Содержание к диссертации
Введение
1 Предварительные сведения 22
1.1 Многозначные отображения 22
1.2 Элементы теории гладких многообразий 27
1.3 Геометрическая механика с линейными связями 30
1.4 Элементы общей теории относительности 31
2 Интегральные операторы с римановым параллельным переносом . 35
2.1 Оператор S 35
2.2 Годограф скорости 39
2.3 Интегральные операторы для систем со связями 46
3 Двухточечная краевая задача на римановых многооб разиях 51
3.1 Постановка задачи и математический аппарат 51
3.2 Дифференциальные включения второго порядка с менее, чем квадратичным ростом по скоростям 55
3.2.1 Дифференциальные включения с правой частью, удовлетворяющей верхнему условию Каратеодори. 55
3.2.2 Дифференциальные включения с правой частью, полунепрерывной снизу 59
3.3 Дифференциальные включения второго порядка с квадратичным ростом по скоростям 61
3.4 Дифференциальные включения второго порядка со связями на многообразиях 64
3.4.1 Математический аппарат 65
3.4.2 Основные утверждения 67
4 Двухточечная краевая задача на лоренцевых много образиях 75
4.1 Концепция системы отсчёта по А.Полтораку. 75
4.2 Случай системы отсчета с плоской связностью 77
4.3 Случай системы отсчета с римановой связностью . 83
Литература 90
- Элементы теории гладких многообразий
- Годограф скорости
- Дифференциальные включения второго порядка с менее, чем квадратичным ростом по скоростям
- Случай системы отсчета с плоской связностью
Введение к работе
Двухточечные краевые задачи для дифференциальных уравнений и включений второго порядка являются классической областью исследования в теории обыкновенных дифференциальных уравнений и до настоящего времени активно исследуются во всем мире (см., например недавние публикации о двухточечных задачах для дифференциальных включений [1] - [12]).
Отметим, что к дифференциальным уравнениям и включениям второго порядка сводятся законы движения механических систем (к включениям - в случае разрывных силовых полей или силовых полей с управлением), причем рассмотрение подобных уравнений и включений на многообразиях позволяет охватить механические системы на нелинейных конфигурационных пространствах. Указанные уравнения и включения на многообразиях также естественно возникают и в других разделах математической физики (например, в общей теории относительности), а также в геометрии многообразий.
По сравнению со случаем линейных пространств двухточечная краевая задача для уравнений и включений на римановых многообразиях существенно усложняется: даже в классических для линейных пространств случаях разрешимости на многообразиях двухточечная краевая задача может не иметь решений. Так, имеются примеры дифференциальных уравнений второго порядка на компактном многообразии с гладкой ограниченной правой частью (даже не зависящей от скорости), в которых для двух точек, сопряженных вдоль всех гео-
дезических связности Леви-Чивита, их соединяющих, нет ни одного решения уравнения, соединяющего эти точки (см., например, [13, 14]; поскольку в плоском евклидовом пространстве сопряженных точек не существует, подобный эффект в классическом плоском случае не наблюдается). Аналогичные эффекты неразрешимости имеют место и для случая уравнений и включений с линейным ростом правой части (см., например, [13]). Ниже в тексте диссертации приводятся аналогичные примеры для уравнений, чьи правые части имеют квадратичный рост. Таким образом, указанный эффект является универсальным и не зависит от скорости роста правой части.
В случае, когда правая часть дифференциального уравнения второго порядка имеет квадратичный рост, возникают особые эффекты, из-за которых двухточечная краевая задача может быть не разрешима. Один из подобных примеров в R2 приведен ниже в тексте диссертации.
Двухточечная краевая задача для уравнений и включений второго порядка на римановых многообразиях для точек, не сопряженных вдоль хотя бы одной геодезической, их соединяющей, иссследовалась многими авторами при различных условиях. Для уравнений (т.е. в случае однозначной правой части) разрешимость была показана Ю.Е. Гликлихом для непрерывной правой части [15] (случай ограниченной правой части) и в [16] (случай линейного роста по скоростям), Е.И. Яковлевым, например, в [17] для гладких правых частей при выполнении некоторых сложных условий и В. Гинзбургом в [18] для гладких правых частей с менее, чем квадратичным ростом по скоростям. Разрешимость двухточечной краевой задачи для дифференциальных
включений с правыми частями различных типов была доказана Б.Д. Гельманом и Ю.Е. Гликлихом [19], Ю.Е. Гликлихом и А.В. Обуховским [20, 21] и М. Киселевичем [22] и др., но только в случае ограниченных правых частей. Отметим, что подход работы [18] для уравнений с гладкой правой частью с менее, чем квадратичным ростом по скоростям, не применим к включениям, поскольку основан на свойстве единственности решений, отсутствующем для включений.
Укажем модификацию двухточечной краевой задачи для уравнений и включений второго порядка, подчиненных неголономным связям в смысле Вершика-Фаддеева: в этом случае естественно ставить вопрос о возможности соединить решением заданную точку и некоторое подмногообразие. Эта задача исследовалась Ю.Е. Гликлихом в [23] и А.В. Обуховским в [24, 25], однако также только для случая ограниченных правых частей.
В указанный цикл вопросов естественным образом включается классическая задача о возможности соединить две заданные точки многообразия геодезической некоторой связности. Для связности Ле-ви-Чивита полного риманового многообразия разрешимость этой задачи следует из теоремы Хопфа-Ринова, но это не верно даже для римановых связностей с ненулевым кручением. Существует примеры связностей (см., например, [26]), в том числе, на компактном многообразии (двумерном торе) для которой эта задача не разрешима (см. [27]).
Известно, что геодезические кривые одной связности описываются в терминах ковариантной производной другой связности посредством
дифференциального уравнения второго порядка, у которого правая часть квадратична по скоростям, т.е. поставленная задача сводится к двухточечной краевой задаче для указанного уравнения.
Особый интерес вызывает указанная задача на лоренцевых многообразиях, поскольку естественно возникает в общей теории относительности. Так, в цикле работ А. Полторака [28, 29] (см. также развитие этой теории в [30]) была предложена новая концепция системы отсчета в общей теории относительности, как некоторого многообразия с заданной на нем связностью. При этом не был изучен вопрос о том, принадлежит ли некоторое событие собственному будущему некоторого другого события на пространстве времени, если это выполняется в системе отсчета. Указанный вопрос сводится к вопросу о существовании времениподобной геодезической, соединяющей заданные события в пространстве-времени, т.е. к двухточечной краевой задаче для уравнения геодезических на пространстве-времени в терминах связности системы отсчета - для дифференциального уравнения второго порядка с правой частью, квадратичной по скоростям.
Целью работы является изучение разрешимости двухточечной краевой задачи и ее аналогов для дифференциальных уравнений и включений второго порядка на римановых и лоренцевых многообразиях, у которых правые части имеют квадратичный или менее, чем квадратичный рост по скоростям.
Методика исследований. Использовались идеи и методы современного глобального анализа, нелинейного анализа, в частности разработанный Ю.Е. Гликлихом метод интегральных операторов с рима-
новым параллельным переносом и годографов скорости.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные:
На полном римановом многообразии найдено геометрическое условие, при выполнении которого для двух точек, не сопряженных вдоль хотя бы одной геодезической связности Леви-Чивита, их соединяющей, разрешима двухточечная краевая задача для дифференциальных включений второго порядка у которых правая часть имеет квадратичный рост по скоростям и удовлетворяет верхнему условию Каратеодори (и в этом случае имеет выпуклые образы), либо полунепрерывна снизу. Как частный случай получено достаточное условие при котором две точки на полном римановом многообразии могут быть соединены геодезической другой связности.
Установлено, что описанное выше условие всегда выполняется для уравнений и включений, у которых правая часть имеет менее, чем квадратичный рост по скоростям. На этой основе доказано, что для двух точек, не сопряженных вдоль хотя бы одной геодезической связности Леви-Чивита, их соединяющей, при достаточно малых временах всегда разрешима двухточечная краевая задача для дифференциальных включений второго порядка с правой частью, имеющей менее, чем квадратичный рост по скоростям и удовлетворяющей верхнему условию Каратеодори (и в этом случае имеет выпуклые образы), либо полунепрерывна снизу.
Изучены дифференциальные включения второго порядка на ри-мановых многообразиях, подчиненные неголономпым связям в смысле
Вершика - Фаддеева, с правой частью, имеющей квадратичный рост по скоростям или менее, чем квадратичный рост по скоростям и либо удовлетворяющей верхнему условию Каратеодори (в этом случае образы міюгоозпачного отображения выпуклы), либо полунепрерывной снизу. Получены утверждения о разрешимости аналога двухточечной краевой задачи для данных включений.
5. В двух специальных случаях систем отсчета по А. Полтораку найдены условия, при выполнении которых из того, что одно событие принадлежит собственному будущему в системе отсчета, следует, что то же свойство выполняется в пространстве-времени.
Теоретическая и практическая значимость.
Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты применяются при исследовании механических систем на нелинейных конфигурационных пространствах с разрывными силовыми полями или с управлением, а также в общей теории относительности.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международной научной конференции по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2004г), на Воронежской зимней математической школе 2004, на Международной конференции "Геометрическая топология, дискретная геометрия и теория множеств", посвященной столетию Л.В. Келдыш (Москва, 2004) и на международной научной конференции Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения (Воронеж, 2005).
Публикации. Основные результаты работы опубликованы в [31] -[41]. Из совместных работ [35] и [38] - [40] в диссертацию вошли только
результаты, принадлежащие лично диссертанту.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, четырех глав, разбитых на 14 параграфов, и списка литературы, включающего 58 источника. Общий объем диссертации 98 страниц.
Краткое содержание диссертации
Первая глава носит вспомогательный характер и посвящена из-ложнению необходимых понятий и утверждений из теории римановых многообразий, многозначного анализа и общей теории относительности.
Во второй главе описывается обобщение конструкции интегральных операторов с параллельным переносом, введённых Ю.Е. Гликли-хом в [42,15]. Следуя замечанию в [43,13], данная конструкция распространяется на случай произвольной римановой связности римановой метрики. Через S обозначается оператор, переводящий непрерывную кривую v(t) в касательном пространстве ТтоМ к риманову многообразию М в точке то в С^-кривую Sv(t) на М такую, что Sv(0) = mo и при любом t из области определения кривой v(t) вектор 2iSv(i) параллелен вдоль кривой Sv(-) вектору v(t).
Пусть риманово многообразие М полно и точки то и ті не сопряжены вдоль хотя бы одной геодезической 7(0 заданной римановой связности. В первом параграфе главы доказана следующая лемма, в которой введена величина є, которая зависит от геометрии многообразия.
Лемма 2.1.3 Существует є > 0 такое, что для произвольной
кривой u(t) Є Ue С С([0, l],TmoM) в некоторой ограниченной окрестности V вектора -у(О) в ТтоМ существует единственный вектор Си, непрерывно зависящий от и, такой, что S(u + Си)(1) = т\.
Обозначим через С верхнюю грань норм векторов из окрестности V. Эта величина зависит от расстояния между двумя данными точками.
В Замечании 2.1.2 отмечено, что все кривые S(u + Cu)(t), и Є Ue, лежат в некотором компакте 9 С М, зависящем от є и С.
Определение 2.2.1 Будем говорить, что на многообразии М задано силовое поле a(t,v,X), если в каждом т Є М задан вектор a(t, т, X) Є ТтМ, зависящий от параметров t Є I и X Є ТтМ.
Обозначим через ковариантную производную выбранной римано-вой связности. Для заданного силового поля с использованием параллельного переноса аналогично [43, 13] вводится уравнение годографа скорости (2.4) - интегральное уравнение в касательном пространстве ТтоМ такое, что если кривая v(i) является его решением, то кривая m(t) = Sv(t) на М удовлетворяет уравнению
-j-m(t) = a(t,m(t),rh(t)) (2.1)
и при этом т(0) = то и m(ti) = ті при некотором t\ > 0.
Пусть a(t,m,X) таково, что на некотором компакте НсМ, содержащем точки то и mi и на достаточно большом отрезке I = [0,Т]с R выполняется неравенство max \\oi(t,m,Х)\\ < ^||-^||2, где 5 > 0
(t,m)eIxE
- некоторая константа. Обозначим через В вполне непрерывный интегральный оператор в правой части уравнения годографа скорости (2.4).
Теорема 2.2.5 Пусть т\ не сопряжена с то вдоль хотя бы одной геодезической и при этом выполняется неравенство 5 < , g)2. Тогда для любого t\ > 0 существует число К, такое что оператор В переводит в себя шар Uxh Радиуса Kt\ в пространстве C([0,ti],TmoM).
Таким образом, по принципу Шаудера оператор В имеет неподвижную точку (решение уравнения (2.4)) - кривую в /#п0 которой строится решение двухточечной краевой задачи для уравнения (2.1).
Примером применения теоремы 2.2.5 является классическая задача о возможности соединить две заданные точки многообразия геодезической некоторой связности. Напомним, что для связности Леви-Чивита полного риманова многообразия её разрешимость следует из теоремы Хопфа-Ринова (см., [46, 47]). Однако уже для римановой связности с ненулевым кручением эта задача может быть не разрешима.
Задача о существовании геодезической, соединяющей две заданные точки на многообразии, сводится к двухточечной краевой задаче для дифференциального уравнения второго порядка следующего вида :
jtm = a(m(t),m(t)), (2.6)
где силовое поле а(га,Х) квадратично по скоростям. Введём норму
квадратичного оператора а(т, X) следующей формулой: ||a(m, -)|| =
sup ||а(га,Х)||, при X принадлежащем ТтМ. 11*11=1
Теорема 2.2.8. Пусть а(т,Х) из уравнения (2.6) непрерывно по
совокупности переменных, ||а(т,')|| равномерно ограничено некоторым числом а > 0, то не сопряжено с т\ вдоль хотя бы одной геодезической связности Леви- Чивита и для соответствующих этим
точкам числам С и є из леммы 2.1.3 и числа а выполняется оценка а ^ (є+С)2 Тогда существует решение m{t) уравнения (2.6), такое что т(0) = то и т(1) = ті.
В последнем параграфе главы описываются интегральные операторы с римановым параллельным переносом относительно так называемой усеченной связности (обозначаются S13) и уравнение годографа скорости для уравнений, подчиненных неголономным связям в смысле Вершика-Фаддеева, заданным в геометрически инвариантной форме в терминах неинтегрируемых распределений. В частности, введены числа и С, являющиеся для этого случая аналогами чисел, введенных выше для уравнений без связей.
В третьей главе рассматривается двухточечная краевая задача для дифференциальных включений второго порядка на римановом многообразии. Такие включения описывают механические системы с управлением или с разрывными силовыми полями на нелинейных конфигурационных пространствах, т.е. рассматривается вопрос о существовании траектории подобной механической системы, соединяющей две заданные точки то и ті конфигурационного пространства.
В 3.1 приведены два простых примера неразрешимости двухточечной краевой задачи для дифференциальных уравнений второго порядка на многообразиях с квадратичным ростом правой части по скоростям. В первом примере показывается, что если точки сопряжены вдоль всех геодезических связности Леви-Чивита, то может не быть решений уравнения, соединяющих эти точки. Как отмечалось выше, этот эффект является универсальным и не зависит от роста правой
части. Второй пример в линейном пространстве R2 является специфическим для уравнений с квадратичным ростом по скоростям.
Будем говорить, что на полном римановом многообразии М задано многозначное силовое поле F(t,m,X), если в каждой точке т Є М задано множество F(t,m,X) С ТтМ, зависящее от числового параметра t и вектора X Є ТтМ.
Рассмотрим дифференциальное включение второго порядка
jm{t)eF{t,m{t),m{t)), (3-1)
где - ковариантная производная связности Леви-Чивита на М.
Определение 3.1.2. С1- кривая m(t) такая, что её производные абсолютно непрерывны и включение (3.1) выполнено для почти всех t, называется решением включения (3.1).
Во втором параграфе третьей главы рассматриваются дифференциальные включения второго порядка с менее, чем квадратичным ростом по скоростям.
Определение 3.1.3. Мы будем говорить, что F(t,m,X) растёт менее чем квадратично по X, если на любом компакте 9 Є М и на любом конечном интервале [О, /] оно удовлетворяет условию:
Ш ]Щ^ = 0 (3.2)
||Х|Иоо \\Х\\2
равномерно по t Е [0,1] и т Є в. Если (3.2) выполняется на некотором компакте в и некотором отрезке [0, /], то будем говорить, что F(t, т, X) растёт менее чем квадратично по X на [0, /] х в.
В пункте 3.2.1 исследован случай, когда поле F(t, т, X) дифференциального включения (3.1) имеет выпуклые образы и удовлетворяет
верхнему условию Каратеодори.
Теорема 3.2.5. Пусть многозначное силовое поле F(t, т, X) удовлетворяет верхнему условию Каратеодори, имеет выпуклые замкнутые ограниченные образы и растет менее чем квадратично по скоростям на [0,1] х G, где [0,1] - некоторый промежуток, а 9 -компакт из Замечания 2.1.2, точки т\ и то не сопряжены вдоль некоторой геодезической связности Леви- Чивита. Тогда при достаточно малом t\ > О существует решение m(t) дифференциального включения (3,1) такое, что т(0) = то и m(ti) = ті.
В пункте 3.2.2 рассматривается случай, когда механическая система описывается дифференциальными включениями второго порядка с полунепрерывной снизу правой частью. Полунепрерывность снизу возникает, например, в случае с управлением - при экстремальных значениях управляющей силы.
Теорема 3.2.7. Пусть точки ті и то не сопряжены вдоль некоторой прямейшей, a F(t,m,X) полунепрерывно снизу, имеет замкнутые ограниченные образы и растет менее, чем квадратично по скоростям по скоростям на [0, /] х 0, где [О, /] - некоторый промежуток, а 6 - компакт из Замечания 2.1.2. Тогда для достаточно малого ti > 0 существует решение m(t) дифференциального включения (3.1) такое, что т(0) = то и m(ti) = ті.
Теоремы 3.2.5 и 3.2.7 доказываются путем сведения включения (3.1) к многозначному аналогу уравнения годографа скорости и доказательства его разрешимости.
В 3.3 рассматривается случай, когда правая дифференциального
включения имеет квадратичный рост.
Определение 3.1.4 Мы будем говорить, что F(t,m,X) растёт квадратично по X, если па любом компакте 0 Є М и на любом конечном интервале [0, /] оно удовлетворяет условию:
hm t—ttz—- = a(t, т) (3.3)
IWHoo ||Х||2
равномерно по t G [0,1] и т Є в, где a(t,m) ^0- действительная функция на [0, /] х в, которая не равна тоо/сдественному нулю. Если (3.3) выполняется па некотором компакте 0 и некотором отрезке [0,1], то будем говорить, что F(t,m,X) растёт квадратично по X на [0, /] х 0.
Доказываются следующие теоремы.
Теорема 3.3.1 Пусть F(t,m,X) удовлетворяет верхнему условию Каратеодори, имеет замкнутые, выпуклые, ограниченные образы и квадратично растёт по по скоростям па [0, /] х 0, где [0, /] -некоторый промежуток, а 0 - компакт из Замечания 2.1.2. Пусть точки то и т\ не сопряжены вдоль некоторой геодезической g связности Леви-Чивита. Также, пусть при t Є [0,1] и т Є 5, где [0,1] -некоторый интервал, а 0 - введенный в Замечании 2.1.2 компакт, для функции a(t,m) из определения 3.1.4 найдётся число 6, такое что выполняется следующее неравенство: a(t,m) < 8 < , +gp Тогда существует положительное число L(rriQ,mi,g), такое что если 0
Теорема 3.3.2 Пусть F(t, т, X) полунепрерывно снизу, имеет за-
мкнутые ограниченные образы и квадратично растёт по по скоростям на [О, I] х О, где [О, /] - некоторый промежуток, а 0 - компакт из Замечания 2.1.2. Пусть точки то и ті не сопряжены вдоль некоторой геодезической g связности Леви- Чивита. Также, пг/сть при t Є [0,/] и т Є в, для функции a(t,m) из определения 3.1.4 найдётся число 8, такое что выполняется следующее неравенство: а(<, т) < 8 < (+с)2 Тогда существует положительное число L(mo, mi,g), такое что если 0 < ti,< L(mo,mi,g), то существует решение m(t) включения (3.1), такое что, m(0) = то и m(t\) = гп\.
В следующем параграфе рассматривается случай систем со связями. В отличии от систем без связей, в этом случае естественно ставится вопрос не о достижимости конкретной точки, а о достижимости фиксированного подмногообразия N, трансверсального подмногообразию, заполненного "прямейшими" неголономными геодезическими. Мы рассматриваем случай когда сила, либо удовлетворяет верхнему условию Каратеодори, либо полунепрерывна снизу.
Вводится оператор Q : ТМ -> b ортогонального проектирования слоев ТМ на их подпространства связи Ь, т.е. Qm : ТтМ -> bm для каждого т Є М. Описывается аналог включения (3.1) для случая неголономной связи (включение (3.7)). В замечании 3.4.1 отмечается, что при t Є [0,h] и t^e > К все кривые SP(v(t) + Cv), где v(t) взято из шара радиуса К, лежат в некотором компакте S.
Теорема 3.4.6 Пусть QF(t,m,X) удовлетворяет верхнему условию Каратеодори, имеет выпуклые замкнутые ограниченные образы растёт менее чем квадратично по скоростям на [0, /] X Е, где [0, /] -
некоторый промежуток, аЕ - компакт из Замечания 3.4-1 и точки т\ и то не сопряжены вдоль некоторой прямейшей. Тогда при достаточно малом t\ > 0 существует решение m(t) дифференциального включения (3.9) такое, что ш(О) = гпо и m(ti) Є N.
Теорема 3.4.7 Пусть точки mi и то не сопряжены вдоль некоторой прямейшей, a QF(t, т, X) полунепрерывно снизу, имеет замкнутые ограниченные образы и растёт менее чем квадратично по скоростям на [0,1} х Е где [О,I] - некоторый промеоісуток, аЕ - компакт из Замечания 3.4-1 и точки т\ и то не сопряоїсеньї вдоль некоторой прямейшей. Тогда для достаточно малого t\ > О существует решение m(t) дифференциального включения (3.7) такое, что m(O) = то и m(ti) Є N.
Теорема 3.4.8 Пусть точки т\ и то не сопряоїсеньї вдоль некоторой прямейшей, a QF{t,m,X) полунепрерывно снизу, имеет замкнутые ограниченные образы и растёт квадратично по скоростям на [0,/] х Е, где [О,/] - некоторый промеоісуток, аЕ - компакт из Замечания 3.4-1 точки т\ и то не сопряоїсеньї вдоль некоторой прямейшей. Также, пусть при t Є [О, I] и т Є Е для функции a(t, т) из определения 3.1.4 найдётся число 8, такое что выполняется следующее неравенство: a(t,m) < 8 < (g+g.2. Тогда для достаточно малого t\>Q существует решение m(t) дифференциального включения (3.7) такое, что т(О) = то и m(t{) Є N.
Теорема 3.4.9 Пусть QF(t, т, X) удовлетворяет верхнему условию Каратеодори, имеет выпуклые замкнутые ограниченные образы и растёт квадратично по скоростям на [0,1]хЕ, где [О, /] - некоторый
промежуток, а Н - компакт из Замечания 3.4-1 точки ті и то не сопряжены вдоль некоторой прямейшей. Также, пусть при t Є [О, I] ит ЄЕ для функции a(t,m) из определения 3.1.4 найдётся число 5, такое что выполняется следующее неравенство: a(t,m) < 5 < іє1С\2 Тогда для достаточно малого t\ > О существует решение m(i) дифференциального включения (3.7) такое, что m(O) = то и m(ti) Є N. В четвёртой главе рассматривается двухточечная краевая задача для дифференциальных уравнений второго порядка на лоренце-вых многообразиях, возникающая в связи с концепцией системы отсчета, предложенной А. Полтораком. В этой концепции система отсчета определяется как некоторое гладкое многообразие с заданной на нем связностью. В простейших случаях - это пространство Минковского с плоской связностью, однако в более сложных случаях возможны другие многообразия и связности. При этом геодезическая т(т) связности Леви-Чивита на М (мировая линия в отсутствие других сил, кроме гравитации) описывается в системе отсчета уравнением
—m(r) = Gm(r)(m(r),m(r)). (4.1)
причем правая часть (4.1) квадратична по скоростям т(т).
Нами рассматриваются два случая: система отсчета с плоской связностью и система отсчета с римановой связностью. Для указанных двух связностей исследуется следующий вопрос: возможно ли соединить два события то и mi в М времениподобной геодезической при условии, что эти события соединимы в системе отсчета геодезической соответствующей связности, у которой начальный вектор временипо-
добен, т.е. лежит внутри светового конуса пространства ТтоМ. Этот вопрос может быть интерпретирован следующим образом: принадлежит ли событие mi собственному будущему события то в М, если это выполняется в системе отсчета? Найдены геометрические условия, при выполнении которых ответ на поставленный вопрос положителен.
В первом параграфе главы описывается некоторая модификация концепции системы отсчета по А. Полтораку, используемая в дальнейшем.
Во втором параграфе исследуется случай системы отсчета ТтоМ с плоской связностью. Доказана Лемма 4.2.1 о некоторых свойствах интегральных операторов в пространстве Минковского, в которой вводятся числа є и С, построенные по событиям то и mi и аналогичные числам из Леммы 2.1.3 с учетом требования, чтобы после интегрирование кривые были времениподобными. Основным результатом параграфа является следующее утверждение.
Теорема 4.2.3. Пусть mo и ті соединены в О прямой а(т) такой, что а(0) = то, а(Т) = ті, которая лежит внутри светового конуса пространства ТтоМ. Пусть т$ и т\ лежат в шаре V С ТтМ таком, что для любого т Є V выполняется неравенство ||С?д|| < /е +%2, где є и С введены в лемме 4-2.1. Тогда на М существует време-ниподобная геодезическая то (г) связности Леви-Чивита лоренцевой метрики такая, что то(0) = то и то(Т) = mi.
В третьем параграфе рассматривается случай, когда в качестве связности на ТтоМ выбрана риманова связность некоторой (положительно определенной) римановой метрики. Эта задача мотиви-
руется естественным обобщением идеи, приводящей к евклидовым моделям в квантовой теории поля. Доказываются Леммы 4.3.1 и 4.3.3, являющиеся аналогами Леммы 2.1.3 для времениподобных кривых. В этих леммах описываются числа є и С для рассматриваемого случая. Теорема 4.3.4. Пусть то и т\ в системе отсчета не сопряжены вдоль геодезической ^(т) связности системы отсчета такой, что 7(0) = то, 7СО = ті и лектор jfl{t)\t=Q лежит внутри светового конуса пространства ТтоМ. Пусть также эти точки лежат в шаре V С О, в котором для любого т Є V выполняется неравенство \\@т\\ < <є+с)2> г^е ^Ля е > выполнены утвероісдепия лемм 4-3.1 и 4-3.3 и С > 0 - число из леммы 4-3.1. Тогда па М существует време-ниподобпая геодезическая то(т) связности Леви-Чивита лоренцевой метрики такая, что то(0) = то и то(Т) = mi.
Элементы теории гладких многообразий
В этом параграфе, следуя [13,46,47], мы приводим основные определения и факты из геометрии многообразий, используемые в дальнейшем. Пусть М- гладкое многообразие размерности п. Касательное расслоение к М будем обозначать ТМ, через 7г: ТМ -» М будем обозначать естественную проекцию, а через ТтМ - касательное пространство в точке m Є М. Второе касательное расслоение обозначается ТТМ. В некоторой карте Ua с локальными координатами (q1,. ..,qn) базисом в ТтМ, т (zUa является набор векторов ( -,..., Дг). Он порождает естественный базис (Д,..., Д ) в касательном пространстве ТхТтМ к пространству Тт для любых тЄ М, X єТтМ.
Определение 1.2.1 Будем говорить, что на многообразииМ зада-па псевдориманова метрика, если в каждом касательном пространстве ТтМ, т Є М, задана симметрическая невырожденная билинейная форма, т.е. билинейное отображение дт : ТтМ х ТтМ - Н,которая гладко зависит от точки т. Многообразие, на котором фиксирована псевдориманова метрика, называется псевдоримановым многообразием. Определение 1.2.2 Если форма дт положительно определена, то говорят, что на М задана риманова метрика д. Многообразие с заданной на нём римановой метрикой называется римановым многообразием. Определение 1.2.3 Линейная оболочка векторов L{w ""W)к х) = У(щХ) с Tw называется вертикальным подпространством. Обозначим линейную оболочку векторов ТЕ {тп,ХУ L{w -i){m x) = H" Теорема 1.2.4 У(тд)- не зависит от выбора системы координат. Н[тХ) зависит от выбора системы координат. Определим оператор р, следующим образом: д__д_ Pdq " dqv р : ТхТтМ - ТтМ Определение 1.2.5 Говорят, что па многообразии М задана связность Н, если в каждом касательном пространстве Т(щх)ТМ выбрано подпространство Н такое, что: 1) Н(т,Х) Ф V(m,X) = T(m,x)TM; 2) Я(тд)- гладко зависит от точки (т,Х) Є ТМ; 3) набор подпространств Н инвариантен относительно действия R на ТМ. Пусть в Т Х)ТМ задан вектор Y. Определение 1.2.6 Оператор к : ТТМ - ТМ такой, что k(Y) = ропрнУ, где прнУ- проекция Y параллельно Н па V, называется отобраоїсением связности или коннектором. Определение 1.2.7 Ковариаптной производной VxY векторного поля Y по направлению векторного поля X называется векторное поле VxY заданное формулой VxY = к о TY(X). Определение 1.2.8 Ковариаптной производной векторного поля X(t) вдоль кривой m(t) называется отобраоюение X(t) = ko X(t). Определение 1.2.9 Тензор, определяемый формулой, T(X,Y) = VXY-VYX-[X,Y], где [;]- скобка Ли векторных полей, называется тензором кручения. Лемма 1.2.10 (Основная лемма римановой геометрии). На любом римаповом многообразии существует единственная риманова связность тензор кручения которой во всех точках т Є М равен 0. Определение 1.2.11 Связность, существование которой утверждается в основной лемме римановой геометрии, называется связностью Леви-Чивита метрики (, ). 1.3 Геометрическая механика с линейными связями. В этом параграфе будет описан современный геометрический подход к механике со связями, восходящий к работам A.M. Вершика и Л.Д. Фаддеева [48, 49]. В нашем изложении мы следуем [13]. Пусть дана механическаю система на конфигурационном пространстве М. Определение 1.3.1 Линейной связью наложенной на систему называется гладкое распределение b на М. Далее линейная связь будет называться просто связью. Определение 1.3.2 Векторы, касательные к М и лежащие в распределении Ъ, называются допустимыми. Кривые, касательные векторы к которым во всех точках лежат в распределении Ъ, также называются допустимыми.
Условие, налагаемое связью b на систему, состоит в том, что траектории системы должны быть допустимыми кривыми. Определение 1.3.3 Если распределение b неинволютивно (т.е. неиитегрируемо), то связь называется неголопомной. Обозначим через Q : ТМ - b оператор ортогонального (относительно римановой метрики на М) проектирования слоев ТМ на их подпространства Ь, т.е. Qm : ТтМ - Ът для каждого га Є М. Введем усеченную ковариантную производную V на допустимых векторных полях формулой VxY = QVxY, где V- производная связности Леви-Чивита; обозначим через jt = Qjt усеченную ковариантиую производную по времени вдоль кривой. Определение 1.3.4 Допустимую кривую m(t) па М удовлетворяющую уравнению -m(t) = О, будем называетъ "прямейшей "неголономиой геодезической. Определение 1.3.5 Допустимую кривую т(і) на М, являющуюся экстремалью функционала действия Ao(m{t))= / {m(t),m(t))dt Jo среди допустимых кривых с закрепленными концами, будем называть "кратчайшей "неголономной геодезической. Теорема 1.3.6 На полном римановом многообразии М усечённая связность Н полна в том смысле, что все " прямейшие" неголоном-пые геодезические определены на всей числовой прямой. Определение 1.3.7 Точку т\ 6 ехр будем называть несопряженной с то вдоль прямейшей 7х(0 г е ІхіХ) = ті если дифференциал rfexp o в точке X Є /Зто имеет максимальный ранг. 1.4 Элементы общей теории относительности. В этом параграфе, следуя [13], мы излагаем основные геометрические конструкции, используемые в общей теории относительности, необхо димые для материала главы 4 ниже. Подробное изложение имеется в классических монографиях [50, 51].
В каждом касательном пространстве ТтМ скалярное произведение выделяет три части: 1) времениподобные векторы X є ТтМ4, для которых X2 = (Х,Х) 0; 2) изотропные (или светоподобные) векторы X Є ТтМА для которых Х2 = (Х,Х) = 0; 3) пространственноподобные векторы X Є ТтМА для которых X2 = (Х,Х) 0. Также говорят, что векторы (1) лежат внутри светового конуса, векторы (2) лежат на световом конусе, векторы (3) лежат вне светового конуса. Векторы (1) и (2) вместе образуют замкнутый световой конус. В каждом ТтМ4 замкнутый световой конус без нулевого вектора распадается на две компоненты связности, которым присваиваются названия будущего и прошлого.
Годограф скорости
В этом параграфе,описывается модификация конструкции из [13], позволяющая с помощью рассмотренного выше оператора S построить интегральные уравнения, эквивалентные закону Ньютона геометрической механики. Интегральный вариант закона Ньютона и, в частности, уравнение годографа скорости оказываются полезными для изучения некоторых качественных вопросов поведения механических систем, существования специальных траекторий и т.д. Пусть7(t), t Є І = [О,Т] С R, -СЯ-кривая наМиї-непрерывное векторное поле поле вдоль нее. обозначим через ГЛ"(7()) непрерывную кривую в касательном пространстве Г7(о)М, полученную параллельным переносом векторов Х(7()) вдоль 7(#) в точку 7(0). Определение 2.2.1 Будем говорить, что па многообразии М задано силовое поле a(t,v,X), если в каждом т Є М задан вектор a.(t,m,X) Є ТтМ, зависящий от параметров t Є I и X Є ТтМ. Пусть на М задана риманова связность с ковариантной производной jt и силовое поле a(t, т, X). Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка m( ) = a(f,m(t),m(i)). (2.1)
Уравнение (2.1) интерпретируется как уравнение движения механической системы (второй закон Ньютона) с силовым полем а, у которой кинетическая энергия задана римановой метрикой , поэтому решения (2.1) мы будем называть траекториями механической системы. Полнота римановой метрики означает, что система при движении по инерции не уходит в бесконечность за конечное время. Обычно из физических соображений предполагается, что на М задана связность Леви-Чивита. Мы рассматриваем более общий случай произвольной римановой связности, нужный для некоторых задач в дальнейшем. Всюду ниже предполагается, что риманова метрика полна.
Доказательство. Непрерывность оператора В следует из непрерывной зависимости Cv от v (см. лемму 2.1.4), непрерывности оператора S : С(1,ТтоМ) - С1{1,М) (см. 2.1), непрерывности силового поля и того факта, что параллельный перенос непрерывно в С1-топологии зависит от кривой. Так как параллельный перенос сохраняет норму векторов, по построению оператора S получаем, что для всех кривых v Є Uk выполняется неравенство 11 ( ( )+ )11 kti+C, где С из леммы 2.1.4. Тогда по Замечанию 2.1.2 все кривые из SUk лежат в некотором компакте в М и по построению оператора S (поскольку параллельный перенос в римановой связности сохраняет нормы векторов) их производные ограничены по норме числом Ы\ + С, то есть кривые (S(v(t)+Cv), jfi{S(v(t)+Cv)), v Є Uk, лежат в компактном множестве в ТМ. Следовательно, в силу непрерывности а, нормы векторов a(t, m, га) на этих кривых ограничены, и поскольку параллельный перенос сохраняет нормы, кривые Ta(s, S(v(s) + Cv), ftS(v(s) + Cv)), v Є Uk, равномерно ограничены. Отсюда следует компактность множества B{Uk). Ш
В работах Ю.Е. Гликлиха [15, 16] показано, что если а равномерно ограничено или имеет подлинейный рост по скоростям, то при достаточно малых i вполне непрерывный оператор В переводит шар Uk в себя и, следовательно, по принципу Шаудера имеет в этом шаре неподвижную точку. Если а имеет квадратичный рост по скоростям, то в общем случае это не верно.
По построению 6\\и(т) + Cu2 5(Kt\ + Ctj"1)2 = К". Так как параллельный перенос не меняет нормы вектора, для кривой v(t) — Bu(t) при любом t Є [0,і] выполняется \\v(t)\\ Kt Kt\. Следовательно, вполне непрерывный оператор В переводит в себя шар UKU- И Примером применения теоремы 2.2.5 является классическая задача о возможности соединить две заданные точки многообразия геодезической некоторой связности (см., [47]). Для связности Леви-Чивита полного риманова многообразия её разрешимость следует из теоремы Хопфа-Ринова (см., [46, 47]). Однако уже для римановой связности с ненулевым кручением это не так: в [27] предъявлен пример римановой связности на двумерном торе, для которой не все пары точек соеденимы геодезической. Задача о существовании геодезической соединяющей две заданные точки на многообразии сводится к решению дифференциального уравнения второго порядка следующего вида : -m{t) = a{m(t),m(t)), (2-6) силовое поле а(т, X) имеет квадратичный рост по скоростям. Введём норму квадратичного оператора а(т, X) следующей формулой: \\а(т, -) = sup а(т,Л"), при X принадлежащем ТтМ. По 11 11=1 пятно, что для любого X выполняется оценка: a(m,X)Ua(m,.)X2. (2.7)
Теорема 2.2.8 Пусть а(т,Х) из уравнения (2.6) непрерывно по совокупности переменных, \\а(т, -) равномерно ограничено некоторым числом а 0, то не сопряжено с т\ вдоль хотя бы одной геодезической связности Леви-Чивита и для соответствующих этим точкам числам С и є из леммы 2.1.3 и числа а выполняется оценка я ie+с)2 Тогда существует решение m(t) уравнения (2.6), такое что т(0) = то и m(l) = ті. Доказательство. Из теоремы 2.2.5 следует, что при сделанных предположениях оператор В переводит Щ в себя и, следовательно имеет неподвижную точку v Є Щ. Тогда S(v (t) + Cv ) - по построению искомое решение (2.6).
Дифференциальные включения второго порядка с менее, чем квадратичным ростом по скоростям
Определение 3.2.1 Мы будем говорить, что многозначное силовое поле F(t,m,X) удовлетворяет верхним условиям Каратеодори, если выполнены следующие два условия: l)F(-,m,X измеримо для фиксированных (т,Х) Є ТМ, 2)F{t, -, ) : ТМ - ТМ полунепрерывно сверху по (тп, X) Є ТМ при фиксированном t /. Пусть М - полное риманово многообразие. Рассмотрим дифференциальное включение (3.1) правая часть которого удовлетворяет условию (3.2), имеет выпуклые ограниченные образы, а так же удовлетворяет верхним условиям Каратеодори. Для исследования глобального поведения решений включения (3.1) мы используем оператор интегрального типа, построенный в [43]. Пусть / = [0,/]. Будем рассматривать вдоль СЯ-кривой (t) = Sv(t), v(-) Є C(I,TmoM), многозначное векторное поле F(,7(),7M)- Перенесем все множества F(t,i{t),i(t)) вдоль {-) параллельно в точку mo = 7(0)- Получим при фиксированном v многозначное отображение YFSv из отрезка / в ТтоМ с выпуклыми образами. Аналогично [21] покажем, что отображение TFS : С0 (I, ТтоМ) х / ТтоМ (3.4) удовлетворяет верхним условиям Каратеодори. Лемма 3.2.2 Многозначное отобраоїсение (3.4) удовлетворяет верхним условиям Каратеодори. Доказательство. Первое условие- измеримость по t при фиксированном v(-) - следует из того факта, что композиция измеримого F и непрерывных 5 и Г отображений есть измеримое отображение. Теперь докажем полунепрерывность сверху по и(-) при фиксированном t. Поскольку F{t,m,X) полунепрерывно сверху по (т,Х), то суперпозиция F(t,S(v(t)), S(v(t))) полунепрерывна сверху по v, так как оператор S : С(1,ТтоМ) - С1(1,М) - гомеоморфизм. Теперь искомое утверждение следует из того, что оператор Г параллельного переноса непрерывно зависит от С -кривой Sv(-). Ш Теорема 3.2.5 Пусть многозначное силовое поле F(t, т, X) удовлетворяет верхнему условию Каратеодори, имеет выпуклые замкнутые ограниченные образы и растет менее чем квадратично по скоростям на [О, I] х в, где [О, /] - некоторый промеоісуток, а в - компакт из Замечания 2.1.2, точки ті и то не сопряжены вдоль некоторой геодезической связности Леви- Чивита. Тогда при достаточно малом ti О существует решение m(t) дифференциального включения (3.1) такое, что т(0) = UIQ и m(ti) = ті. Доказательство. Рассмотрим компакт в, и промежуток [0, /]. При данных точках то и т\ определены числа є и С. Рассмотрим положительное число 5 /+С\2 Из условия (3.2) нетрудно вывести, что существует число Q 0 такое, что при Х Q будет выполняться неравенство max \\F(t,m,Y)\\ 5\\Х\\2 (3.5) для У Х. При достаточно малых ti О выполняются следующие условия: ti Є [О, /] и t e—tp Q, где у - число из 2.2.9. Обозначим через К число ї[1є — ср с указанными свойствами. Рассмотрим на шаре UK Є С([0, t\], ТтоМ) оператор Z. Из условия (3.5) и Леммы 2.2.9 следует, что: \\F(t,S(v(t)+Cv),jtS(v(t)+Cv))\\ б є-у+СГі1)2 (tr2- rV). Так как параллельный перенос не меняет нормы векторов, из последнего неравенства следует, что VYFS{V{T) + Cv) і {t11e- p). C([0,h],TmoM) Это означает, что оператор Z переводит в себя шар UK, И ИЗ Леммы 4 по принципу Шаудера для полунепрерывных сверху многозначных отображений с выпуклыми образами (см., например, [44]) следует, что он имеет неподвижную точку и , лежащую в этом шаре. Тогда m(t) = S(u +Cu )(i) является решением дифференциального включения, для которого m(0) = то и m(t\) = т\М
Рассмотрим теперь случай когда правая часть полунепрерывна снизу. Так как для всех v кривые из VTF(t, S(v(t)), tS(v(t))) интегрируемы, то многозначное отображение VTF(t, S(v{t)),jtS{v{t))) действует из CQ{I,TmoM) в L1((I,A,/i),TmoM), где Л - борелевская сг-алгебра и fi - нормализованная мера Лебега.
Поскольку поле F удовлетворяет условию (3.2) и параллельный перенос сохраняет норму вектора то для всех v кривые принадлежащие VTF(t, S(v(t)), jjS(v(t))) будут ограничены на отрезке /, т.е интегрируемы. Таким образом, отображение переводящее v Є С0 (I, ТтоМ) в VTF(t,S(v(t)), S(v(t))) будет являться многозначным отображением из С(/, ТтоМ) в ((/, Л, //), ТтоМ), Л- борелевская а- алгебра и \i- нормализованная мера Лебега.
В данном параграфе мы будут рассматриваться дифференциальные включения вида (3.1), такие что F(t, m, X) удовлетворяет условию 3.3. Вначале будем рассматривать случай когда правая часть удовлетворяет верхнему условию Каратеодори. Теорема 3.3.1 Пусть F(t,m,X) удовлетворяет верхнему условию Каратеодори, имеет замкнутые, выпуклые, ограниченные образы и квадратично растёт по по скоростям на [О, /] х Q, где [О, /] - некоторый промежуток, а 0 - компакт из Замечания 2.1.2. Пусть точки то и ті не сопряэюены вдоль некоторой геодезической g связности Леви-Чивита. Также, пусть при t Є [0,1] и т Є 9, для функции a(t,m) из определения 3.1.4 найдётся число 5, такое что выполняется следующее неравенство: a(t,m) 6 tJC\2 Тогда существует положительное число L(rriQ,mi,g), тпакое что если О t\, L(rriQ,mi,g), то существует решение m(t) включения (3.1), такое что, т(О) = то и m(t\) = ті.
Случай системы отсчета с плоской связностью
В этом параграфе будет исследована система отсчета в событии m Є М, в которой многообразие - касательное пространство ТтМ с выделенным ортонормироваппым репером, а в качестве связности выбрана плоская связность пространства Минковского.
В этом случае удобно рассматривать О как область в линейном пространстве, на которой задана лоренцева метрика (перенесенная с М) и задан тензор G, описанный в первом параграфе данной главы. Удобно также использовать систему обозначений, принятую при исследовании задач в линейных пространствах. Тогда, в частности, для m Є О касательное пространство ТШМ может быть посредством сдвига отождествлено с ТтМ. При этом в заданный в каждом ТШМ световой конус, порожденный лоренцевым метрическим тензором в данной точке, удобно считать приложенным в нуле пространства ТтМ.
Геодезические в ТтМ относительно плоской связности пространства Минковского являются прямыми линиями. Поэтому в данной системе отсчета изучаемый вопрос приобретает следующую форму: соединимы ли события то и т\ на М времениподобной геодезической, если они соединимы прямой а(т): а(0) = то, а(Т) = тп\ в О, которая лежит внутри светового конуса пространства ТтоМ1 Здесь г - некоторый параметр, в качестве которого может выступать, например, собственное время на М или натуральный параметр в системе отсчета. Отметим, что в данном случае принадлежность прямой а{т) световому конусу в ТтоМ эквивалентна тому факту, что вектор производной d(0) = jpCL(r)т=о лежит внутри этого же светового конуса, как требуется в задаче.
Поскольку ковариантная производная плоской связности в данном случае совпадает с обычной производной, уравнение 4.1 принимает вид —m(T) = Gm{rh,m), (4.2) где Gm(-, ) - введенный выше тензор, описывающий в данной системе отсчета гравитационное поле, и основная задача сводится к двухточеч ной краевой задаче в системе отсчета для 4.2. Так как правая часть 4.2 имеет квадратичный рост по скоростям, для некоторых пар точек двухточечная краевая задача может не иметь решений. Напомним, что на касательном пространстве ТтМ к лоренцеву многообразию М имеется естественная структура пространства Минков-ского, в котором скалярное произведение задано метрическим тензором на М в событии т. Введем в системе отсчета евклидово скалярное произведение, обратив в формуле скалярного произведения пространства Минковского знак отрицательного квадрата времениподоб-ного вектора выделенного базиса в системе отсчета. Ниже в этом параграфе все нормы и расстояния определяются относительной этого евклидова скалярного произведения.
С помощью линейной замены времени зададим на а(-) параметр s таким образом, что для полученной прямой a(s) выполняется й(0) = то и й(1) = ті. Рассмотрим банахово пространство С([0,1],ТтМ) непрерывных кривых в ТтМ с равномерной нормой. Лемма 4.2.1 Существует достаточно малое число є 0, такое, что для любой кривой v(s) из шара U С С([0,1],ТтМ) радиуса є с центром в нуле существует вектор С$ Є ТтМ из ограниченной окрестности вектора й(0) = a(s) s=0, такой что вектор Сц лежит внутри светового конуса пространства ТтоМ, а кривая то + Jo{v{t) + Cv)dt при s = 1 попадает в точку ті. При этом вектор ( непрерывно зависит от () и \\Су\\ С для любой кривой v Є Ue при некотором С 0. Лемма 4.2.1 доказывается непосредственными выкладками из которых сразу следует существование Cv такого, что mo+/0 (v(t)+Cv)dt = ті, а также непрерывная зависимость Cv от v. Далее, по соображениям непрерывности из того, что вектор 5(0) лежит внутри светового конуса пространства ТтоМ, следует, что при достаточно малом по норме возмущении #() вектор Cv также лежит внутри того же светового конуса. В качестве С выберем число, ограничивающее сверху нормы векторов Су из указанной ограниченной окрестности вектора Ts a(S)\s=0 Отметим, что число С оценивает евклидово расстояние между то и ті. Вернемся к параметризации прямой а(-) параметром т. Рассмотрим банахово пространство С([0,Т],ТтМ) непрерывных кривых в ТтМ с равномерной нормой. Лемма 4.2.2 Пусть число к 0 таково, что Т 1е к, где є из леммы 4-2.1. Тогда для любой кривой v(t) из шара радиуса k: Uk С С([0,Т],ТтМ) с центром в нуле существует вектор Cv Є ТтМ из ограниченной окрестности вектора а(0) = а(г),Т=0; такой что вектор Cv лежит внутри светового конуса пространства ТтоМ, а кривая то + JQT(v(t) + Cv)dt при т = Т попадает в точку ті. При этом вектор Cv непрерывно зависит от и(-).
Доказательство. Заменив на а{т) время, построим прямую a(s) = a(Ts), которая обладает свойством а(0) = то и а(1) = ті, как в лемме 4.2.1. Для любой кривой v(-) Є Uk С С([0,Т],ТтМ) построим кривую v(s) = Tv(Ts), которая лежит в Ue С С([0, l],TmM), т.е. для нее выполняется лемма 4.2.1, в частности, для нее существует вектор С$ с Су С из леммы 4.2.1. С помощью непосредственных выкладок легко показать, что mo + /0 (v(s) + Cy)ds = то /0 (v(t) + Cv)dt = ті, где Cv = Т 1СЪ. Ш Отметим, что по построению СГ Т_1С для v Є Uk Для введенного выше тензора G определим \\Gm\\ стандартной фор мулой \\Gm\\ = sup (7т(Х, Х). Непосредственно из этого ХГтМ,Х 1 определения следует, что для любого X Є TmM выполняется оценка \\Gm(X,X)\\ \\Gm\\\\Xf. (4.3) Теорема 4.2.3 Пусть TUQ и ті соединены в О прямой а(т) такой, что а(0) = то, а(Т) = mi, которая леоісит внутри светового конуса пространства ТтоМ. Пусть т0 и ті лежат в шаре V С ТтМ таком, что для любого тбУ выполняется неравенство \\Gm\\ ІЄ1СУІ , где є и С введены в лемме 4-2.1. Тогда на М существует време-ииподобная геодезическая то(т) связности Леви-Чивита лоренцевой метрики такая, что то(0) = то и то(Т) = mi.
Доказательство. Рассмотрим шар UK С С([0,Т],ТтМ) радиуса К = Т-1є — (р с центром в нуле, где ср - число из Леммы 2.2.9. Так как К Т_1є, для этого шара верно утверждение леммы 4.2.2 и на нем корректно определено действие следующего вполне непрерывного оператора: Bv= І Ст+?М№)М ) + С»А ) + С )М. /о Покажем, что этот оператор имеет неподвижную точку в шаре UK-Так как для кривой v Є UK ее С-норма не превосходит К = Т 1є — ір и по лемме 4.2.2 CW Т_1С, то из условия теоремы, формулы 4.3 и по леммам 2.2.9, 4.2.1 и 4.2.2 получаем, что: И Н М Нам» ««О + с»)- (»( ) + с»)) II 110,,,+ ., )411(( 1 - Р) + cr f (Т-2є - T"V). Из последнего неравенства получаем: II Г G j JHt) + С,), (»( ) + СУ)Л (Т- - у,), «/о Это означает, что оператор В переводит шар UK В себя и, следовательно, по принципу Шаудера, имеет неподвижную точку vo(t) в этом шаре. Тогда легко видеть, что тпо(т) = тпо + {vQ{t)-\-CVo)dt является решением дифференциального уравнения (2) таким, что mo(0) = то и то(Т) = тп\. При этом по построению то(т) является геодезической связности Леви-Чивита лоренцевой метрики на М. Из равенства Bvo = VQ И ИЗ определения В следует, что г?о(0) = 0, и таким образом, что mo(r)r=o = CVo, где вектор Сщ по лемме 4.2.2 принадлежит световому конусу пространства ТтоМ, т.е. его скалярный квадрат относительно лоренцевой метрики отрицателен. В этом параграфе мы исследуем вариант системы отсчета по А. Полто-раку в событии т Є М, в котором многообразие - по-прежнему ТтМ с выделенным ортонормированным репером, но в качестве связности выбрана риманова связность некоторой (положительно определенной) римановой метрики на ТтМ. Равенство нулю кручения этой связности не предполагается. Здесь мы будем использовать язык, принятый в теории многообразий, что в данном случае более удобно.
В данном случае, вопрос о существовании искомой геодезической для связности Леви-Чивита на М сводится к решению двухточечной краевой задачи для уравнения 4.1 в системе отсчета.
Важным отличием этого выбора связности в ТтМ от случая предыдущего параграфа является возможное существование сопряженных точек. Имеются примеры (см. [43, 13]), показывающие, что если две точки сопряжены вдоль всех геодезических, их соединяющих, то двухточечная краевая задача для (4.1) может не иметь ни одного решения. Кроме того, как отмечено в предыдущем параграфе, из-за того, что правая часть (4.1) имеет квадратичный рост по скоростям, двухточечная краевая задача для некоторых пар точек также может не иметь решений. Мы заранее предполагаем, что в системе отсчета точки соединены геодезической, вдоль которой они не сопряжены, и находим геометрические условия, при выполнении которых задача разрешима.
