неловушечного и исчезающего при є —* 0 препятствий. В третьей п в.- рассматривается смешанная задача для волнового уравнения в Q. внешности резонатора Гельмгольца Г,
' Ou{s,t,E) = f(x,t), (x,t) Є Qt х R+
< u|t=0 = u't[t=0 = 0, хЄ
.«Іг.=0,
20. Ваинберг БР. Асимптотические методы в уравнениях математіг ской физики. — Мл МГУ, 1982.
где f(x,t) є C^R4) п f(x,t) = 0 при х Є R3\ft. Цель ваш=х шхледованніі
— построить полное асимптотическое разложение по параметру є щт
г — 0 решений рассматриваемых задач.
Научная новизна работы. Результаты диссертации яггяются новыми. Основные результаты заключаются в следующем.
1. Длс задач (1) и (2) во внешности исчезающего препятствия постро
ено ттопное а. р., равномерное по t. Доказано таске, что для коэффициен
тов а. р. радения задачи (1) справедлив принцип преданной амплитуды
(см. [20], [21.]), т. е. коэффициенты выходят на периодический режим при
t —» со. При исследовании задачи (2) доказано, что при t —» со локальная
энергия приближённого решения (суммы любого конегчнаго числа членов
а. р.) стремится к нулю.
2. Для задач (1) и (2) во внешности веловушечного и исчезающего
препятствий также построено полное а. р., равномерное по t, и доказан
принцип предельной аьлгаитуды для коэффициентов разянсения решения
задачи (1) и убыванпе локальной энергии приближённого решения задачи
(2).
3. Построено полное а. р. решения нестационарной смешанной задачи
для резонатора Гельмгопьца. Доказано, что главный чин асимптотики
— решение внутренней предельной оадачи (т. е. задачи внутри замкну
того резонатора) — приближает решение с точностью до у/є.
Методы исследования. Использованы методы согласования асимптотических разложений, методы теории функций комагпеашого переменного, теории воз><ущешга.
Теоретическая п практическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер п могут быть использованы в задачах дп-!1. Эйдус Д.М. Принцип предельной амплитуды. — УМП, 1969, 24, вып. 3, 91 - 156.
фракции и построения решения сингулярно возмущённых задач.
Аптн>баппя работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ, на V Сибирской школе по алгебре и анализу в Иркутске в 1991 году.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приводится в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, включающих в себя 10 параграфов и списка литературы, содержащего 53 наименования. Объём диссертации — 109 листов.
