Введение к работе
Актуальность темы. Общеизвестно, сколь важны исследования, связанные с выяснением условий существования стационарных и периодических решений дифференциальных уравнений, изучением их свойств и поиском их точных или приближенных изображений (аналитических, графических и т.д.). Постоянный интерес представляют новые результаты по вопросам бифуркации циклов из сложного фокуса, обобщающие классические результаты А. Пуанкаре, A.M. Ляпунова, Дж. Биркгофа, А.А. Андронова и Э. Хопфа и др.
К необходимости многомодового бифуркационного анализа нелинейных колебаний приводит ряд задач классической динамики, климатото-логии, теории фазовых переходов в кристаллах, теории нелинейных волн и др. разделов современного естествознания.
В связи с появлением в настоящее время мощных скоростных компьютеров и эффективных программно-вычислительных комплексов появились и новые возможности в анализе ветвлений нелинейных периодических колебаний. Для реализации этих возможностей необходимо развитие аналитической и алгоритмической базы бифуркационного анализа.
Несмотря на значительные достижения в теории бифуркаций решений дифференциальных уравнений, многие актуальные задачи теории колебаний остаются недостаточно исследованными. В частности, недостаточно изучен случай параметрического возмущения динамической системы, рассмотренной вблизи вырожденного состояния покоя при наличии сильных резонансов. Практически отсутствуют алгоритмы приближенного построения и качественного анализа оптимальных периодических колебаний, бифурцирующих из сложной точки покоя динамической системы (с многомодовым вырождением).
Представленные в диссертации численно-аналитические схемы иссле-
дования стационарных точек и многомодовых бифуркаций циклов основаны на методах качественного анализа динамических систем, развитого в трудах В.В.Немыцкого, Н.Н. Красовского, А.А. Шестакова, Н.А. Бобылева, М.А. Красносельского, Э.М. Мухамадиева, Ю.И. Сапронова и др. В частности, результаты по бифуркациям и оптимизации циклов получены посредством «конечномерных усечений» динамических системы (методами функционального анализа) и сведения анализа амплитудно-фазовых показателей циклов к поиску и анализу ветвящихся решений системы полиномиальных уравнений на конечномерном пространстве.
Цель данной работы — описание поведения решений систем дифференциальных уравнений с однородными правыми частями и близких к ним, изучение особых точек динамических систем и областей их влияния, построение первых интегралов и описание условий устойчивости точек покоя, разработка алгоритмической основы для изучения и вычисления многомодовых циклов, создание теоретической основы для амплитудной оптимизации ветвей бифурцирующих циклов.
Научная новизна. Все результаты, включенные в диссертацию, являются новыми. Наиболее значимые из них перечислены в следующем ниже списке.
1. Новые условия существования, изолированности и асимптотической
устойчивости точки покоя динамической системы.
Описание условий обобщенной однородности дифференциальных уравнений, условий существования нескольких независимых первых интегралов динамической системы и их построение.
Описание алгебраического строения главной части ключевого отображения в задаче о многомодовой бифуркации циклов, построение асимптотической формулы представления ветвей бифурцирующих циклов.
Описание условий оптимальности полигармонического колебатель-
ного импульса по коэффициенту несимметрии, доказательство существования и единственности оптимального полигармонического многочлена.
Методы исследования. В работе использованы качественные методы анализа особых точек и циклов динамических систем, развитые в трудах Пуанкаре, Ляпунова, Немыцкого, Красовского и др. При иучении многомодовых бифуркаций циклов использованы методы функционального анализа и, в частности, модификации метода Ляпунова - Шмидта (в пределах теории фредгольмовых уравнений). В задаче об амплитудной оптимизации циклов использованы методы математического программирования.
Теоретическая и практическая ценность. Данная работа в целом носит теоретический характер. Представленные в ней результаты могут быть использованы при изучении конкретных динамических систем.
Апробация работы. Результаты диссертации были доложены на 5-ой международной конференции по ФДУ и их приложениям (Махачкала, 2011 г.), в Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2012 г.), на семинаре «Теория бифуркаций» проф. Ю.И. Сапронова в НИИМ ВГУ.
Публикации работы. Результаты диссертации опубликованы в 6 работах. Из опубликованных работ в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору. Работы [1], [2] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на разделы (параграфы), и списка литературы из 45 наименований. Общий объем диссертации — 104 страницы.
