Введение к работе
Актуальность темы. Ряд задач теоретической физики приводит к необходимости интегрирования линейного уравнения Шредингера с квадратичным гамильтонианом и коэффициентами, зависящими от времени. Например, такая необходимость возникает при рассмотрении задач квантовой теории лазера, фотостатики лазерного излучения, релаксации когерентного света в слабо поглощающих средах и других вопросах квантовой оптики; при изучении столкновений тяжелых'частиц: молекул, кластеров, ядер и т.п.
Поиски точных решений задачи Коим для нестационарного линейного уравнения Шредингера с квадратичным гамильтонианом через решение стационарного уравнения Шредингера и траектории соответствующей классической задачи представляет принципиальный интерес. Он связан с поисками способов аналитических продолжений фейнмановских представлений на случай комплексных траекторий и обусловлен необходимостью развития аналитических методов решения задач колебательного возбуждения молекул.
В 1969 году В.С.Поповым и A.M.Переломовым было получено точное решение задачи Коїш для уравнения Шредингера, описывающего одномерный осциллятор с переменной частотой под действием внешней силы, которое с помощью преобразований координат и Функций выражается через решения обыкновенных дифференциальных уравнений с краевыми и начальными условиями.
Г.В.дубровским в 1986 году впервые была поставлена аналогичная задача о многомерном осцилляторе переменной частоты в юле действия внешней силы с переменной функцией связи координат, подчиняющейся естественным граничным условиям. Потенциал тмеет вид:
V(*,=0 = vt)x - х C(-h)oc' (1)
Іетодом фейнмановских интегралов было найдено точное выражение ия S -матрицы через решение классической задачи о связанных юцилляторах с граничными условиями. Однако вопрос о нахождении юлновой функции и соответствующего преобразования координат и іешений, позволяющих свести задачу Коши для многомерного урав-
нения Шредингера к соответствующей задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений /ОДУ/, здесь не рассматривался.
Учитывая важность этого вопроса с точки зрения установления связи квантовой и классических механик в многомерных задачах, техники континуальных интегралов, многочисленных приложений, его решение представляет большой,интерес. Этот интерес вызван также тем, что широко применяемый для отыскания частных решений линейного дифференциального уравнения с частными производными метод разделения переменных самым тесным образом связан с групповыми свойствами дифференциальных уравнений.
Как известно, систематическое применение групп для исследования дифференциальных уравнений было начато и обосновано во второй половине прошлого века С.Ли и А.Бекяундом; в работах Л.В.Овсянникова, Н.Х.Ибрагимова и других исследователей теория непрерывных групп, получила полное развитие.
Определение инфинитезимальных групп линейного' уравнения Шредингера посвящены работы У.Нидерера и Бойера. Наиболее полное описание максимальных групп кинематической инвариантности /МВД/ линейного уравнения Шредингера с квадратичным гамильтонианом дано У.Нидерером в 1974 году. Однако теорема МКИ позволяет определить инфинитезимальное преобразование только для случаев определенной зависимости потенциала от времени и поэтому не может быть использована для решения поставленной задачи.
Переход от системы Е в систему Е , сохраняющий дифференциальную структуру и изменяющий потенциал, описывается преобразованием эквивалентности. Известные из работ Л.В.Овсянникове и В.Н.Шаповалова преобразования эквивалентности для нестационарного уравнения Шредингера не учитывают начальные условия и поэтому не позволяют решить поставленную задачу Коши.
Таким образом, возникают нетривиальные вопросы сводимості линейного уравнения с частными производными к наперед заданному виду и исследования линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, которые не исследованы систематически.
Все вышеизложенное обусловливает необходимость изучения решения задачи Коши для нестационарного уравнения Шредингера с групповой точки зрения.
Цель работы, заключается в построении аппарата для нахождения аналитического решения задачи Коши .для нестационарного уравнения Шредингера с квадратичным гамильтонианом, установления связи квантовой и классических механик, симметрийном описании класса линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго-порядка.
Методика исследования. В диссертации развит один из возможных подходов к вопросу о разделении переменных в уравнении Шредингера, решения которого должны удовлетворять поставленным начальным условиям, основанный на изучении групп Ли эквивалентности уравнения; исследования обыкновенных дифференциальных уравнений проводятся методами .дискретно-группового анализа.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми, В числе наиболее важных следует отметить:
-
Конструктивное доказательство теоремы о наиболее общей группе преобразований эквивалентности, сводящих задачу Коши для нестационарного уравнения Шредингера с квадратичным гамильтонианом к решению преобразованной задачи Коши для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами.
-
Построение метода точных решений квантовой задачи для к - попарно связанных осцилляторов через решения задач классической механики для свободных осцилляторов с переменной частотой без внешней силы и с внешней силой, минуя технику фейнмановского функционального интегрирования. Для одной пары связанных осцилляторов найден явный вид матрицы перехода, позволявшей "развязать" осцилляторы и выписать решение поставленной задачи через величины, относящиеся к классическому осциллятору.
-
Определение координат оператора симметрии нестационарного уравнения Шредингера через соответствующие координаты уравнения Шредингера для гармонических осцилляторов, свободной частицы.
-
Для класса линейных ОДУ" второго порядка определены функциональные представления образующих дискретной группы преобразований и доказано, что задаваеидая ими группа максимальна в классе преобразований Беклунда.
-
Доказана теорема о строении дискретной группы преобразо-заний; описана структура счетного множества параметров-функций, цш которых уравнение решается точно.
Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в теории линейных дифференциальных уравнений, групповом анализе, применяться в конкретных исследованиях по нахождению точных решений задачи Коши для уравнения Шредингера с квадратичным гамильтонианом, при этом вид функций, определяющих специфику потенциала, задается требованиями пользователя. Полученные в диссертации результаты также могут служить материалом для чтения спецкурса по групповому анализу дифференциальных уравнений для математических специальностей ВУЗов.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались:
на Герценовских чтениях в Российском государственном педагогическом университете / СПб. 1994 г. /;
на семинаре по дифференциальным уравнениям и математической физике / Руководитель - профессор Н.М.Матвеев; СПб, 1991 г. ,
на семинаре по современному групповому анализу / Руководитель - профессор В.Ф.Зайцев; СПБ, 1994 /;
на семинаре по дифференциальным уравнениям / Руководител] профессор В.Ф.Волкодавов; Самара, 1994 г. /;
на заседаниях кафедры математического анализа РГПУ им. А.И.Герцена.
Публикации. Содержание работы изложено в трех научных публикациях.
В статье С 1І профессору Г.В.Дубровскому принадлежит общая постановка задачи и руководство.
Структура исследования. Диссертационная работа изложена на 84 страницах и состоит из введения /25 с/, гл.1 "Групповой анализ задачи Коши для нестационарного уравнения Шредингера с квадратичным гамильтонианом" /25 с/, гл.П "Дискретно-групповой анализ линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка" /22 е./, заключения, в котором обобщены выводы по раздела!
іиссертации /3 с/. За основным текстом следует библиографический список, содержащий 55 наименований и список научных публикаций.
