Введение к работе
Актуальность темы. Асимптотические решения слабо нелинейных систем являются интересными моделями при изучении нелинейных явлений. О одной стороны, разработаны методы построения подобных решений, с другой, - свойства этих решений существенно отличаются от линейных. Построение асимптотических решений слабо нелинейных систем часто приводит к исследований нелинейных уравнений (часто - интегрируемых). Они определяют свойства решений слабо нелинейных систем на отличных от исходных масштабах времени и пространства. Замечательный и наиболее известный пример - вывод уравнения Кортевега-де Фриза. Задачи о построении асимптотических решений слабо нелинейных систем уравнений в частных производных рассматривались, например-, в работах Л.А. Островского, В.П. Маслова, Дж. Уизема (G.WMtham). Строгое математическое обоснование асимптотических переходов в различных ситуациях было получено Л.В. Овсянниковым, А.Л. Штарасом, Л.А. Калякиным и другими.
Изучение асимптотических- решений на следующих временных и пространственных масштабах связано с возмущение/: самих нелинейных интегрируемых уравнений. Здесь ситуация менее азучена, чем в слабо нелинейных системах. Следует отметить пионерские работы В.М.Карпмана и Е.М.Маслова (1977), ДЛ.'аклэфлина и А.Скотта (1978) (D.W.McLaughlin & A.C.Scott). Появление подобных задач во ітюпіх областях физики поддерживает пітерас к к:п.
Га'Ь г—^'лл. Построить и обосновать асимптотику регента задачи Keen для слобопегглейной гиперболической система с
сильной дисперсией и условно-периодическими начальными данными. На примере возмущенного уравнения step-Gordon исследовать асимптотику но малому параметру решения задачи Гурса с солитонным начальным услоа-:-зм.
Методика исследования. Основными методами построения асимптотических решений в диссертации являйтсй метод двух масктабов и метод Фурье.
Научная новизна и теоретическая данность. В диссертации получены следующие новые результаты.
1. Построена и. обоснована асимптотика со малому
параметру решениг слаСошлшоЛйой- гиперболической системы
уравнений с сильной длспэрс-"?й, аналитическим возмущением и
условно-периодическими начальными данными.
2. Обоснован, известный ранее как формальный,
асимптотический переход от системы уравнений Максвелла-Блоха к
уравнению sine-Gordon.
3. Построено формальное асимптотическое решение задачи
Гурса для возмущенного уравнения sine-Gordon с начальным данным
в виде солитона невозмущенного уравнения. Основное продвижение
здесь - уравнение модуляции образов Фурье на непрерывном спектре
для первой поправки формального асимптотического решения.
Обоснование формальных асимптотических построений позволяет получить строгие математические результаты об асимптотике решения исходной задачи. В этом смысле следует понимать первые два результата, полученные в диссертации. Исследование первой поправки формального асимптотического решения в задаче о возмущении солитопэ имеет два аспекта. Во-первых,-определяет
асимптотику вне солитона, во-вторых, - является первым шагом' на пути обоснования построенного формального решения.
Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации докладывались на семинаре акад. В.П.Маслова в Институте проблем механики АН СССР (1991 г.), Международной школе "Динамические системы и турбулентность" (Кацквели, 1991 г.), на семинаре в Отделе квантовой теории поля в Математическом институте им. В.А.Стеклова (1992 г.), на международной конференции "Нелинейные вволкшионБые уран^ния к динамические системы" (Дубна, 1992 г.), на семинаре Отдела црикладных задач института математики и мехаїг-'ки УрО РАН (1992 г.) и неоднократно на семинаре Отдела дифференциальных уравнений института математики, с ВЦ УрО РАН в Уфе.
Публикации. По теме диссертации опубликовано пять работ.
Структура и объеи диссертации. диссертационная работа состоит из введения и двух глав. Объем диссертации - 113 машинописных страниц. Билиография содержит 65, наименований.
