Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Задача Коши для систем дифференциальных уравнений первого порядка, вырождающихся на начальной плоскости
I. Задача Коши для вырождающейся системы смешанного типа 14
2. Задача Коши для системы (I.I) в случае бицилиндрической области голоморфности начальных данных 2
3. Задача Коши для одной вырождающейся эллипти ческой системы 38
Глава 2. Краевые задачи для вырождающихся систем первого порядка 46
I. Краевая задача для системы (I.I) 46
2. Смешанная задача для системы (I.I) в полу бесконечном цилиндре SO
3. Задача Дирихле для системы (I.II) S6
Глава 3. Задача Дирихле для системы дифференциальных уравнений первого порядка, вырождающейся внутри области 66
I. Задача Дирихле в цилиндре 66
2. Задача Дирихле для одного вырождавшегося эллиптического уравнения 68
3. Применение альтернирующего метода, к решению задачи Дирихле
Литература
- Задача Коши для системы (I.I) в случае бицилиндрической области голоморфности начальных данных
- Задача Коши для одной вырождающейся эллипти ческой системы
- Смешанная задача для системы (I.I) в полу бесконечном цилиндре
- Задача Дирихле для одного вырождавшегося эллиптического уравнения
Введение к работе
Большую роль в теории функций комплексного переменного и в теории уравнений с частными производными играет система Коши-Римана
К ней приводят многие плоские задачи гидро- и газодинамики, теории упрутих оболочек и др.
Аналогом системы Коши-Римана в трехмерном пространстве служит система Мойсила-Теодореско
Она может быть использована для введения в трехмерном пространстве аналогов голоморфных функций комплексного переменного. Эта система достаточно полно исследована А.В.Бицадзе [1-2]. Системы, обобщающие систему Мойсила-Теодореско, рассмотрены в [47-48]. В [48] приводится один из способов построения таких систем с помощью любого уравнения второго порядка с тремя независимыми переменными. Так, с помощью уравнения получена система _ 4 - . Эта система является наиболее широким естественным обобщением системы Мойсила-Теодореско в трехмерном пространстве. Аналогичные системы рассматриваются в [48] и в четырехмерном пространстве.
При решении многих важных задач механики сплошных сред, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей вращения, безмомент-ной теории оболочек и др. встречаются и более общие системы, которые могут менять тип и вырождаться. Особо значительную роль играют такие системы в гидро- и газодинамике. Вырождение порядка или типа как у системы, так и у одного уравнения, может повлечь за собой нарушение корректности постановки классических краевых задач. В этом случае оказываются корректными краевые задачи в видоизмененной постановке, которая заключается иногда в задании условий с весами, иногда в освобождении части многообразия вырождения - носителя краевых условий - от задания. Это происходит потому, что вырождение, как правило, влечет изменение структуры решений, например, приводит к появлению особенностей у всех или у части решений в окрестности точек многообразия вырождения [39-43].
Первые работы в этой области посвящены изучению вырождающегося уравнения д д Ц д W дХг дУ
У й* +*U*~Ot (ПЬ>0) , которое названо по имени одного из первых своих исследователей уравнением Трикоми. В настоящее время по вырождающимся уравнениям и системам с двумя независимыми переменными написано много работ. Например', вырождающиеся эллиптические системы и уравнения специального вида рассмотрены в книгах и статьях А.В.Бицадзе [1-3], М.Й.Вишика [7], М.В.Келдыша [іб], Л.Г.Михайлова [2l], З.Д.Усманова [36] и др. Систематическому изложению теории вырождающихся эллиптических и гиперболических уравнении с двумя независимыми переменными посвящена монография М.М.Смирнова [ЗО].
Вырождающиеся системы и уравнения более чем с двумя независимыми переменными изучены уже меньше. Назовем несколько работ в этой области, результаты которых использованы в данной диссертации. В I главы 2 применены теоремы существования и единственности решения задачи Коши для уравнения ?-ач<*,*^+Ь(*.»щ + + C(x1t)a= (x,t) , (х~(хі9хг,...^)), с начальными данными на плоскости вырождения [14]. В этом же параграфе использована формула, полученная в [13] при решении в полупространстве t > О задачи Коши для гиперболического уравнения параболически вырождающегося на начальной плоскости t~0 . Систематически излагаются основные методы и принципы аналитической теории вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка со многими независимыми переменными в монографии А.Янутааускаса [46]. В I главы I диссертации из [4б] использована формула, аналитического в окрестности начала координат, исключая, быть может, точки гиперплоскости вырождения X = 0 , решения уравнения в пространстве {\П+І) -го независимого переменного.
Перейдем теперь к непосредственной характеристике содержания предлагаемой диссертации. В ней рассматриваются системы дифференциальных уравнений первого порядка с тремя независимыми переменными, близкие по структуре к системе Мойсила-Теодореско, но с переменными коэффициентами, допускающими вырождение. Первая система имеет вид
Ее характеристический определитель равен
При Х>Ои любом вещественном р система (I) эллиптична. В полупространстве {Х^ОІ эта система рассматривается лишь для таких вещественных р . , для которых среди значений выражения tocfv [lp%(ZK+ і)] 9 К = 0;І-2-;..., имеются вещественные. Пусть К 0 - наименьшее среди Я = 0; *;;... , для которых эта экспонен- та вещественна. Тогда полагаем ОС =1X1 СОСр [(ZK0+ і)p^ii] .
Приэтом, если р нечетно, то (I) является системой эллиптико-гиперболического типа и в каждой точке (Х0ІУ0^%0) полупространства і X * О у имеет мнимые и вещественные характеристики (%~V +(У-У0)-фці[Мл-('*о) z } . (і)
На плоскости X = 0 система (І) вырождается в систему эллиптико-параболического типа.
По своей структуре похожа на систему (I) следующая система с вещественным Р и характеристическим определителем
Вырождение этой системы происходит при Х = 0 , а в остальных точках пространства она эллиптична.
Кроме (I) и (2), рассматривается также система при любом вещественном t . Характеристический определитель ее имеет вид
Система. (3) эллиптична во всем пространстве за. исключением точек оси ОХ , в которых она вырождается в систему составного типа. Структурные,свойства решений систем уравнений с частными производными наглядно выявляются через характер разрешимости задачи Коши или через свойства корректных для системы граничных задач. Поэтому именно такие вопросы исследуются в данной работе для указанных выше систем.
Диссертация состоит из трех-глав. В первой главе в комплексном пространстве С = ІХ,У,%} рассматривается задача Коши для систем (I) и (2) с начальными данными на плоскости вырождения Х = о . Классическая теорема Коши-Ковалевской дает существование и единственность аналитического решения задачи Коши в малом. За счет того, что системы рассматриваются в комплексном пространстве, удается построить решение этой задачи в более широкой области. Для первой системы доказывается существование области голоморфности 0(0) из комплексного пространства С , такой, что каковы бы ни были начальные данные, голоморфные в некоторой обыкновенной бицилиндрической области D из пространства С ={У,Х) и непрерывные в замкнутой области D , решение задачи Коши для системы (I) голоморфно в области G(&) . Если начальные данные аналитически продолжимы из 2) , то решение задачи Коши аналитически продолжимо из СгШ) ,
Аналогичное утверждение имеет место и для системы (2). Все результаты первой главы являются распространением на систеш методов исследования задачи Коши для одного уравнения Лапласа [45].
Во второй главе рассматриваются краевые задачи для систем (I) и (2). С помощью дифференцирования уравнений по соответствую- щим переменным из обеих систем удается получить по два новых уравнения, каждое из которых содержит только одну неизвестную функцию. Показывается корректность поставленных краевых задач для полученных уравнений. Функции, участвующие в этих уравнениях, считаются далее известными. Остальные неизвестные функции определяются через них из соответствующих систем и краевых условий. В большинстве рассштриваешх задач при этом применяются- результаты исследования задачи Римана-Гилъберта [б].
В I изучается первая систем при нечетных р в односвяз-ной области О , лежащей в полупространстве {х<0} и ограниченном при Х=0 куском г плоскости УОХ , а при Ж0 - поверхностью Ляпунова Н , расположенной внутри огибающей семейства характеристических каноидов (I ) с основаниями, целиком лежащими в области Р . 'Причем требуется, чтобы Н однозначно проецировалась на плоскость У ОХ и чтобы граница области й не содержала иррегулярных точек для задачи Дирихле. Доказывается существование регулярного в области 9 решения (UjS^, уУ) системы (I), удовлетворяющего яа Р, Г-PUH , t-P(]H условиям u\rh s-lri> s*\?=k> %%
При этом функции і , Q , fl и О задаются такими, что ^ и к имеют непрерывные вторые производные, a ru , С^ и fx удовлетворяют условию Гёльдера.
Во втором параграфе рассматривается та же система при р~ 88 Zk+1 , H'0;i;Zj...B полубесконечном цилиндре W , у которого основание 0 с границей t лежит в плоскости Х = 0 , а 4 -боковая поверхность цилиндра при Х<0 . Исследуется смешанная задача: найти решение системи (I), регулярное в цилиндре W=0* х(-ооxl = к si =о, где ^ , & , У и , - заданные функции, из которых , И к У непрерывно дифференцируемы до четвертого, третьего и второго порядков соответственно, a ft , О и Jj, непрерывны по Гёльде-ру. Причем начальные функции выбираются такими, что , У , ft , Арі, &f и 4 / обращаются в нуль на ребре t . Следует заметить, что нулевые граничные условия в задаче (1),(4) взяты для простоты. В случае неоднородных граничных условий на заданные функции пришлось бы налагать дополнительные, еще более жесткие, требования.
Основным результатом этого параграфа является следующая теорема: задача (I), (4) при достаточно гладком контуре t всегда, имеет регулярное в цилиндре W решение (UjS, 1Ї, ifi) , компоненты которого U и S определяются единственным образом, а 1Ї и хіУ - с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Поясним конкретно, о какой гладкости контура t идет здесь речь. В ходе доказательства теореш приводится обоснование метода. Фурье, применяемого при решении смешанной задали для уравнения параболически вырождающегося на. начальной плоскости Х=0 . При - II - этом требуется, чтобы собственные функции СОк(УуТ) однородной краевой задачи на собственные значения были непрерывно дифференцируемы до второго порядка в замкнутой области Р . Для этого, согласно теореме 17 из [20], достаточно, чтобы функции Z= О (У) , задающие уравнение границы L области г , имели непрерывные производные до седьмого порядка. Требования гладкости, налагаемые на контур Z , могут быть ослаблены. Так, например, Х.Л.Смолицкий в [32] доказано, что от функций = О (У) в рассматриваемом случае достаточно потребовать существование производных второго порядка, удовлетворяющих условию Липшица.
В 3 исследуется задача Дирихле для системы (2) при рт>0 . Сначала доказывается существование в полупространстве {x>ol реше-ния (U^SjiT^ Ш) этой системы, компоненты которого U и S соответственно совпадают на плоскости вырождения Х-0 с наперед заданными непрерывными по Гёльдеру, непрерывно дифференцируемыми и стремящимися к нулю на бесконечности функциями' f и <^ Это решение единственно в классе регулярных в полупространстве {х< 0 } функций и непрерывно зависит от начальных данных. Затем рассматривается задача Дирихле в конечной односвязной области Я) , ограниченной при X - о куском г плоскости У ОХ , а при X >о поверхностью Ляпунова Н. Как и в I, требуется, чтобы Н однозначно проецировалась на плоскость УОХ, и чтобы граница области *0 не содержала иррегулярных точек для задачи Дирихле. Доказывается, что в области Я) всегда существует регулярное решение (tlyS^^V?) системы (2), удовлетворяющее на t-рпн и г рий условиям где / / и /І - заданные непрерывные функции, среди которых гь и первые производные функций і и , по X удовлетворяют условию Гёльдера. При этом функции U и S определяются единственным образом, а 1Ї и 11^ - с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Отметим, что если рассматривать системы (I) и (2) в полупространстве Х> О при любых вещественных^ , то можно воспользоваться результатами, предлагаемыми Н.Раджабо-вым в [24].
Задача Коши для системы (I.I) в случае бицилиндрической области голоморфности начальных данных
Изучается первая систем при нечетных р в односвяз-ной области О , лежащей в полупространстве {х 0} и ограниченном при Х=0 куском г плоскости УОХ , а при Ж0 - поверхностью Ляпунова Н , расположенной внутри огибающей семейства характеристических каноидов (I ) с основаниями, целиком лежащими в области Р . Причем требуется, чтобы Н однозначно проецировалась на плоскость У ОХ и чтобы граница области й не содержала иррегулярных точек для задачи Дирихле. Доказывается существование регулярного в области 9 решения (UjS , УУ) системы (I), удовлетворяющего условиям При этом функции і , Q , fl и О задаются такими, что и к имеют непрерывные вторые производные, a ru , С и fx удовлетворяют условию Гёльдера.
Во втором параграфе рассматривается та же система при B полубесконечном цилиндре W , у которого основание с границей лежит в плоскости Х = 0 , боковая поверхность цилиндра при Х 0 . Исследуется смешанная задача: найти решение системи (I), регулярное в цилиндре и удовлетворяющее условиям где У и - заданные функции, из которых непрерывно дифференцируемы до четвертого, третьего и второго порядков соответственно, a ft , О и Jj, непрерывны по Гёльде-ру. Причем начальные функции выбираются такими, что обращаются в нуль на ребре t . Следует заметить, что нулевые граничные условия в задаче (1),(4) взяты для простоты. В случае неоднородных граничных условий на заданные функции пришлось бы налагать дополнительные, еще более жесткие, требования.
Основным результатом этого параграфа является следующая теорема: задача (I), (4) при достаточно гладком контуре t всегда, имеет регулярное в цилиндре W решение (UjS, 1Ї, ifi) , компоненты которого U и S определяются единственным образом, а 1Ї и хіУ - с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Поясним конкретно, о какой гладкости контура t идет здесь речь. В ходе доказательства теореш приводится обоснование метода. Фурье, применяемого при решении смешанной задали для уравнения параболически вырождающегося на. начальной плоскости Х=0 . При этом требуется, чтобы собственные функции СОк(УуТ) однородной краевой задачи на собственные значения были непрерывно дифференцируемы до второго порядка в замкнутой области Р . Для этого, согласно теореме 17 из [20], достаточно, чтобы функции Z= О (У) , задающие уравнение границы L области г , имели непрерывные производные до седьмого порядка. Требования гладкости, налагаемые на контур Z , могут быть ослаблены. Так, например, Х.Л.Смолицкий в [32] доказано, что от функций = О (У) в рассматриваемом случае достаточно потребовать существование производных второго порядка, удовлетворяющих условию Липшица.
В 3 исследуется задача Дирихле для системы (2) при рт 0 . Сначала доказывается существование в полупространстве {x ol реше-ния (U SjiT Ш) этой системы, компоненты которого U и S соответственно совпадают на плоскости вырождения Х-0 с наперед заданными непрерывными по Гёльдеру, непрерывно дифференцируемыми и стремящимися к нулю на бесконечности функциями и Это решение единственно в классе регулярных в полупространстве функций и непрерывно зависит от начальных данных. Затем рассматривается задача Дирихле в конечной односвязной области Я) , ограниченной при X - о куском г плоскости У ОХ , а при X о поверхностью Ляпунова Н. Как и в I, требуется, чтобы Н однозначно проецировалась на плоскость УОХ, и чтобы граница области 0 не содержала иррегулярных точек для задачи Дирихле.
Задача Коши для одной вырождающейся эллипти ческой системы
Обозначим эту область Я . Область гь будет областью голоморфности, так как плоскость с разрезом по лучу является областью голоморфности некоторой функции одного комплексного переменного. Таким образом, Grl%)) - связная компонента пересечения областей голоморфности, каждая из которых содержит открытое связное множество У(0) . А так как пересечение областей голоморфности относительно некоторой области всегда является областью голоморфности некоторой функции [38J, то 0 ( D) будет областью голоморфности.
Граница области содержится в множестве Г ; следовательно, для каждой точки X границы области G (О) найдется хотя бы одна из поверхностей (1.10), которая будет содержать эту точку. Функции являются соответственно компонентами решения (и,8,1}укУ) задачи (I.I), (1.5) с начальными данными, голоморфными в G(Q), а сами они голоморфны в G( 0) и хотя бы три из них имеют особенность в точке X . Третье утверждение теоремы доказано. Докажем теперь второе утверждение.
Область Cr(ft) пересекается с пространством С : { ь-О} по области X) , поэтому если начальные данные голоморфны в более широкой области &эЮ , то V(B ) содержит точки, не принадлежащие V (V) , a G(B) содержит точки, не принадлежащие G(D) . Теорема I полностью доказана.
Исследуем пересечение области С?(ft) комплексного пространства С ={Х,У,%} с вещественным пространством вложенным в С .
Из формул 5 следует, что комплексные переменные X,y,Z принимают вещественные значения на многообра-зии из пространства С комплексных переменных , ,! . Рассмотрим пересечение области с многообразием
Будем считать области 2 и 0% симметричными относительно прямых. Тогда, чтобы . области и 0% при совмещении плоскостей и должны иметь непустое связное пересечение. В переменных X 7 У и Z это означает, что в пересечении - 0 Юг , лежащем в плоскости заданы условия (1.5) задачи Копти для системы (I.I), причем эти заданные функции аналитически продолжаются в бицилинд-рическую область 0 .
Пусть H(fi) - такая область трехмерного вещественного пространства К , которая является связной кошонентой пересечения области Q (0) с И и содержит область D0 . Очевидно, что
Н (О) содержится в прямом произведении множества D и оси О ОС . Каждой точке границы области )0 соответствует точка t границы области (Di , либо точка - t границы области Dz Область Н(О) является областью голоморфности функций 11,3,1 ЫУ ; следовательно, в нее не должна попасть ни одна точка поверхностей (1.10). Положим І = а + о&, T=U+lcL , тогда пересечение соответствующей пары поверхностей PtV с пространством /І вещественных переменных Х,У,Х будет определяться уравнениями которые эквивалентны трем вещественным уравнениям
Система задает пересечение первой из поверхностей і с вещественным пространством Pi и представляет окружность О , лежащую в плоскости, параллельной оси ОХ , ш проходящую через точки ML (0,(1; 5) и N(O-C -d). Вторая поверхность пересекает Я по кривой X , определяемой системой (1.106-в), которая лежит в одной плоскости с окружностью 0 и также проходит через точ-ки М и N . При четных р кривая замкнута; при p ZK , К-1} Z\ 3;... она представляет собой параболу, вершина которой лежит внутри окружности 0 , а ветви направлены в сторону отрицательных значений X . Обозначим через А внутреннюю огибающую кривых 0 и оС . Кривая А замкнута и проходит через точки М и /V . Назовем отрезок ее диаметром.
Для каждой точки построим поверхность W(t) , заполняемую кривыми А следующим образом. Возьмем область Ю , симметричную области iD2 относительно оси О У . Каждую точку границы области соединим отрезком прямой с точкой ІєГ .На этом отрезке, как на диаметре, в плоскости, перпендикулярной плоскости VOZ , построим кривую А . Множество = U К (Т ) будем называть сопутствующей поверхностью точки . Замкнутая поверхность Wit) разбивает пространство на две части. Часть пространства /1 , в которой содержится множество, назовем присоединенной областью точки t . Аналогично строится сопутствующая поверхность и присоединенная область для любой точки iz , если вместо области V% рас-сматривать область Юd , симметричную области Юd относительно оси О У .
Очевидно, что та часть пересечения всех присоединенных областей, в которой содержится множество и является областью НШ).
Смешанная задача для системы (I.I) в полу бесконечном цилиндре
Для этого достаточно доказать [20], что ряд (2.12) и ряды, которые из него получаются при двукратном дифференцировании тюХ,У и X , сходятся равномерно относительно Предположим, что функции = в(У) , задающие уравнение контура V , имеют непрерывные производные до 7-го порядка. Тогда собственные функции С0К (У7%) задачи (2.II) будут непрерывны в S0 вместе со своими производными до второго порядка, [32].
Равномерная сходимость ряда (2.12) и рядов а также рядов,полученных двукратным дифференцированием по У и % ряда (2.12),следует из равномерной сходимости рядов
Это получается в силу того,что 0 tfl 0,5 , Лк і ,начиная с некоторого номера К, и при всех положительных
Сходимость рядов (2.14) легко доказывается с помощью интегрирования по частям, если, воспользоваться, .уравнением... Д СО = -Л О)» и теоремой разложимости Стеклова[Зі! При этом применяются формулы (2.13) для коэффициентов &к и ок и то, что начальные функции / и I непрерывно диРеренцируемы до четвертого обращаются в нуль на ребре цилиндра. Ь . Следовательно, ряд (2.12) действительно определяет решение задачи (2.II). Считая далее U и $ известными, определяем через них ТУ и иУ так же, как и в предыдущей теореме где Р - любое вещественное положительное число в полупространстве ІХ Oj .Ее характеристический определитель имеет вид
Система эллиптична всюду,за исключением точек плоскости Х 0 , в которых (2.15) вырождается в систему эллиптико-параболического типа. Поставим задачу: найти регулярное в полупространстве {х о} решение системы (2.15), удовлетворяющее на плоскости вырождения УОХ краевым условиям где + и Q, - заданные непрерывно дифференцируемые функции, удовлетворяющие условию Гёльдера и стремящиеся к нулю на бесконечности. Под регулярным решением системы здесь понимается, как обычно, непрерывное в замкнутой области, дважды непрерывно дифференцируемое внутри области и стремшцееся к нулю на бесконечности решение.
Рассмотрим теперь систему (I.II) при р >0 в конечной од-носвязной области V , лежащей в полупространстве и ограниченной при Х- 0 куском г плоскости УОУ, , а при Х>0 -поверхностью Ляпунова И , однозначно проецирующейся на плоскость Х=0 . Кроме этого, потребуем еще, как и в чтобы граница области ) не содержала иррегулярных точек для классической задачи Дирихле.
Отсюда, следует, что функция IL определяется как решение задачи Дирихле А ІІ- 0 , И = О, , которое существует и единственно в области D указанного вида при любой непрерывной на Г функции
Второе уравнение из (2.23) в области U принадлежит к эллиптическому типу, а при Х=0 его порядок вырождается. Всякое решение этого уравнения при р>0 принимает наибольшее и наименьшее значения на границе области [23]. Отсюда следует единственность и устойчивость решения задачи Дирихле в рассматриваемой области
Докажем существование этого решения. Построим непрерывную в замкнутой области Л) функцию значения которой на Г совпадают с и возрастающую последовательность областей с гладкими границами сходящуюся к . Причем каждую из областей 0^ выберем такой, чтобы а ее граница совпадала и вне некоторой окрестности точек множества Г шла по плоскости Так как уравнение в таких областях не вырождается;, то решение задачи Дирихле для этого уравнения, принимающее значение на Гц , существует и единственно [15]. Покажем, что множество так полученных решений компактно внутри
Задача Дирихле для одного вырождавшегося эллиптического уравнения
Рассмотрим задачу Дирихле для системы (3.1) в конечной од-носвязной области D , ограниченной снизу куском Р плоскости ХОУ , а сверху - поверхностью Ляпунова Н , однозначно проецирующейся на плоскость Х=0 . Потребуем, чтобы Ю пересекала бесконечный круговой цилиндр с осью 0% по конечному цилиндру в достаточно малого радиуса ft и чтобы граница области О не содержала иррегулярных точек для классической задачи Дирихле.
Обозначим PUH=f7 РC\H и поставим следующую задачу: найти решение системы (3.1), удовлетворяющее краевым условиям где Q 7 У7 ft - заданные непрерывные функции, среди которых Q X , У и CL удовлетворяют условию Гёльдера, и кроме этого У обращается в нуль при Xl+ yz /L .
Существует регулярное всюду в Ю , исключая, быть может, точки оси ОХ , решение (U,&, fyi&) задачи (3.1), (3.20), компоненты которого S и V& определяются единственным образом, а И и IT - с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Доказательство.
Учитывая результаты предыдущего параграфа и 4 главы 2, для доказательства теоремы достаточно показать существование в единственного решения заадачи Дирихле для уравнения удовлетворяющего условиям теоремы.
Воспользуемся альтернирующим методом Шварца [12]. Для применимости этого метода в нашем случае достаточно построить полное семейство частных решений уравнения (3.21) в окрестности каждой точки отрезка оси 0% , содержащегося в области Я) , и показать, что во всех таких окрестностях имеет место принцип максимума [47]. В 2 этой главы показано, что уравнение (3.21) имеет семейство ограниченных при Xz+yz-0 решений
Покажем, что в окрестности точки (0,0,Хо)Є D выполняется принцип максимума. Во всех точках эллиптичности уравнения (3.21) этот принцип имеет место 23 . Докажем, что в точке вырождения уравнения (3.21) решение S также не может достигать своего наибольшего и наименьшего значения. Доказательство проведем методом от противного. Пусть в точке А функция достигает своего максимального значения.
Если A - точка максимума для S , то при достаточно малых f 0 функция В должна убывать, тоесть &р О . Так как функция Ojo при этом не возрастает, то f/ 0. Тогда из уравнения (3.22) должно быть Sxz О , а это противоречит необходимому условию существования максимума, в точке А для функции двух переменных . Spp S Xy 0, которое, в силу непрерывности вторых производных iS , должно выполняться и при достаточно малых f О [37].
В случае, когда равенство р 0 сохраняется при достаточно малых Р О , имеем при таких р S рр = О ; но тогда из уравнения (3.22) при таких
В силу того, что &х= О в точке А , будет 5Х=0 и при достаточно малых J3i 0 . Следовательно, функция В-СОЩуЬв достаточно малой окрестности точки А , то есть она достигает своего максимального значения и в точках, где уравнение (3.21) не вырождается. А этого не может быть, так как в таких точках имеет место принцип максимума. Аналогично доказывается, что точка А не может быть и точкой минимума для S . Теперь покажем существование в D решения задачи Дирихле для уравнения (3.21). Выберем Г настолько малым, чтобы цилиндр целиком содержался в цилиндре В . Через Ь± обозначим область, которая получается из Т) выбрасыванием цилиндра { X +У Л2 f 0 % fi} .к паре областей Bi и )d применим альтернирующий метод Шварца. Условия применимости этого штода выполнены, так как в Я)4 уравнение (3.21) эллиптично, а в о± решение задачи Дирихле выписывается явно и для него во всех точках В± имеет место принцип максимума. Единственность решения, построенного выше альтернирующим методом, следует из принципа максимума, для эллиптических уравнений.
