Введение к работе
Актуальность темы. Проекционные и проекционно-разностные методы являются весьма эффективными методами решения различных задач математической физики. Особенно хорошо эти методы проявили себя при решении уравнений эллиптического и параболического типов. Полученные при этом оценки погрешности оказались точными по порядку аппроксимации соответствующих проекционных подпространств.
Для уравнений гиперболического типа, в частности для уравнения типа Шредингера, обоснование сходимости и получение оценок погрешности проекционных и проекционно-разностных методов, оказалось сложной задачей. В имеющейся литературе рассматриваются обычно частные случаи гиперболических уравнений второго порядка, одномерные или двумерные по пространственным переменным, с коэффициентами, не зависящими от времени. Ограничения делаются и на проекционные подпространства: завышенные условия на гладкость базисных элементов, предположения о достаточно равномерном разбиении области пространственных переменных (для подпространств типа конечных элементов).
В этой связи, для проекционных и проекционно-разностных методов приближенного решения уравнения типа Шредингера, весьма актуальна задача создания теории, позволяющей обосновывать сходимость и получать скорость сходимости погрешности в соответствующих приближенных методах.
В диссертации эти вопросы решаются и в качестве приближенных методов рассматриваются полудискретный метод Галеркина и проекционно-разностные методы, в которых дискретизация по пространству проводится по методу Галеркина, а по времени используется неявная схема Эйлера или модифицированная схема Кранка-Николсон.
Целью работы является получение и теоретическое обоснование результатов о сходимости проекционного метода Галеркина и проекционно-разностных методов с неявной схемой Эйлера или модифицированной схемой Кранка-Николсон по времени приближенного решения линейной задачи типа Шредингера. Соответствующие оценки погрешности приближенных решений должны быть ориентированы на применение весьма эффективных в приложениях проекционных подпространств типа "конечных элементов" и быть точными по порядку аппроксимации.
Методика исследований. При изучении проекционных и проек-ционно-разностных методов наиболее подходящим способом описания задачи является вариационная формулировка. При этом разрешимость задачи в различных классах решений устанавливается при помощи проекционного метода: доказываются различные априорные оценки приближенных решений, а затем дается обоснование соответствующего слабого предельного перехода. При рассмотрении проекционно-разностных методов, получение априорных оценок приближенных решений, также весьма важно для последующего получения оценок погрешности.
Важным обстоятельством в обосновании оценок погрешности является методика первоначального сравнения приближенного решения не с точным решением, а с его проекцией, в соответствующем гильбертовом пространстве, на проекционное подпространство. В результате получается некоторая базовая оценка погрешности, в условиях разрешимости исходной задачи.
Далее, из оценок погрешности для предельно плотной в соответствующем пространстве последовательности проекционных подпространств получается сходимость погрешности к нулю. А также, из этих оценок получаются, при некоторых дополнительных условиях на гладкость исходных данных задачи и аппроксимационных свойств проекционных подпространств, оценки с порядком скорости сходимости как по времени, так и по пространству.
Научная новизна. Результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Сформулирована вариационная постановка задачи как наиболее приспособленная к теории проекционных и проекционно-разностных методов. Получены новые результаты о разрешимости и гладкости решения точной задачи. Исследованы приближенные задачи при применении проекционного метода Галеркина, а также проек-ционно-разностных методов со схемой Эйлера и модифицированной схемой Кранка-Николсон. Установлены оценки погрешностей приближенных решений в соответствующих нормах. Доказана сходимость и прослежена зависимость порядка скорости сходимости погрешностей приближенных решений к нулю от исходных данных задачи.
Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации имеют как теоретическую, так и практическую направленность. Они могут быть использованы при исследовании приближенных методов решения конкретных уравнений математической физики.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Воронежских зимних математических школах, конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования"(Воронеж, 2005), Крымской осенней математической школе-симпозиуме — 2008, ежегодных научных сессиях Воронежского государственного университета, семинаре под руководством профессора А.Г. Баскакова, семинаре под руководством профессора И.Я. Новикова.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[7]. Из совместной работы [6] в диссертацию вошли теорема 3.1 и теорема 3.3 (из данной работы), принадлежащие Е.В. Шепило-вой, а также теорема 3.2, доказательство которой получено совместно с научным руководителем.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех параграфов, разбитых на десять пунктов, и списка литературы, включающего 61 источник. Общий объём диссертации 104 страницы.
Похожие диссертации на Вариационные уравнения типа Шредингера. Разрешимость и приближенные методы
