Введение к работе
Одной из важнейших задач современной математической физики является изучение качественного поведения решений нелинейных эволюционных задач. Этим вопросам и посвящена настоящая диссертация.
Наибольшее продвижение в решении этой проблемы достигнуто для обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом наиболее полные результаты получены лишь для динамических систем на плоскости. В диссертации изучаются качественные свойства нелинейных параболических уравнений и систем. Первым этапом в изучении качественных свойств таких задач было построение теории разрешимости начально-краевых задач для линейных и нелинейных параболических уравнений и систем. Такая теория разрешимости была построена в работах И.Г.Петровского, А.Н.Тихонова, В.П.Михайлова, В.С.Белоносова, В.А.Солонникова, О.А.Ладыженской Н.Н.Уральцевой и других для линейных задач и в работах О.А.Ладыженской, Н.Н.Уральцевой, О.А.Олейник, С.Н.Кружкова, и других для нелинейных уравнений и систем. Дальнейшее исследование качественных свойств нелинейных параболичееских задач проводилось в работах Т.И.Зеленяка, С.Н.Кружкова, С.Н.Курдкмова, В.А.Гзлактионова, В.П.Михайлова, А.К.Гущина, С.И.Похожаева А.В.Бабина, М.И.Вишика и других. Укажем еще несколько монографий и обзоров 12-81 наиболее близких к теме диссертации .
В работах 11-21 Т.И.Зеленяком был получен ряд важных результатов о качественном поведении решений краевых задач для автономных нелинейных параболических уравнений с одной пространственной переменной. Дальнейшее развитие эти исследования получили во многих работах ( см., например, обзоры 16-81, где имеется достаточно подробная библиография по этой тематике ).
Опишем подробнее результаты, полученные в работах [1-21, [91. В этих работах был предложен метод
обобщенных функционалов Ляпунова, который позволил получить для решений краевых задач для автономных нелинейных параболических уравнений с одной пространственной переменной ряд фундаментальных фактов о качественном поведении решений. Доказана, в частности, теорема о стабилизации любого ограниченного решения задачи к единственному стационарному решению, оценено число стационарных решений задачи, получены критерии устойчивости стационарного решения задачи, которые охватывают в том числе и критические случаи. В этих работах также описаны области притяжения асимптотически устойчивых и устойчивых стационарных решений.
Отметим, что многие важнейшие результаты, полученные в этих работах оказываются неверными уже для динамической системы обыкновенных дифференциальных урав нений на плоскости. Это в частности относится к таким принципиальным результатам, как теорема о стабилизации любого ограниченного решения краевой задачи для автономного квазилинейного параболического уравнения с одной пространственной переменной , как описание границы области притяжения асимптотически устойчивого решения задачи через стационарные решения этой же задачи (см., например, работу 1111). Такие свойства верны только для скалярного уравнения с одной пространственной переменной вида:
l4t) = f(i(t)), UO) = 0 (1)
Укажем еще несколько важных качественных свойств, которые верны для уравнения (1).
Рассмотрим любое непостоянное решение задачи (1)- Это решение либо монотонно возрастает, либо монотонно убывает. Пусть 11 и 2 ~ Д23 соседних стационарных решения задачи
(1). Тогда существует монотонное решение т]С t;C^, С^^
которое соединяет стационарные решения ? и %2 в том смысле,
что решение r}(t;t1,^2) сходится к одному стационарному
решению при t^+oo и к другому стационарному решению при г=»-ч».
Если задача (1) диссипативна и С - асимптотически
устойчивое сверху стационарное решение, то найдется
неустойчивое снизу стационарное решение ^, такое что область притяжения решения 5 содержит интервал (,1^).
Предположим, что функция f(U аналитична по 5. Тогда либо fd) з о, либо в ограниченной области у задачи (1) не более конечного числа нулей, которые 'являются стационарными решениями задачи (1).
Цель диссертации состоит в том, чтобы показать, что
аналоги приведенных выше качественных свойств с некоторыми
естественными ограничениями и оговорнами справедливы и для
автономной смешанной задачи ' для квазилинейного
71 о
ut = 1 alJ(x'u'vu)dx~dx~ + a(x>u,vu), fx,t;«Q; C2J
U=1 l J
параболического уравнения вида: п
Q = П « (0,-ня), й - ограниченная область в пространстве Rn с
гладкой границей 6Q.
На границе Г = 9Q * (0,+<а) цилиндра Q предполагаются
выполненными следующие граничные условия: п
Ви = cyz +а^ J bt(x)^r + g(x,u)) = О, (x,t)tT. (3)
1=7 {
При t = О задаются начальные данные:
м(х,0) = и0(х) (4)
Решение задачи (2)-(4) будем обозначать через u(x,t;u0).
В диссертации рассматривается и случай периодической зависимости функций а{ ,(x,t,и,чи.), a(x,t,u,va), g(x,t,u) от
времени:
п г
ut =1 atJ^z't'u'TO-,si~gx" * a(x,u,vu), (x.tHQ; (5)
n Ви = cyu«4rj bt(x,t)%%- f g(x,t,u)) = 0, (x,t)zT; (6)
i=1 l
u(x,0) = uQ(x) (7)
at ,(x,t + u),u,vu; = a^Ax.t.UtVU), a(x,t + ы,и,чи) =
= a(x,t,u,vu), g(x,t + io,uJ = g(x,t,u).
Предполагается, что уравнение (2) равномерно
параболично. Предполагается также, что а^ + а? > О, а? ^ О,
J b^(x)Cos(n,x^) ^ \і.0 > О. Аналогичное условие выполнено и
1=1
для уравнения (5), и для граничных условий (6).
Начальные данные Uq(x) задачи (2)-(4) и задачи
(5)-(7) предполагаются принадлежащими следующему множеству: Е = ( Uq(x)G1(й); BuQ(x) = 0 ).
Функции atj(x,u,p), а(х,и,р), g(x,uj, atj(x,t,u,p),
a(x,t,u,p), g(x,t,u) p = Cp7,...,pn; предполагаются трижды
гладкими по всем переменным и удовлетворяющими условиям типа С.Н.Бернттейна, которые обеспечивают оценку классического
решения u(x,t;uQ) в С | (QyJ задачи (2)-(4) ( или
2+а1
2+а "2~
задачи (5)-(7)) в С | CQyJ , если известна оценка
этого решения в CfQyJ, Г < «о (см.Mi).
Во многих теоремах, доказанных в диссертации, требуется, чтобы задача (2)-(4) ( или задача (5)-(7)) была
диссипативна, то есть чтобы для любых начальных данных и0(х)
из Е решение u(x,t;Ug ) задачи (2)-(4) существовало при
всех t > 0 и удовлетворяло неравенству:
Тій \u(x,t;un)\9, < Rn.
t-+co и и и
Методика исследования основана на подробном изучении поведения решений квазилинейных параболических уравнений вида (2)-(4), (5)-(7) в окрестности стационарного, для первой задачи, и в окрестности периодического, для второй задачи, решения. При этом оказалось, что результаты, описывающие поведение решений в окрестности стационарного или периодического решения, можно получить, не услошіяя значительно рассуждений, и для значительно более общего класса параболических систем. Это и проделано в первой главе
диссертации. Отметим, что для получения этих результатов в работе применяются точные шаудеровские оценки в Гельдеровских классах с весом. Такие оценки были впервые получены в работах В.С.Белоносова 121,[10]. Применение этих оценок позволило в первой главе диссертации избежать ряда ненужных, но громоздких ограничений, которые обычно при доказательстве подобных утверждений делаются.
Одним из основных методов исследования, который применяется в диссертации, является принцип максимума и различные следствия из него: как то теоремы сравнения, теорема Крейна-Рутмана, теорема Заремба-Жиро.
Автором диссертации получены следующие результаты, которые выносятся на защиту:
1. В окрестности периодического решения в критическом
случае, когда у линеаризованной на периодическом решениии
параболической задачи есть нетривиальные периодические
решения, построено устойчивое интегральное множество,
притягивающее решения задачи (глава I).
-
Получен критерий экспоненциальной устойчивости нулевого решения линейного параболического уравнения с коэффициентами, зависящими от времени (глава 2).
-
Для задачи Неймана для уравнения (5) в случае, когда a^,(t,u,vu.), aft,u,vu) не зависят от пространственных
переменных и область П - выпукла, показано, что устойчивое периодическое решение задачи тоже не зависит от пространственных переменных (глава 2).
-
Для диссипативной задачи (5)-(7) на множестве периодических решений установлен частичный порядок (глава 3).
-
Для диссипативной задачи вида (5)-(7) доказано существование максимального ш-периодического решения задачи и минимального ш-периодаческого решения задачи (глава 3).
-
Доказано, что область -притяжения асимптотически устойчивого периодического решения, которое лежит мевду максимальным и минимальным периодическим решением, ограничена сверху и снизу периодическим решением задачи (глава 3).
7. Для задачи (2)-(4) доказано существование
единственной монотонной по времени связной орбиты, которая соединяет два соседних стационарных решения. Под связной орбитой ; понимается решение задачи (2)-(4), которое определено при всех t > О и сходится при t-»-a> к одному стационарному решению и при t-н-оо к другому стационарному решению (глава 3).
7. Построен пример периодического решения автономной задачи
вида (2)-(4) (глава 3).
8. Для диссипативной задачи (2)-(4) доказано
существование открытого и плотного в С1(&) множества и ^начальных данных, таких что если и0(х)М, то решение
~u(x,t;u.Q) стабилизируется к единственному стационарному
решению (глава 4).
9.- Показано- для диссипативной задачи (2)-(4), что если
функции а{ ,(х,и,р) ,а(х,и,р) аналитически зависят от и,р, то
у задачи в ограниченной области не более конечного числа устойчивых стационарных решений. Показано, что для открытого
и плотного в С СП; множества начальных данных решение u(x,t;uQ) становится строго монотонным (глава 4).
Основные результаты работы докладывались на семинарах: академика Л.В.Овсянникова (Институт гидродинамики СО РАН), члена-корреспондента С.П.Курдіомова (Институт прикладной математики им. ' Ы.В.Келдыша), академика С.К.Годунова (Институт математики СО РАН), члена-корреспондента В.Г.Романова (Институт математики СО РАН), члена-корреспондента А.Н.Коновалова (Вычислительный центр СО РАН), профессора Т.И.Зеленяка (Институт математики СО РАН), профессора Ю.Е.Аниконова (Институт математики СО РАН),
профессора В.Н.Врагова (Институт математики СО РАН),
профессоров В-П.Михайлова и А.К.Гущина (Институт математики
им. В.А.Стеклова), профессора В.Ловицара (Институт математики в г. Праге, Чехия),на Всесоюзных конференциях: Математические методы в химии ( в 1975 году в г. Новосибирске и в 1982 году в г. Ереване), 5 Всесоюзной конференции по качественной теории дифференциальных
уравнений в 1979 году в г. Кишиневе, Всесоюзных конференциях по качественной теории дифференциальных уравнений ( в 1986 году в г. Омске, в 1989 году в г. Барнауле, в 1992 году в г. Красноярске), на конференции по дифференциальным уравнениям в 1986 году в г. Кацивели, на Всесоюзной конференции по неклассическим задачам математической физики в 1988 году в г. Новосибирске, на Дальневосточной математической школе в 1988 году в г. Находке, на Международной математической школе по дифференциальным уравнениям в центре Банаха в 1990 году в г. Варшаве, на Советско-японском семинаре по условно-корректным задачам в 1991 году в г. Новосибирске, на Всесоюзной конференции по условно-корректным задачам в 1992 году в г. Новосибирске, на Международной конференции equadifp-8 в 1993 году в г. Братиславе (Словакия).
По теме диссертации опубликованы работы автора [121-С281.
Структура диссертации: диссертация состоит из введения и четырех глав. Каждая глава разбита на параграфы. Общий объем работы 206 страниц. Библиография 108 наименований.
Внимание автора к вопросам, которые рассматриваются в диссертации, было привлечено Т.И.Зеленяком. Автор благодарит его за постоянное внимание и интерес к работе, а также благодарит В.С.Белоносова и М.М.Лаврнтьева-мл. за обсуждение результатов.
