Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Траекторный анализ 23
1.1 Инвариантные многообразия 25
1.2 Окрестность стационарной точки 25
1.2.1 Устойчивое многообразие в окрестности гиперболической точки 32
1.2.2 Неустойчивое многообразие в окрестности гиперболической точки 35
1.2.3 Устойчивое многообразие в окрестности седло-вой точки 41
1.2.4 Неустойчивое многообразие в окрестности сед-ловой точки 48
1.3 Окрестность нестационарной точки 54
1.3.1 Устойчивое многообразие 56
1.3.2 Неустойчивое многообразие 71
Глава 2 Глобальный анализ 82
2.1 Аттрактор 83
2.1.1 Полугруппы АК-класса 85
2.2 Устойчивость 92
2.2.1 Полунепрерывность сверху 94
2.2.2 Критерий полной непрерывности 96
2.2.3 Полунепрерывность аттрактора для модифицированных уравнений Навье-Стокса 102
2.2.4 Время притяжения 112
Глава 3 Численные алгоритмы 119
3.1 Проектирование на устойчивое многообразие 120
3.1.1 Классификация методов для неподвижной точки 121
3.1.2 Общий случай допустимых смещений 137
3.1.3 Методы проектирования для нестационарной точки 143
3.1.4 Реализация для неподвижной точки 145
3.1.5 Реализация для нестационарной точки 149
3.2 Проектирование на неустойчивое многообразие 154
3.2.1 Методы для неподвижной точки 154
3.2.2 Методы для нестационарной точки 158
3.2.3 Практическая реализация 160
3.3 Аппроксимация глобального аттрактора 161
Глава 4 Результаты расчетов 165
4.1 Устойчивое многообразие. Неподвижная точка 167
4.2 Нестационарная точка 189
4.3 Неустойчивое многообразие. Неподвижная точка 208
4.4 Аппроксимация аттрактора 213
Заключение 215
Библиографический список
- Устойчивое многообразие в окрестности гиперболической точки
- Полунепрерывность сверху
- Общий случай допустимых смещений
- Неустойчивое многообразие. Неподвижная точка
Введение к работе
Глобальное численное исследование нелинейного нестационарного процесса (полудинамической системы) предполагает изучение эволюции системы с конкретными начальными условиями (и близкими к ним), а также описание качественного поведения системы для некоторого достаточно широкого множества начальных условий. Эффективное решение данных задач имеет важное теоретическое и прикладное значение, так как позволяет не только анализировать и предсказывать динамику конкретной траектории, но и управлять динамикой, а также моделировать качественные глобальные изменения в случае возмущения оператора эволюции. Работа направлена на разработку теоретических и прикладных методов решения данных задач.
Изучение системы с известным оператором эволюции 5(i, ) для конкретных начальных данных ао заключается в построении траектории at = S(t,ao) требуемой длины t [0,Т]. Будем считать, что рассматриваемый процесс точно определяется оператором 5(i, ), т.е. найденное значение at точно соответствует состоянию системы в момент времени t В этом случае появляется возможность не только предсказывать эволюцию системы для имеющегося начального условия ао, но и пытаться за счет некоторого изменения ао обеспечить
требуемую динамику. Формально это означает, что для оператора 5, действующего в пространстве Н и задающего некоторый эволюционный процесс, требуется построить по заданным начальным условиям ао и zq такую поправку I С Я, что траектория S(t, clq-\-1) сближается с траекторией S(t, zq) при 0 < t < Т. По сути постановка задачи означает, что эволюционный процесс с начальным условием Zq предпочтительнее, чем с имеющимся условием ао. Мы хотим изменить ао и обеспечить требуемую динамику. Конечномерное подпространство С задает вид допустимых смещений при изменении начальной точки ао- Если (zq — ао) Є , то можно выбрать и — ао +1 ~ zq. В этом случае S(t,u) — S(t,zo) ~ 0. Будем считать, что {zq — ао) . С. Наличие подпространства допустимых смещений С означает, что изменять начальные данные разрешается только в определенных пределах. Например, если ао является функцией, определенной в области Г2, то подпространство С может состоять из финитных функций, отличных от нуля в некоторой подобласти ГУ С ГУ В этом случае исходные данные ао будут изменяться только в ГУ. Если же (zq — ао) Є С, но норма (zQ — ao) недопустимо велика, то, возможно, существенно меньшими по норме изменениями I можно достичь требуемой сходимости траекторий за счет внутренней устойчивости оператора задачи. Дело в том, что обычно неустойчивость оператора S сосредоточена на некотором конечномерном подпространстве пространства Н. Поэтому в имеющейся погрешности {zq — ао) достаточно исключить только неустойчивую составляющую. Убывание погрешности в устойчивом подпространстве обеспечивается разрешающим оператором S задачи. В некотором смысле, мы хотим достичь требуемого сближения траекторий, выбрав подходящие начальные данные с учетом внутренней структуры близких траекторий. Отметим, что метод асимптотической стабилизации по краевым условиям для нестационарных уравнений математической физики требует решения подобного рода задач. К такого рода задачам также относится инженерная про-
б лема скорейшего вывода системы на требуемый режим (например, предварительный прогрев точного прибора), а также удержание механической системы в окрестности точки условно устойчивого равновесия. Конечномерность подпространства С не означает конечности числа его элементов, поэтому значение I даже теоретически невозможно найти полным перебором.
В работе (см. [55]-[58]) решение задачи строится на основе известных результатов теории устойчивых и неустойчивых многообразий, разработанных для динамических систем гиперболического типа. Если траектория 5(i,zo) является гиперболической (т.е. близкие к S(t,Zo) траектории качественно ведут себя как в окрестности седловой точки), то S(t, Zq) и S(t, ао) Для почти всех <2о локально расходятся. Однако, согласно обобщенной теореме Адамара-Перрона [1, 79, 88], при выполнении условий частичной гиперболичности в окрестности Ozo существует так называемое локальное устойчивое многообразие W~(zo,f), задаваемое некоторой функцией /. Траектория каждой точки устойчивого многообразия сближается с траекторией точки zq при всех t > 0. Поэтому решение рассматриваемой задачи можно сформулировать как приближенное проектирование на многообразие VV~(^o>/)- Точность проектирования будет определять гарантированное время [0,Т] сближения траекторий. При этом для точек многообразия W~{zq,J) значение Т может быть выбрано сколь угодно большим.
Теорема Адамара-Перрона также утверждает, что в окрестности 0ZQ существует локальное неустойчивое многообразие W+ (zq , д). Все точки и из окрестности Oz?i притягиваются под действием оператора S(t,u) к 5(i, W+(2o,.g)). Таким образом данное множество определяет качественную картину динамики на больших временах для близких к S(t, zQ) траекторий. Более того, в терминах неустойчивых многообразий удается определить глобальный аттрактор М. нолуди-намической системы {S(t, -),Н}. Множество М. равномерно притя-
гивает с течением времени все траектории с начальными данными из произвольного ограниченного подмножества Ва С Я.
Устойчивые и неустойчивые многообразия называют [68] "усами Адамара". Множества W^ локально определяют [79, 1, 64, 85] качественную картину динамики, то есть поведение траекторий вида {S(t,u)} для t > 0 пока 5(,и) С 0Zt) %t = S(t,zo). Много-образие W~ (^0)/) играет существенную роль в теории устойчивости Ляпунова [79], общей теории динамических систем [1], задачах асимптотической стабилизации неустойчивого [98] решения, в том числе для уравнений математической физики. Так как устойчивое многообразие составляют те точки и окрестности 02QJ для которых S(t,u) С 0Zt при всех t > О, то процесс стабилизации по своей сути заключается в некотором проектировании начальных данных на
В терминах многообразия W~ (0, /') и "правильности по Ляпунову' [79] решается, например, вопрос об условной устойчивости тривиального решения x(i) = 0 системы дифференциальных уравнений
—- — A{t)x-\-F{t,x), где ж, F - векторы, a A[t) - матрица, равномерно ограниченная и равномерно непрерывная. Отметим также, что многообразие W" играет существенную роль в классической теории У-систем [1] и различных к ней дополнениях [86, 87, 88].
В терминах многообразия W+ строятся так называемые [68] глобально устойчивые аппроксимации - позволяющие получать обоснованные численные результаты при расчетах на формально бесконечном интервале времени. Сходимость в этом случае понимается в смысле близости аттракторов дифференциальной Л4 и разностной Мь, задач. Напомним, что глобальный аттрактор по сути представляет собой (см. [61]-[76], [3]-[6], [95]) некоторое предельное множество решений, реализуемых в системе при і —> со с начальными данными из достаточно большого шара Ва. В рамках такого подхода основное
внимание уделяется изучению структуры глобального аттрактора задачи, в том числе (см. [3|) его аппроксимации (см. [36], [37, 38, 39]) с требуемой точностью. Известно [4], что глобальный аттрактор представляет собой неустойчивое многообразие для окрестности Ва. Поэтому возможность нахождения с известной точностью точек W+ позволяет решить задачу аппроксимации нетривиальных траекторий глобального аттрактора с требуемой точностью. Это имеет важное практическое значение для обоснования (см. [45, 46, 50]) численных расчетов сильно неустойчивых нестационарных задач на больших интервалах времени. Например, при численном моделировании [14]-[18] климатической изменчивости.
Теория локальных устойчивых и неустойчивых многообразий для систем гиперболического типа активно развивается с 1960-х годов и на данный момент считается построенной. Имеется цикл работ отечественных и зарубежных авторов, где получены законченные результаты о существовании многообразий, выяснены их свойства, описана общая картина динамики отдельных траекторий. Основы данной теории в конечномерных пространствах были заложены в работах A.M. Ляпунова, А. Пуанкаре, Г. Дарбу, Ж. Адамара, О. Перрона (см. 4 и библиографию в [1]). Ключевое место принадлежит работам Д.В. Аносова [1]. Несколько позже соответствующие результаты были получены для банаховых пространств. Так в работах Юдовича обоснован (см. [104]) принцип линеаризации для уравнений Навье-Стокса. Отметим работу [64] О.А. Ладыженской и В.А. Солонникова, где соответствующая задача была решена для уравнений магнитной гидродинамики (предложенная в [64] техника активно применялась в данной работе.)
Далее, в цикле работ Я.Б. Песина (см. [85]-[89]) результаты теории гиперболических систем были обобщены на частично неравномерно гиперболические системы (случай нестационарной траектории нами исследовался (см. [55]-[58]) на основе результатов Я.Б. Песина).
В данной работе получено обобщение соответствующих результатов теории устойчивых и неустойчивых многообразий на траектории седлового типа. В окрестности седловой траектории локальное поведение качественно напоминает динамику гиперболической системы, но формально траектория не является ни гиперболической, ни частично гиперболической. Показано, что условие гиперболичности можно ослабить. Для существования W^ достаточно, чтобы в окрестности стационарной точки (траектории) исходное пространство разлагалось в прямую сумму двух подпространств таких, что на одном подпространстве оператор задачи является слабо растягивающим, а на другом не растягивающим. При этом соответствующие условия проверяются для точек специального вида.
Отметим, что вопрос об устойчивости движений в негиперболическом случае рассматривался в диссертации и последующих работах A.M. Ляпунова [79], где были, в том числе, предложены методы решения данной задачи для некоторых систем подобного типа. Однако, применяемая техника функционально-аналитических рядов в этом случае требует исключительно кропотливого исследования. Дальнейшие исследования, проводимые различными авторами [94, 28, 36, 97, 5, 26], значительно расширили круг решенных задач, в том числе о существовании W^ для уравнений в частных производных. Нетривиальные результаты получены в работах А.И. Рей-зинь, С. Coleman, СЮ. Пилюгина, И.Н. Костина (см. [92, 20, 91, 40]). Однако, рассматриваемые схемы доказательства существенно опирались либо на особенности конкретной задачи, либо на одномерность негиперболического подпространства разрешающего оператора.
В данной работе предложен общий метод исследования в окрестности седловой траектории. При этом сформулированные условия позволяют рассматривать задачи, для которых строго гиперболические подпространства отсутствуют, а главные члены оператора динамической системы имеют, например, следующий вид S±(to,u) =
»
P±[u ± Cjtu + + ...) Соответствующие результаты получены на основе известного метода сжимающих (экспоненциально) отображений, и его обобщении на случай слабо сжимающих (полиномиально) отображений. Отметим, что полиномиальный закон сжатия является известным, однако возможность его применения для решения данной задачи не является очевидной. Существование многообразий в седловом случае заложено в определении, поэтому проблема состояла в конструктивном описании соответствующего типа отображений. Полученные результаты асимптотически неулучшаемы, однако проверка требуемых условий для конкретных задач может оказаться отдельной проблемой.
Теоретические результаты о существовании локального устойчивого и неустойчивого многообразий в окрестности 0Zo изолированной неподвижной иегиперболической точки zo, а также в окрестности траектории седлового типа изложены в первом разделе работы. Предварительно приводятся известные результаты для гиперболической точки. На основе изложенных методов в третьем разделе строятся численные алгоритмы,
Теоретические результаты и практические алгоритмы для неустойчивого многообразия VV+ не являются переформулировкой соответствующих теорем, полученных для многообразия W~, хотя известно, что при формальном обращении времени устойчивое и неустойчивое многообразие меняются местами. Данный прием неприменим в случае полудинамических систем, т.к. оператор S не имеет обратного, а также для седловых систем. Отметим, что эффективность численных алгоритмов также существенно зависит от реализации, так как практическое обращение оператора 5 может оказаться исключительно трудоемкой, либо некорректной вычислительной задачей. Полученные результаты для локально неустойчивых многообразий применяются во втором разделе, а также при построении численных алгоритмов.
Если основная задача первого раздела по сути сводится к исследованию устойчивости отдельной траектории, то во втором разделе рассматривается вопрос об устойчивости предельного (по времени) множества всех траекторий. Дело в том, что при решении практических задач исходный оператор S(і,-) и начальные данные а$ заменяются на приближенные x(t, ) и а$. Параметр А отвечает за точность приближения. Более того, обычно приходится рассматривать и новое приближенное пространство состояний Н\. В результате моделируемая а^ = S\ (t, clq) и истинная at = S(t} do) траектории начинают с течением времени расходиться. При этом стандартная оценка локальной скорости расхождения имеет экспоненциальный вид: |lat~at II — Сле^1 а > 0, а коэффициент С\ стремится к нулю при повышении точности аппроксимаций оператора и начальных данных. Это приводит к тому, что точность моделирования \\at— а\\ < є можно гарантировать на некотором конечном отрезке времени [0,Т(є)].
Для многих реальных процессов суммарная погрешность модели, аппроксимации начальных данных, форсинга имеет практически неустранимый характер. В итоге время моделирования Т(є) с гарантированной точностью оказывается много меньше интересующего. Это верно, например, при моделировании неустойчивых течений жидкости, газа, в общей теории климата. Однако, для подобных задач наибольший интерес представляет не поведение конкретной траектории, а некоторое типичное состояние, которое может наблюдаться в системе. Строгое определение типичности зависит от задачи. В связи с этим возникает проблема описания всех возможных предельных состояний Л4, которые реализуются в системе при больших временах. Отметим, что данная постановка разумна только для систем с компактным множеством М.. Для задач математической физики, описывающих различные физические процессы и действующих в некомпактных пространствах, существование М. и, тем более, его компактность неочевидны,
За последние три десятилетия в теории динамических систем и дифференциальных уравнений были получены многочисленные факты, показывающие, что многие физические (химические, биологические, социальные) процессы являются диссипативными - все множество возможных событий (начальных данных) с течением кремени сжимается к множеству реализуемых событий, которое составляет крохотную часть всего пространства событий. При этом предельное множество реализуемых событий компактно и, как следствие, может быть аппроксимировано с любой требуемой точностью конечным числом элементов. Такое предельное множество получило название глобальный аттрактор. Также стоит отметить цикл монографий И. Пригожина, где строится концепция физического понятия "стрелы времени". В данной теории показывается, что каждый нестационарный физический процесс эволюционирует к некоторому множеству предельных состояний.
К концу 40-х годов в основном была построена общая теория предельных множеств для полудинамических систем (ПДС) в локально компактных пространствах. Суть данной теории заключается в изучении минимальных множеств, притягивающих с течением времени ту или иную часть фазового пространства задачи. Первые результаты для ПДС, действующих в нелокально компактных пространствах, были получены в работах Дж. Хейла и его коллег [24, 25] при исследовании обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Приблизительно в это же время О.А. Ладыженская (см. [63]) для двумерных уравнений Навье -Стокса построила множество М, равномерно притягивающее произвольное ограниченное подмножество В исходного пространства Я. Была доказана минимальность данного множества среди всех, обладающих этим свойством, строгая инвариантность относительно разрешающего оператора задачи. Среди всех строго инвариантных подмножеств пространства множество М. является максимальным. Само Лі ком-
иактно и связно. На нем исходная полугруппа S(t, ) продолжается до непрерывной группы. Каждая полная траектория из М определяется ее ортопроекцией на некоторое фиксированное конечномерное подпространство. Построенное множество было названо минимальным глобальным Б-аттрактором ПДС. В настоящий момент Ат обычно называют [95] глобальным аттрактором.
Значение работы [63} стало понятно, когда в рамках предложенного подхода удалось исследовать класс компактных (/С-класс) полудинамических систем и обобщить его па асимптотически компактные (.Д/С-класс) задачи. По рассмотренной схеме подробно исследованы уравнения Навье-Стокса, полулинейные параболические уравнения, уравнение Шредингера, волновое уравнение. При этом выяснилось, что ,4/С-класс охватывает, в некотором смысле, все задачи с компактным глобальным аттрактором. Теория аттракторов эволюционных уравнений (теория глобальной устойчивости) формировалась в работах А.В. Бабина, М.И. Вишика [4], О.А. Ладыженской [68],[72], Р. Темама [95], Дж. Хейла [26] и других исследователей. Полученные к настоящему моменту результаты охватывают весьма широкий класс задач математической физики. Несколько иной подход [5] к решению данной задачи позволяет также построить общую теорию для уравнений с неединственными решениями и правой частью, зависящей от времени.
Таким образом, с течением времени остаются только точки глобального аттрактора (и близкие к ним). Так как динамика на аттракторе в общем случае продолжает оставаться сильно хаотичной, и мы не можем достаточно долго отслеживать отдельную траекторию движения, то естественно ограничиться изучением общего поведения динамической системы на аттракторе. В рамках данного подхода ири моделировании нестационарных процессов выделяются несколько отдельных задач.
Существование АЛ позволяет сформулировать условие близости
исходной и возмущенной задач на бесконечном интервале времени в терминах близости аттракторов соответствующих задач. Если при малых возмущениях аттрактор М\ приближенной задачи находится в малой окрестности Л4, то множество М. полунепрерывно сверху зависит от параметра А. Такого рода аппроксимации О.А. Ладыженская предложила называть [68] глобально устойчивыми. В данном случае приближенная траектория всегда будет оставаться в некоторой малой окрестности предельного множества М. При этом, возможно, не существует точной траектории которая близка к моделируемой при всех t > 0. При этом считается, что разрешающий оператор возмущенной задачи аппроксимирует исходный оператор в стандартном смысле.
Проблема сходимости М\ к М исследовалась, начиная с работ [35, 3, 68], многими авторами. Были получены условия, при выполнении которых аттрактор исходной задачи полунепрерывно сверху зависит от возмущающего параметра в разрешающем операторе задачи. То есть аттракторы М.\ семейства задач, аппроксимирующих данную, содержатся в ^-окрестности исходного аттрактора М.. Основные результаты подытожены в монографии [4]. Позднее вопрос о близости аттракторов двух полудинамических систем при условии близости в некотором смысле их разрешающих операторов рассматривался в работах [71, 27, 8, 33, 36, 96, 97,105], При достаточно общих предположениях для асимптотически компактных полугрупп доказана полунспрерывиость сверху (глобальная устойчивость). Полная непрерывность доказана [4, 36] для полугрупп, аттракторы которых компактны и представляют собой объединение неустойчивых многообразий конечного числа гиперболических стационарных точек полупотоков. При этом необходимо, чтобы полудинамическая система принадлежала указанному классу равномерно по параметру. В работе [71] проведен детальный анализ некоторых конечно-разностных аппроксимаций для полулинейных параболических уравнений. В ра-
ботах [73, 74, 75] аналогичные результаты получены для двумерных уравнений Навье-Стокса. Следует отметить, что в [75] были найдены новые априорные оценки, и дан принципиально новый метод их вывода. Дело в том, что существование компактного Л4 (Лчд) обусловлено двумя свойствами задачи: наличием ограниченного поглощающего множества в фазовом пространстве Н и компактностью в Н разрешающих операторов задачи S{t, ) при t > 0. Первое свойство без особого труда выводится из уравнения баланса энергии, второе же обычно получают из некоторого интегрального соотношения с помощью неравенства Солонникова-Каттабрига, которое справедливо для областей с достаточно гладкой границей, например дО, С С2. В работах [73, 74] для уравнений Навье-Стокса свойство компактности разрешающего оператора получено для ограниченных областей flcii2c негладкой границей. Основное достоинство такого подхода состоит в том, что он непосредственно переносится не только на аппроксимации типа Ротэ и Фаэдо-Галсркина [73], использующие в качестве базисных функций собственные функции оператора Сток-са и представляющие интерес с теоретической точки зрения, но и на метод конечных элементов и на большинство конечно-разностных схем. Аналогичные оценки [49] имеют место также и для модифицированных уравнений Навье-Стокса в смысле Ладыженской для трехмерного случая. Таким образом, в общем случае вопрос о полу-непрерывности глобального аттрактора сверху подробно исследован.
Более сложной оказывается проблема описания всей динамики на аттракторе. Данная задача соответствует построению аппроксимаций, для которых имеет место полная непрерывность (непрерывность сверху и снизу) аттрактора М. по параметру аппроксимации, и нахождению е-сети для множества М. Отметим, что в общем случае данные задачи не эквивалентны.
Свойство компактности глобального аттрактора позволяет аппроксимировать его конечной >сетыо с любой интересующей точ-
ностью. Имеется по крайней мере два подхода к построению такой аппроксимации. Первый подход [38] основан на свойстве равномерного притяжения к аттрактору поглощающего множества Ва, т.е. на формуле М ~ f]t>o[S(t,Ba)]Hi второй — на возможности продолжить [97] на М исходную ПДС до непрерывной группы, т.е, на
формуле М = IV"1"(Ва).
Первая проблема, возникающая при этом, отмечалась еще в работе [63], где на простейшем примере было показано, что аттрактор конечного подмножества, исходного пространства может существенно отличаться от глобального аттрактора задачи. Это означает, что полная непрерывность не достаточна для построения е-аппроксимации аттрактора. Далее, в большинстве случаев мы вынуждены заменять исходный оператор 5(, ) задачи на приближенный. Это приводит к тому, что в лучшем случае удается аппроксимировать аттрактор М\ возмущенной задачи.
В работе [38] И.Н. Костина предлагалось аппроксимировать исходный аттрактор специально построенными множествами, сходящимися к исходному аттрактору в хаусдорфовой метрике. Однако в рамках предложенного подхода неясно как именно оценивать скорость сходимости и, следовательно, получаемую точность аппроксимации. В данной работе показано, что полная непрерывность аттрактора и задача построения є-аппроксимации, в некотором смысле [47] , равносильны нахождению функции Ф() скорости притяжения к аттрактору. Это позволяет описать класс возмущении, для которых имеет место полная непрерывность аттрактора исходных ПДС, предложить конструктивный алгоритм аппроксимации аттрактора с произвольной точностью и оценить (в терминах Ф()) его сходимость.
Существование Ф() следует из определения глобального аттрактора [68]. В терминах функции Ф() естественно формулируются [68, 4, 14, 8] и доказываются базовые утверждения общей теории гло-
бальных аттракторов. Особое внимание развитию данного вопроса уделял в своих работах А.Н. Филатов [14].
Априорные оценки для Ф() удается построить [4, 40] на основе общей теории неустойчивых многообразий W+ только для задач с хорошей функцией Ляпунова и конечным числом негиперболических точек. Отметим, что конструктивные оценки для Ф() и случай существенно негиперболических отображений рассматриваются впервые. При этом результаты о полной непрерывности аттрактора для такого типа задач в случае гиперболических точек, а также для задачи Чафе-Инфанта с одномерным негиперболическим подпространством, хорошо известны.
Однако, хорошая функция Ляпунова известна только для отдельного класса задач (хотя, формально, Ф() можно считать хорошей функцией Ляпунова), поэтому представляет интерес конструктивный алгоритм определения скорости притяжения к аттрактору. В работе (см. J54J) для двумерных уравнений Навъс-Стокса, задача о каверне, рассматривается вопрос о численном нахождении оценки для функции Ф(). В рассмотренном диапазоне параметров, как показывают результаты численных экспериментов, разрешающий оператор задачи является сжимающим. В этом случае несложно доказать, что аттрактор представляет собой единственную неподвижную точку в пространстве решений, соответствующую стационарному решению, которая притягивает равномерно любое ограниченное подмножество начальных данных. Скорость притяжения к аттрактору определяется параметром сжатия отдельных траекторий.
В общем случае в окрестности точек аттрактора существуют как устойчивые так и неустойчивые слои. Это приводит к тому, что близкие траектории с течением времени начинают расходиться. В этом случае асимптотическая скорость притяжения малой окрестности вдоль произвольной траектории аттрактора определяется скоростью притяжения к неустойчивому слою, построенному вдоль рассматри-
ваемой траектории, т.е. глобальными показателями Ляпунова. Определяющее значение сходимости глобальных показателей Ляпунова по параметру дискретизации для глобальной устойчивости задач математической физики подчеркивалось в работах В.П. Дымникова, А. С. Грипуна [15, 16]. Сходимость глобальных показателей Ляпунова в общем случае является необходимым условием глобальной устойчивости полудинамических систем,
Общая теория глобальной устойчивости полудинамических систем в локально некомпактных пространствах является одним из основных методов обоснования результатов численного моделирования нестационарных неустойчивых диссипативных процессов. Изложенная в цикле работ [90] точка зрения на физическую основу реальных динамических процессов позволяет надеяться на универсальность теории глобальных аттракторов и теории глобальной устойчивости.
Третий раздел содержит численные алгоритмы аппроксимации локальных инвариантных многообразий, а также метод аппроксимации глобального аттрактора и его нетривиальных траекторий. Наличие формальных теорем существования многообразий W не обеспечивает решепие задачи построения искомых множеств. Основное внимание в работе уделено разработке прикладных алгоритмов аппроксимации многообразий. При этом рассмотренные в работе методы, в том числе, могут применяться для конструктивного доказательства существования многообразий W в окрестности траектории гиперболического типа.
Отметим, что теоремы существования многообразий обычно доказываются именно конструктивным образом. Так в методе функционально - аналитических рядов формулируется правило построения коэффициентов ряда, задающего искомое многообразие; в методе сжимающих отображений - выписывается итерационный процесс в пространстве функций, сходящийся к искомому многообра-
зию. Структура доказательства состовляет основу численных алгоритмов.
При численном решении задачи построения многообразий наибольшее развитие получил метод функционально-аналитических рядов, а также его некоторое обобщение [23]. Однако, реализация данных подходов для задач высокой размерности и, как следствие, для банаховых пространств затруднительна.
В данной работе за основу выбран метод сжимающих отображений. Показано, что многие известные методы решения данной задачи, в том числе и метод рядов, можно сформулировать как различные модификации итерационного процесса решения функционального уравнения, задающего многообразие. В рамках данного подхода удалось не только теоретически сравнить эффективность имеющихся алгоритмов, но также предложить новые методы решения рассмотренной задачи. Отметим, что наиболее универсальный и эффективный численный алгоритм построен на основе предложенного метода доказательства существования многообразий в седловом случае. Соответствующие алгоритмы могут быть реализованы в общем виде, в том числе [84] на слабо связанных вычислительных комплексах.
Если в случае неподвижной точки zq = (,2) имеются [21, 81, 23] прикладные алгоритмы аппроксимации многообразий, то для траекторий данная задача рассматривается и решается, видимо, впервые, Дело в том, что соответствующий переход не является формальным техническим обобщением, хотя имеется [88] аккуратное конструктивное доказательство существования устойчивого многообразия методом рядов. Дело в том, что, как известно [1, 79, 88], устойчивое многообразие зависит от свойств оператора S вдоль всей полутраектории (,[]), > 0. Это затрудняет применение имеющихся теоретических результатов о существовании устойчивого многообразия при практических расчетах. Отметим, однако, что рассматрива-
емый в данной работе подход для решения задачи проектирования в окрестности траектории весьма идейно близок к известному методу преобразования графика, изложенному, например, в работе [2].
Формулировка задачи проектирования на устойчивое многообразие вдоль подпространства Д а также теоретическое обоснование ее корректности имеется в работах А.В. Фурсикова [98], [99]. Численное решение соответствующей задачи для нестационарных уравнений математической физики методом "нулевого приближения" (а также численное решение задачи асимптотической стабилизации по краевым условиям) подробно исследовано и изложено в работах Е.В. Чижонкова [101, 102, 103].
Численные алгоритмы аппроксимации устойчивых многообразий рассматривались в работах Гукенхемера и Владимирского [23]. Однако, применение данных результатов для пространств высокой размерности и, в том числе, для уравнений математической физики, весьма проблематично. Также, видимо, остается открытым вопрос о строгом обосновании сходимости соответствующих алгоритмов.
В работе предлагается итерационный метод построения искомой проекции и = ао + І-, обосновывается сходимость, проверяется эффективность для системы Лоренца, одно- и двумерного уравнения Чафе-Инфанта, одного уравнения и системы двух уравнений типа Бюргерса в одно- и двумерном случае, системы уравнений типа Навье-Стокса в двумерном случае. Широкий спектр рассматриваемых задач показал эффективность предложенных алгоритмов, а также позволил оценить область применимости разработанного подхода.
Отдельно рассматривается задача численного проектирования на неустойчивое миогообразие. Предложенные алгоритмы позволяют построить искомую проекцию в том числе для уравнений в частных производных, что позволяет аппроксимировать с гарантированной точностью нетривиальные траектории глобального аттрактора
»
уравнений типа Навье-Стокса, Бюргерса, Чафе-Инфанта. Численные расчеты по аппроксимации глобального аттрактора (либо его части) для задач большой размерности на данный момент практически отсутствуют. Отметим цикл работ В.П. Дымникова, А.С. Гри-цуна, Е.В. Казанцева (см. [15]-[18]) по аппроксимации аттракторов различных климатических моделей.
В работе далее также рассматривается метод полной аппроксимации глобального аттрактора, основанный на функции Ф(і) скорости притяжения к аттрактору. В общем случае данный подход требует решения очень большого числа нестационарных задач на единичном интервале времени с различными начальными данными и, как следствие, требует очень больших вычислительных ресурсов. Однако стоит отметить возможность его эффективной реализации на слабо связанных вычислительных комплексах, так как каждая из отдельных траекторий может вычисляться полностью автономно, а возможность обмена информацией требуется только в момент формировапия начальных данных и в конечный момент построения аттрактора. Данный метод применялся (без строгого обоснования) для аппроксимации аттрактора уравнений Навье-Стокса в задаче о каверне, для уравнения Чафе-Инфанта, системы Лоренца.
Выделим главный результат диссертационной работы.
Предложен и строго обоснован метод глобального численного исследования динамики нестационарной системы с конкретными начальными условиями (и близкими к ним), а также метод изучения качественного поведения системы для некоторого достаточно широкого множества начальных условий.
Основу разработанного метода составляют следующие результаты:
построение и математическое обоснование эффективных численных алгоритмов проектирования на устойчивые и неустойчивые многообразия в окрестности точки и траектории седлового типа для широкого класса задач, численное решение задачи асимптотической стабилизации по начальным данным и аппроксимации нетривиальных траекторий глобального аттрактора для нестационарных уравнений математической физики;
обобщение теоремы Адамара-Перрона на случай существенно негиперболической точки и траектории, получение асимптотически неулуч-шаемых условий существования локальных устойчивых и неустойчивых многообразий, методика построения доказательства;
сведение проблемы непрерывности глобального аттрактора и его аппроксимации к исследованию функции времени притяжения к аттрактору, критерий полной непрерывности аттрактора.
Получению результатов способствовало личное общение с большим количеством научных исследователей. Я искренне признателен каждому. Особо хочется поблагодарить Евгения Владимировича Чи-жонкова и Андрея Владимировича Фурсикова. Я глубоко благодарен
Ольге Александровне Ладыженской за ее замечательные научные труды,
руководителям семинара "Динамические процессы и системы" Дмитрию Викторовичу Аносову и Анатолию Михайловичу Стенину за научное общение,
Валентину Павловичу Дымникову за конструктивное отношение к работе.
Я глубоко благодарен Николаю Сергеевичу Бахвалову за его удивительные человеческие качества.
Устойчивое многообразие в окрестности гиперболической точки
При доказательстве теоремы Адамара-Перрона нам удобно отдельно рассмотреть вопрос об устойчивом многообразии, и отдельно вопрос о неустойчивом многообразии. Приведем доказательство основных результатов о существовании устойчивого многообразия в окрестности О в гиперболическом случае (см. [64], также [1]). Далее нас интересует обобщение метода доказательства на негиперболический случай и применение для построения и обоснования численных алгоритмов.
Запишем оператор S(u) — Lu + R(u) для и — v + w, v є P+O, w Є P-O, в виде S(u) - S+(u) + S-{u), где S±(u) - P±S(u). При этом S-{v + w) = L-w + R-.{v + w)\R±{-) = P±R(-). [ Выберем 0 r oo, 0 7 со и определим окрестность О {и = v + W : \\w\\ r, \\v\\ 7т}.
Рассмотрим класс В1{0) всех непрерывных отображений f(w) : p_Q _ Р+0, удовлетворяющих условиям: /(0) = 0, Лші)-/МІ 7К-ш2. Теорема 1.4. Пусть отображение 5(-) е О удовлетворяет условиям (а) с некоторыми 5+,5- 0. Пусть 0 г со, 0 7 такие, что +1 Ы- + W- + +)(1 + т)) 7. ;L(i + 70- + +) і, Д_ - д_ + 0_(7 + 1) 1, где $± = 6±(т{\ + 7))-Тогда 1. В окрестности О = {и — v + w : \\w\\ г, ]f 7 } существует многообразие W , задаваемое функцией f(w) из Б7(0). #. Многообразие локально инвариантно, т.е. для любого т Є W и всех і 0 w,Mee,M Sl(m) С VV . 5. Для любого т Є VV и всех г О гшеел 5г(т) Д!_(1 + 7)P-m, Sl{m)cO.
Доказательство. Рассматриваемый метод доказательства изложен, например, в работе [64]. Запишем уравнение, определяющее многообразие W" v = f{w), weP-O. Отображение f(w) будем искать в классе В (0), определенном выше. Условие инвариантности многообразия УХ имеет вид: S+(f(w) + w) = f(S-(f(w) + v )). Отсюда, с учетом обозначений (1.3), следует: /М = Kl(f(S-(f(w) + w)) - R+(f(w) + w)) = {f,w) . (1.4)
Данное соотношение рассмотрим как уравнение, определяющее преобразование /. Покажем, что оператор Т в условиях теоремы является сжимающим и, следовательно, имеет неподвижную точку / Є B f(0). Для этого покажем, что Т отображает множество В {0) в себя, и выполняется условие сжатия. ВоЗЬМеМ ДВЄ ПрОИЗВОЛЬНЫе ТОЧКИ W\. VJ z- С уЧеТОМ /( Ші) — /( Ш2) 7І і — W21, будем иметь \\Hf V l)-?(f,V 2)\\ Ці;1 (f(S-(f(wi) + Wl)) - f(S-(f(w2) + w2))) 11+ WL-1 (R+ifM + wi) - R+UM + w2j)II 1(KJ\\s4f{wl)i-wl)-s-{f(w2)+w2)\\ + h y)\\wl w2\\"j (j{fi- + 0-(1 + 7)) +0+(1+ 7)) IK - HI В данных неравенствах 6± — в±(т(1 + 7))- Потребуем, чтобы - + (7 + +)(1+7)) 7 Это можно получить за счет уменьшения значения #+, т.е. за счет выбора величины г для окрестности О. В итоге будем иметь неравенства \\F(f v i)-Hf v 2)\\ l\\v i-w2l (1.5) Я/ )ІІ 7ІИ, которые означают, что при выполнении условий теоремы оператор Т отображает множество В1(0) в себя.
Отсюда следует, что "(/і) - "(/з)! q\fi /2I если М+Ч1 + 7#- + 0+) Я. Поэтому в условиях теоремы можно решить уравнение (1.4) методом последовательных приближений. В качестве начального приближения / разумно выбрать / = 0, т. к. многообразие касается подпространства Р_(0). Отметим, что касание следует из возможности устремить 7 к нулю за счет выбора малой окрестности О. Далее, из оценки 5_(/(ш) + «ОН Д-ИІ, Д- = (м- + 6-((1 + 7W(1 +7) следует неравенство \\Sl(f(w)+w)\\ tj,U\wl Отсюда, с учетом S diw) + w) = Р_[5 (/(ш) + w)] + /(P_[5 (/W + ш)]), имеем S (/(w) + їй) Є О и ]5 (/(ш) + w)\\ (1 + 7)Д-И1- Теорема доказана, Замечание. Отметим, что если в условиях теоремы Д_ 1, то 5г(т) — 0 с экспоненциальной скоростью при і — со.
Неустойчивое многообразие в окрестности гиперболической точки Докажем основные результаты о существовании неустойчивого многообразия в окрестности О в гиперболическом случае. Выберем 0 г со, 0 7 со, определим О = {и = v -\-w \ jfj г, u ] 7Г}; и рассмотрим класс Л7 (О) всех непрерывных отображений g(v) ; Р+0 —5- Р_(9, удовлетворяющих условиям: (0)-0, Mv1) g(v2)\\ 1\\v1-v2\\. В случае u=t) E/(V) будем обозначать оператор S±(w) следующим образом: 5±(г + g(v)) — S±.g(v).
Полунепрерывность сверху
Теорема 2.10. Предположим, что (г) Для каждой сходящейся те Ао последовательности А& Є Л, fc т о замыкание в Н объединения по всем k 1,2,.,. аттракторов М.\к компактно, (й) если Xk — Ао, Uk Є М\к и Uk — Щ} то при некотором і О имеет место S\ (uk) —» Slx (щ). Тогда для любой окрестности 0(Л4\0) аттрактора Л4\0 можно указать такое 6, что А4д с О(Ачд0) пРи всех А є Л; отстоящих от До не более чем на 5, т.е. р(Х,Хо) 5. Данная теорема является полезной при практическом рассмотрении вопроса о полунепрерывности глобального аттрактора сверху при возмущении разрешающих операторов для различных задач. Однако, утверждение теоремы ие позволяет оцепить близость аттракторов М\ и .МАО т-е. размер окрестности О(М\0) в зависимости от величины 5. В общем случае полная непрерывность глобального аттрактора по параметру возмущения отсутствует. Очевидным примером является полудинамическая система, порождаемая уравнением у {i) = —Xy(t), X — +0, уф) Є Н = [0,1]. Глобальный аттрактор MQ при А — 0 совпадает со всем множеством Ва, но М\ = {0} при А 0. Следующая топологическая [59] теорема показывает, что полупе-прерывность сверху на некотором множестве Л влечет полную непрерывность на на некотором подмножестве Л С Л. Пусть А - топологическое пространство, К - компактное метрическое пространство. Пусть Adiambda компактное подмножество К при всех X и M-iambda полунепрерывио сверху в каждой точке Л. Тогда М.\ полно непрерывно на некотором оста-точнопом множестве А С Л. Напомним, что Л называется остаточным, если Л содержит пересечение открытых плотных множеств в Л. Прямым следствием данной теоремы является следующее утверждение. Пусть выполнены условия теоремы 2.10. Тогда в произвольно малой окрестности 0\й = {X : Ао — А є} точки Ао найдется такое А і 0\а; что lim distя(Mл,Л/(Al) - О, т.е. в точке Х\ аттрактор Мх1 непрерывно зависит от параметра Л. Рассмотрим вопрос о полной непрерывности глобального аттрактора. Отметим также, что для прикладных исследований важной является задача об оценке близости глобальных аттракторов исходной и возмущенной ПДС как в случае полунепрерывной зависимости аттрактора от параметра возмущения, так и при наличии полной непрерывности.
Теорема 2.13. Пусть выполнены условия (а). Тогда 1. Если У є 0 35 0 такое, что существует точка Т\0 9(Ло,,а) в которой выполняется соотношение \\SIX {h) -50 (А) є \fh Є Bat VA Є Од(Ао), тогда аттрактор семейства ПДС полунепрерывен сверху по параметру Л в точке Ло; и имеет место оценка dist(A1A,MA0) 2. 2, Если \?є 0 35 0 такое, что для любого А є 0{\Q) су ществует точка Т\ — Т(Х) 0(Л,е,,-Ва), в которой выполняется соотношение \\Slx{h) S (h)\\ e V/гЄЗ», тогда аттрактор ПДС непрерывно зависит от параметра Л в точке XQ, и имеет место оценка Ш,Н{М\0,М\) = m&x{dist(M\D,M\),dist(Mx M\0)} 2є. Замечание 1. Для полугрупп, аттракторы которых компактны, первое утверждение теоремы имеет место (см. теорему 2.10, а также [4], [36]) формально при более слабом условии, а именно, достаточно потребовать сходимость операторов в некоторой точке Тд0 0. Однако, в этом случае невозможно оценить скорость сходимости М\ — М\0. Отметим также, что что из условия сходимости в некоторой точке Т\0 0 следует сходимость в сколь угодно далекий конечный момент Т T\Q .
Замечание 2. Отметим, что в условии 2 теоремы не требуется равномерная ограниченность последовательности Т\.
Теорема 2.14. Пусть выполнены условия (а). Пусть последовательность операторов S\(-) асимптотически слабо сходится в точке Ло на множестве Ва. Тогда аттрактор Лід непрерывно зависит от А в точке Ао тогда и только тогда, когда функция &(Х,є,Ва) равномерно ограничена по А для каждого фиксированного є 0: Vs 0 34 0 : sup Є(А, є, Ва) Т оо. АєО5е(А0) Доказательство. Достаточность. Непрерывная зависимость аттрактора в точке Ло означает следующее: Ve 03 0: distH{MXo,M\) s VA Є О5(А0). Возьмем произвольный є 0. По условию теоремы найдется такая окрестность 0$! (Ао), ЧТО 9(А,є/2,Ба) Тє/2 для произвольного Аі Є Osi_ (Ао). По определению это означает, что dist(S i1(Ba)) fA1) є/2, Vt Тф. (2.1)
Так как для семейства операторов S (-) выполняется условие асимптотической слабой сходимости, следовательно найдется такое Ь 5i, что для произвольных Лі, Аг Є Од2 (Ао) в некоторой точке Тє/2 Т /2 имеем \\sff{h)-sil (h)\\ /2t УИеВа. Отсюда и из условия (2.1) следует неравенство dist(sl;/2(Ba),MXl) e. гт \ И так как М\2 С SxE/2(Ba), следовательно distiMx MxJ В силу произвольности Лі и Л2 имеем йЫ{МХо,М\) , dist(A A,jWx0) e, что даст искомую оценку &іїн{МХо,Мх) є УАє0д3(Ао). Необходимость. Пусть аттрактор непрерывно зависит от параметра А в точке AQ. Возьмем произвольный е. Найдем значение ТЕ//3 — 9(Ло,е/3,5а), т.е., но определению, имеем Тє/3 оо и S{0{Ba)cOE/3(Mx0), Ш Тф. (2.2) Так как аттрактор непрерывен в точке AQ, следовательно по значению є/З найдется такое 5 0, что 6.Ы, (Л4х0,Л4\) є/З VA Є 0 s(Ao). В том числе это означает, что M,\Q С Оє/з[А4х)- Отсюда и из условия (2.2) имеем вложение S{jBa)c02/3{Mx), Vt Te/3, VAe %(A„). (2.3) Из условия асимптотической слабой сходимости операторов следует, что найдется 5i 5 такое, что при некотором конечном ТЕ/% ТЕ/% имеем \\S (h)-Sl /3(h)\\ e/ V/ieBe, \&Oel{XQ).
Отсюда и из включения (2.3) получаем Sxe/3 (Ва) С Оє (М\). Но это, с учетом вложения Sxs/3 (Ва) С Sxe/3 (Ва) при всех т 0 и строгой инвариантности аттрактора означает, что для произвольного А Є Os1 (Ао) верпа оценка 9(А, s, Ва) Те/з - Теорема доказана. П
Замечание. Таким образом, если в некоторой малой окрестности точки Ay время притяжения к аттрактору равномерно ограничено по А и операторы S\ асимптотически слабо сходятся к S,\Q при А —» Ао, то имеет место полная непрерывность аттрактора ПДС по параметру в точке Ао.
Данная теорема показывает, что для асимптотически сходящихся ПДС доказательство полной непрерывности аттрактора по параметру для широкого класса возмущений можно свести к проверки регулярности функции скорости притяжения к аттрактору. Отметим, что обычно исследование устойчивости глобального аттрактора [4, 27, 42] в неявном виде проводится по этой схеме,
Общий случай допустимых смещений
При рассмотрении проблемы [98] асимптотической стабилизации решений уравнений математической физики по краевым условиям возникает следующая задача; заданную на отрезке [ 1,] функцию а(х) начальных условий, требуется продолжить на более широкий отрезок [x ljTa] так, чтобы полученная функция и{х) принадлежала устойчивому многообразию (т.е. и(х) Є W-) расширенной задачи.
Это соответствует тому, что для заданного набора {ej} 0 линейно незвисимых на [х\.х?\ функций и выбранного продолжения а-o определяются коэффициенты СІ Є R так, чтобы и = а-Н, I — с , =1 и и W". При этом обычно Єі(х) = 0 для х Є {х\-.%2[ Рассмотрим решение данной задачи. Пусть задана некоторая начальная точка а О и подпространство С еі,..., е 0 . Нас интересует численный алгоритм построения последовательности ип С О таких, что ип — а 4- Y =i ci ei и элементы ип близки, в некотором смысле, к множеству W . Понятие близости можно определять различными способами. Если устойчивое многообразие представляет интерес как множество, тогда близость следует понимать в смысле расстояния в исходном пространстве Н. Для методов асимптотической стабилизации, многообразие W представляет интерес как глобально устойчивое множество. Под действием любой степени раз решающего оператора точки W- переходят в точки окрестности О. В этом случае близость ип и УУ естественно определить в терминах устойчивости ип.
Для точки и Є О назовем степенью стабилизации такое неотрицательное целое число к = к(и), что i5 +1(u) [ 9г(/и), і к, но \\Sk+l(u)\\ \\Sk{u)\\.
Из теоремы Адамара-Перроиа следует, что только для элементов т Є VV значение к(т) равно бесконечности. При этом Sl{m) С О для произвольного і 0 и Нт 5? (т) [ = 0. Для всех остальных то чек окрестности и величина к(и) конечна. Будем оценивать качество проектирования ип на множество W- в терминах к(ип) и величины Dn = \\Sk(un)\\.
Последовательность элементов ип при п 0,1,... назовем асимптотически стабилизирующей для точки а и подпространства С = еъ ) ei0 ) если ип а + Z Li СІ єі) и степень стабилизации удовлетворяет неравенству к(ип+і) к(ип) при всех п 0.
Для элементов стабилизирующей последовательности имеет место вложение Sn(un) С О при п = 0,1,.... Подпространство задает базис допустимых смещений при изменении начальной точки а. Если а Є С, тогда в качестве стабилизирующей последовательности можно выбрать ип = а — а = 0.
Далее считаем, что точка а, подпространство фиксированы, а элементы ип имеют требуемый вид. Поэтому в формулировках утверждений эти условия отдельно не оговариваются.
Теорема 3.5. Пусть последовательность ип С О сходится к устойчивому многообразию W . Тогда из нее мооїсно выбрать асимптотически стабилизирующую подпоследовательность. Если оісе асимптотически стабилизирующая последовательность ип имеет предельную точку й, тогда й Є W .
Доказательство. Докажем первую часть теоремы. Для произволь » ной сходящейся к W последовательности ип найдется такая последовательность тп Є W , что \\ип — тп\\ —» 0. При этом S4(mn) С О для произвольного і 0. Отсюда, с учетом непрерывности оператора 5, следует lim fc(un) —» оо. Это гарантирует существование подло-следовательности unj с требуемыми в определении свойствами. Докажем вторую часть утверждения. Пусть й W . По тео реме Адамара-Перрона найдется такое є 0 и такое і г(є,й), что 5г(й) Оє(0). Определим по е и і такое 0, что из оценки й — и 5 следует 57,(й) Sz{u)\\ є. Для элементов асимптоти чески стабилизирующей последовательности имеем Sn(un) С О при всех п 0. Отсюда и из сходимости ип к й следует, что найдется та кое Uj, что \\UJ - и\\ 8 и S (uj) Є С. Но тогда 5г(й) Sl(u3)\\ є, что дает вложение 5г (й) Є Оє (О). Полученное условие противоречит исходному предположению и V , что завершает доказательство Теорема доказана.
Данная теорема показывает, что понятие асимптотически стабилизирующей последовательности и сходимости к W близки. Формально, искомая последовательность может быть построена из условия сходимости ип к W . Решение соответствующей задачи будем строить на основе метода нелинейного уравнения, Определим множества W. следующего вида: W = {ueO: Sl(u) С О, і га, P+[5n(u)] = 0}, п 0.
Отметим, что Wo — Р-О. По определению, точки множества W остаются в окрестности О при всех г 0. Поэтому, согласно теореме Адамара-Перрона, можно формально положить УУ , = VV . Отметим также, что имеют место следующие вложения S(W , -J С W , п 0,1,..., и инвариантность S(W ) — W . С увеличением номера п повышается устойчивость точек IV в том смысле, что гарантированно Sl(W ) С О при г п
Неустойчивое многообразие. Неподвижная точка
Даже в случае линейного метода сжимающих отображений (т.е. без внутренних по к итераций), предложенный алгоритм нахождения un+i w-\-fn+\(w) имеет экспоненциальную сложность 0(2п) по номеру итерации. Действительно, на каждом шаге значение функции fn+i{iv) зависит не только от w и fn(w), но и от fn(SL(го + fn(w))) Это делает проблематичным его применение при больших п. Если применяется нелинейный метод сжимающих отображений, то NQ можно выбрать достаточно большим, и приемлемая точность может быть достигнута при п = 3..., 10. Однако становится затруднительным решение соответствующего нелинейного уравнения (3.14). "Оптимальным" обычно являлось такое NQ, что выбор п 5 обеспечивает требуемую точность проектирования.
При численных расчетах для ускорения сходимости также применялась следующая модификация метода. Будем по найденным в процессе вычислений элементам Wj + fm [WJ ) строить некоторую аппроксимацию /т(-) многообразий fm{ ) Для тп п. ЭТО позволит приближенно находить необходимые значения fm(-) по fm{-)
Пусть расстояние от fm{w) до W больше, чем вносимая погрешность аппроксимации и fm(iv) Є В7(0). Тогда скорость сходимости модифицированного алгоритма остается прежней, так как метод сходится для произвольного приближения fm(w) из класса В7(0).
Для решения задачи проектирования на устойчивое многообразие вдоль некоторого подпространства С удобно применять метод метод типа нелинейного уравнения, см. (3,5). Если же значение п, обеспечивающее требуемую точности проектирования велико, и решение соответствующего нелинейного уравнения затруднительно, то разумно применить комбинированный метод (3,11) нелинейного уравнения и нелинейный метод сжимающих отображений, представляющий собой набор задач (//) и задачи (If) для случая неподвижной точки.
Практический алгоритм вычисления I для решения задачи (3.9), (3.10) будем строить на основе уравнения (3.11) и сформулированных для задач (/ /), (If) итерационных процессов.
Для решения уравнения (3.11) требуется построить операторы проектирования Р± . Рассмотрим траекторию {зо; Z\,. .. , zn}, гДе Zi — S(z-i-i), і = 1,. ..,п. Отметим, что в некоторой окрестности Oz. каждой точки Zi можно построить линеаризацию S(zi + и) — S(ZJ) + L u + В}г (и). Проекторы PJ. определяются на основе оператора L — L,(n L L \ являющегося оператором линеаризации для S(-) вдоль траектории {ZQ, .,. ,zn}. При этом действие операторов проектирования удобно задавать некоторым набором базисных векторов в подпространствах Р Н, Р_ Н соответственно. Эффективные методы решения подобного рода задач построены в работах [11], [12], [13].
В данной работе соответствующие базисы строились следующим образом. Для оператора L найдем такие операторы проектирования Р±, что выполняются условия типа (а): Р+-ЬР_=/,!Р+1Ы1 -Н = 1; L(P+H) = Р+#, L(P-H) С Р-Н \\Lw\\ Д-И, VweP-H, /х_ 1, IM /i+H, \fveP+H, д+ м-,
Задача численного построения операторов Р± может быть сведена (см. [19]) к частичной проблеме на собственные значения. При этом собственные и присоединенные векторы, отвечающие собственным числам, по модулю большим иекоторого Д-1- (возможно, меньшего единицы) задают базис в подпространстве Р+И, а остальные — базис в подпространстве Р-Н. В дайной работе в случае пространства Н небольшой размерности искомые подпространства вычислялись методом Арнольди (методом Ланцоша если L — L ) с помощью подпрограмм пакета ARPACK. Если же исходное пространство имело высокую размерность, то применялся метод ортогональной итерации (метод итерирования подпространств, см. [19]), основанный на последовательном нахождении L u. Соответствующий алгоритм несложно реализуется, но обычно не применяется для вычислений с высокой точностью. Поэтому вопрос о его эффективности для задачи (3.9), (3.10) представляет интерес.
