Введение к работе
Актуальность темы. Работа представляет собой исследование в одной из активно развивающихся в последние годы областей оптимального управления — теории режимов с учащающимися переключениями (четтеринг-режимов). Суть четтеринг-режимов состоит в том, что управление на оптимальной траектории имеет бесконечное число неустранимых разрывов на конечном интервале времени. Впервые пример такой задачи привел А. Т. Фуллер [1]. Затем было найдено большое число задач, в том числе и прикладных, в которых также имеет место феномен Фуллера. В связи с этим возник вопрос о типичности четтеринг-режимов. Ответ был дан в недавних работах И. Купки [2], М. И. Зеликина и В. Ф. Борисова [3], в которых доказано, что для открытого множества гамильтоновых систем принципа максимума Понтрягина с одномерным управлением существует подмногообразие конечной коразмерности, через каждую точку которого проходит однопара-метрическое семейство четтеринг-траекторий.
Одной из основных причин возникновения феномена Фуллера является наличие у управляемой системы особого режима. Под особым режимом [4] понимается траектория, в точках которой условие максимума Понтрягина не определяет однозначно значение управляющей функции, то есть максимум гамильтониана достигается более чем в одной точке. Для задач, афинно порожденных ска-
[1] Фуллер А. Т. Оптимизация релейных систем регулирования по различным критериям качества. Труды І конгр. ИФАК (Москва, 1960). М. 1961. Т. 2, с. 584-605.
[2] Kupka I. The ubiquity of Fuller's phenomenon. Nonlinear Controllability and Optimal Control. Monograph Textbook Pure Appl. Math., 133 (ed. by H. Sussman). — N. Y.: Dekker, 1990. P. 313-350.
[3] Zelikin M. I., Borisov V. F. Theory of Chattering Control with applications to Astronautics, Robotics, Economics, and Engineering. Birkhauser, Boston-Basel-Berlin, 1994.
[4] Габасов P., Кириллова Ф. M. Особые оптимальные управления. — M.: Наука, 1973.
лярным управлением, гамильтониан линейно зависит от и, и коэффициент при и — функция Ні от фазовой и сопряженной переменной — вдоль особой траектории есть тождественный нуль. Управление на такой траектории не определяется из принципа максимума Понтрягина, однако может быть получено последовательным дифференцированием тождества Hi = О, где Hi — коэффициент при и в гамильтониане. При этом впервые управление и появляется обязательно на четном шаге дифференцирования 2q. Число q называется порядком особой траектории. Для задач, афинных по управлению, оптимальная траектория, как правило, выходит на особый режим. Однако доказано, что сопряжение кусочно-гладкой неособой траектории с особой траекторией любого четного порядка неоптимально (теорема Кэлли-Коппа-Мойера [5]). Поэтому для оптимальных траекторий особый участок (четного порядка) сопрягается не с кусочно-гладкой дугой, а с четтеринг-траекторией.
Полная теория четтеринг-режимов второго порядка построена в работах М. И. Зеликина, В. Ф. Борисова [3, 6], в которых дано полное описание фазового портрета разрывных гамильтоновых систем в окрестности особого многообразия второго порядка, показано, что асимптотика решений таких задач определяется решением двумерной классической задачи Фуллера.
Несмотря на то, что задачи с особыми режимами высокого порядка привлекают к себе большое внимание, они до сих пор остаются малоизученными. Полученные в этом направлении результаты носят, в основном, частный характер. Аналитические результаты получены только для отдельных семейств решений, обладающих специальной группой симметрии. В работе Маршала [7]
[5] Kelley Н. J., Корр R. Е., Моуег Н. G. Singular extremals. Topics in optimization. Ed. G. Leitmann. N. Y., Acad. Press, 63-103 (1967).
[6] Зеликин M. И., Борисов В. Ф. Режимы учащающихся переключений в задачах оптимального управления. Труды МИАН им. В. А. Стеклова, Т. 197, 85-167 (1991).
[7] Marchal С. Second order tests in optimization theories. J. Optimiz. Theory and Appl. V. 15, N. 6, 633-666 (1975).
была сформулирована задача, являющаяся n-мерным аналогом задачи Фуллера. В [6] высказана гипотеза, что асимптотика решений, лежащих в окрестности особого многообразия порядка п, задается решением n-мерного аналога задачи Фуллера.
Цель работы. Разработать эффективный метод построения негладких функций Ляпунова для задач стабилизации многомерных управляемых систем. На основе этого метода исследовать асимптотическое поведение решений в задачах оптимального управления в окрестности особых режимов, доказать существование чет-теринг-режимов в окрестности особых траекторий высокого порядка. Применить полученные результаты к изучению задач с особыми режимами высокого порядка, имеющих отношение к робототехнике.
Методы исследования. В работе используются методы теории оптимального управления и функционального анализа, методы теории дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, выпуклый и негладкий анализ, второй метод Ляпунова.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.
Разработан новый конструктивный метод построения негладких функций Ляпунова в задачах стабилизации нелинейных управляемых систем, являющихся возмущениями n-мерной линейной вполне управляемой системы. На основе этого метода строится негладкая функция Ляпунова для возмущенных управляемых систем, которая имеет тот же порядок малости, что и функция минимального времени в невозмущенной задаче.
Доказано существование решений для класса задач минимизации квадратичного функционала на траекториях управляемых систем (с ограниченным скалярным управлением), являющихся нелинейными возмущениями n-мерной линейной вполне управляемой системы. Для этого класса задач с использованием негладких функций Ляпунова показано, что асимптотическое поведение решений вблизи особой траектории определяется поведением решений невозмущенной задачи. То есть, доказано, что решения возмущенной
задачи выходят на особый режим за конечное время, причем это время, рассматриваемое как функция от начальной точки, имеет тот же порядок малости, что и соответствующая функция времени невозмущенной задачи.
Для широкого класса возмущений доказано, что на особый режим высокого порядка оптимальные решения выходят с бесконечным числом переключений на конечном интервале времени.
С использованием полученных в диссертации результатов доказано, что в задачах управления манипуляторами реализуются особые режимы любого четного порядка, на которые оптимальные траектории выходят с четтерингом.
Приложения. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут быть полезны при изучении задач оптимального управления, обладающих особыми режимами, задач стабилизации многомерных нелинейных управляемых систем, при исследовании устойчивости систем нелинейных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, а также при изучении задач робототехники, космической навигации.
Апробация диссертации. Основные результаты диссертации докладывались автором на семинаре по оптимальному синтезу на механико-математическом факультете МГУ, на семинаре кафедры оптимального управления факультета ВМК МГУ, на конференции "Понтрягинские чтения - IV" (Воронеж, 1993).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 научные работы. Список публикаций приведен в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и 4 глав, разделенных на параграфы. Список литературы содержит 61 наименование. Общий объем диссертации составляет 131 страницу.
