Содержание к диссертации
Введение
1. Спектральные свойства решения задачи с производной понормали в граничном условии для уравнений смешанного типа с оператором Лаврентьева - Бицадзе и их применния 20
1.1. Постановка спектральной задачи TN\. Построение системы собственных функций и исследование на полноту 20
1.2. Построение решения задачи TN для уравнения Лаврентьева - Бицадзе 30
1.3. Решение задачи TN для уравнения Лаврентьева - Бицадзе с комплексным параметром 33
1.4. Пространственная задача TN 35
2. Решение задачи с производной по конормали в граничном условии для уравнения смешанного типа с характеристическим вырождением 40
2.1. Постановка спектральной задачи TN\. Построение системы собственных функций 40
2.2. Постановка спектральной задачи ТЩ\. Построение системы собственных функций 48
2.3. Решение задачи TNQ 52
3. Построение решения задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с характеристическим вырождением 66
3.1. Постановка спектральной задачи Тд. Построение системы собственных функций 66
3.2. Решение задачи Трикоми 68
Литература 72
- Построение решения задачи TN для уравнения Лаврентьева - Бицадзе
- Постановка спектральной задачи ТЩ\. Построение системы собственных функций
- Постановка спектральной задачи Тд. Построение системы собственных функций
- Решение задачи Трикоми
Введение к работе
Уравнения смешанного типа встречаются при решении многих важных вопросов прикладного характера. Поэтому краевые задачи для таких уравнений привлекают внимание многих ученых.
Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в известных работах Ф.Трикоми [63, 64] и С.Геллерстедта [73], где были впервые поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешаного типа с одной линией параболического вырождения.
В 40-х годах 20-го столетия Ф.И.Франкль [66, 67] обнаружил важные приложения задачи Трикоми и других родственных задач в трансзвуковой газодинамике. В последние годы на важность уравнений смешанного типа указано в работах О.С. Рыжова [39], А.Д. Пилия и В.И. Федорова [36], А.Г. Кузьмина [27] в связи с проблемами теории сопел Л аваля, теории плазмы и другими вопросами.
В 50-е годы в работах Ф.И.Франкля [68], А.В.Бицадзе [6], К.И.Бабенко [2] было положено начало современной теории уравнений смешанного типа. В этих работах наряду с задачами Трикоми и Геллерстедта были поставлены и изучены новые краевые задачи для уравнений смешанного типа. Основные результаты этих работ и соответствующая им библиография приведены в монографиях А.В.Бицадзе [6, 7], Л.Берса [3], К.Г.Гудерлея [14], М.М.Смирнова [57] - [59], М.С.Салахитдинова [55], Е.И.Моисеева [30].
Следует отметить, что подавляющая часть работ по уравнениям смешанного типа относится к исследованию краевых задач для уравнения смешанного типа с нехарактеристическим вырождением. Краевые задачи для уравнений смешанного типа с характеристическим вырождением изучены сравнительно мало.
Первые исследования по уравнениям смешанного типа с характеристическим вырождением принадлежат И.Л.Каролю [20] - [23]. Его исследования посвящены выяснению корректной постановки задачи Трикоми для двух модельных уравнений: ихх + sgn?/- | у \п иуу = 0, п > 0, (0.1) иХх + УЩу + ocUy = 0, a = const. (0.2)
Пусть D — область плоскости XOY, ограниченная простой жор-дановой кривой Г, лежащей в полуплоскости у > 0 с концами в точках 0(0,0) и Л (1,0), и характеристиками ОС и АС рассматриваемого уравнения, расположенными в полуплоскости у < 0. Обозначим D+ = D Л {у > 0}, D- = D П {у < 0}.
Для уравнения (0.1) И.Л. Каролем [20] рассмотрена задача Трикоми (задача Т): найти функцию и(х, у) из класса С(D)nCl(D)C)C2(D+UD-), удовлетворяющую уравнению (0.1) в D+UD~ и принимающую заданные непрерывные значения на кривой Г и характеристике ОС.
Он доказал однозначную разрешимость задачи Т при 0 < п < 1 в случае, когда кривая Г совпадает с нормальной кривой х(1 — х) = 4у2~п/(2 — п)2. Но в общем случае, то есть для произвольной кривой Г, доказательство единственности решения задачи Т и его существования оставалось открытым. В работе К.Б.Сабитова [40] приводится доказательство единственности решения задачи Т для любой кривой Г из класса Ляпунова при 0 < п < 1. В работах [41], [42] им показано, что задача Трикоми для уравнения (0.1) при п > 2 поставлена не корректно. В связи с этим он исследовал задачу Трикоми для уравнения хпихх + sgn у -Uyy — Q при всех п > 0.
Исследования, проведенные И.Л.Каролем в работах [21] - [23], показали, что характер краевых задач, которые могут быть поставлены для уравнения (0.2) в области D, в отличие от уравнений с нехарактеристическим, существенно зависит от значения коэффициента а и класса решений уравнения (0.2). Так, например, было обнаружено, что задача Т в случае а < 0 недоопределена. Наоборот, при а > 0 задача Т переопределена. В этом случае производная по у решения уравнения (0.2), а при а > 1 и самое решение будет, вообще говоря, неограниченными в окрестности точек параболического вырождения. Поэтому для определения решения и(х,у), ограниченного во всей смешанной области D, при а > 1 оказывается достаточно задавать его значение лишь на дуге Г, а характеристики ОС и АС следует освободить от граничных данных, или же только на одной из характеристик [18], освободив дугу Г и вторую характеристику от краевых данных.
И.Л.Кароль для уравнения (0.2) в области D при 0 < а < 1 изучил задачу Трикоми с весовыми условиями склеивания, то есть на линии перехода вместо обычного требования непрерывности иу(х, +0) = иу{х, —0), 0 < х < 1, вводится условие сопряжения с весом lim (—y)auv = к lim yauv ,0 < х < 1, где к = -1 при 0 < а < 1/2, к = 1 при 1/2 < а < 1.
Задача Т для уравнения (0.2) при а < 0 становится корректно поставленной, если условия склеивания ввести по-иному. С.С.Исамухамедов [16], следуя С.А.Терсенову [61], для уравнения (0.2) в области D при а = — n + atQ, 1/2 < ао < 1> п = 1, 2,... поставил задачу Т со следующими условиями склеивания: u(x, +0) = u(x, -0) = т{х), 0 < x < 1, \unQya [щ + АМ] = (-1)* VmQ(-y)- [-A-(t)} = u(x) ,0 < x < 1,
Ли = t Nk(-y)k /1 r2k(z)(t(l - t))k+«-*l2dt,k=0 J{) n f)2kll A: = E Л^у*-^, г = x - 2уЯ/(1 - 2*). JVjfc (A; = 0,n), Mjt (к = l,n) - определенные постоянные.
Единственность решения этой задачи доказана методом экстремума, а существование для случая, когда кривая Г совпадает с нормальной кривой Го - методом интегральных уравнений.
Хе Кан Чер [72, 71] рассмотрел случай 0 < ао < 1/2 и результаты С.С.Исамухамедова обобщил на уравнение хихх + уиуу + аих 4- риу = 0.
Случай ао = 1/2 изучен Ю.М.Крикуновым [25, 26] для некоторых специальных областей.
Хайруллин Р.С. [69] для уравнения (0.2) в случае а < —1/2 в смешанной области, ограниченной нормальным контуром Го и двумя характеристиками, доказал однозначную разрешимость задачи Трикоми методом интегральных уравнений. В работе [70] в смешанной области, ограниченной при у > 0 произвольной кривой Г из класса Ляпунова и двумя характеристиками уравнения (0.2) им показана фредгольмовость задачи Трикоми при а < —1/2 .
Спектральные свойства решения задачи Трикоми изучены в работах Е.И.Моисеева [30], Т.Ш.Кальменова [19], СМ. Пономарева [37], К.Б. Сабитова [44], Я.Н. Мамедова [29].
Моисеев Е.И. [31] - [33] предложил новый метод построения решения краевых задач для уравнений смешанного типа, который основан на теории рядов по собственным функциям соответствующей спектральной задачи. Им были решены краевые задачи для уравнений с одной линией изменения типа в специальной области с заданием нулевых данных на характеристике.
Сабитов К.Б., Карамова А.А. [47] распространили этот метод для построения решения задачи Трикоми для уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа. А в работе Сабитова К.Б., Кучкаровой А.Н. [48] изучены спектральные свойства решений задачи Геллерстедта и показаны применения при построения решения этой задачи для различных уравнений смешанного типа.
Мамедовым Я.Н. [28], [29] решена задача на собственные значения для оператора, заданного уравнением (0.2), соответствующая задаче Трикоми при 0 < а < 1 . В случае 1/2 < а < 1 построенная система собственных функций им исследована на полноту. При а > 1 задача на собственные значения изучена в работах Вагапова В.З. [8] - [10].
Целью данной диссертационной работы является исследование следующих вопросов: нахождение собственных значений и построение соответствующей системы собственных функций спектральной задачи с производной по нормали в граничном условии (задачи TN\) для оператора Лаврентьева-Бицадзе и исследование этой системы на полноту, построение решения задачи с производной по нормали к эллиптической границе (задача TN) для уравнений смешанного типа с оператором Лаврентьева - Бицадзе методом теории рядов по собственным функциям соответствующей спектральной задачи, построение системы собственных функций спектральных задач с производной по конормали в граничном условии для уравнения смешанного типа с характеристическим вырождением и применение к решению краевых задач,
4) построение системы собственных функций соответствующей спектральной задачи и решение задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с характеристическим вырождением в виде суммы ряда по собственным функциям.
Ранее такого рода задачи методом интегральных уравнений изучались следующими авторами. А. В. Бицадзе [5] исследовал задачу TN для уравнения ихх-\-щпу-иуу = 0. Вострова Л. Е. [13] доказала единственность и существование решения задачи TN для уравнения uxx+sgn у-иуу—и = 0. М. М. Смирнов [58, гл. II, 6] доказал корректность задачи TN в смешанной области D для уравнения sgny | у \т ихх + иуу = 0, т> 0.
В главе 1 изучены спектральные свойства решений задачи с производной по нормали в граничном условии для оператора Лаврентьева -Бицадзе и показаны их применения при построении решения этой задачи.
В 1.1 для уравнения Lu = ихх + sgn у -иУу + \и = 0, (0.3) где Л - комплексный параметр, в области D, ограниченной кусочно-гладкой кривой Г, расположенной в полуплоскости у > 0 с концами в точках Л(1,0) и 5(0,1), и характеристиками АС (х + у = 0) и С В (х — у = 1) при у < 0, изучена следующая спектральная задача (задача TNX).
Задача TN\. Найти значения комплексного параметра Л и соот- ветствующие им функции и(х,у), удовлетворяющие условиям : и(х,у) eC(D)n C\D U Г) П C2(D+ U >_), (0.4) Lu(x,y) = 0, (x,y)eD+UD„, (0.5) u{x, y) = 0, (x, у) Є AC, (0.6) U 0,(х,у) Є Г, (0.7) гДе ТГ77 _ производная по нормали к границе Г области D+, D+ = D П aiv {0}, D_=Dn{y<0}.
На основании функционального соотношения между следом решения и(х, у) и следом нормальной производной решения на отрезке А В, полученного в работе [45], задача TN\ сведена к новой нелокальной эллиптической задаче на собственные значения для оператора Лапласа в области D+: найти значения параметра А и соответствующие им собственные функции и(х, у), удовлетворяющие условиям (0.4) - (0.7) и u(x,Q) = Juy{t,0)J0 U/\(x -t) dt, 0 < x < 1, где Jq( ) - функция Бесселя.
В случае, когда область эллиптичности является сектором с центром в начале координат и радиусом г = 1 : 0 < (р < іро < тг, 0 < г < 1, методом разделения переменных найдены собственные значения и соответствующие им собственные функции задачи TN\ : Cn,mJnn (\/Хп,т(х2-\-у2)) (COS Цп(р + SHI flnip), (ж, у) Є D+, Сп,т (zZr) J^ УХ^т(х2-у2)У (X,y) Є >-, где jin = — (n — 3/4) , n Є N, cn m - постоянные, An m — m - й корень уравнения vX/;n(x/A) = 0.
Далее изучен вопрос о полноте системы собственных функций (0.8) в областях эллиптичности, гиперболичности и в целом в смешанной области. Результат сформулирован в виде следующих утверждений.
Теорема 1.1. Система собственных функций (0.8) задачи TN\ полна в \j2(D+).
Теорема 1.2. Если (ро Є (0,7г/2), то система собственных функций (0.8) задачи TN\ полна в L,2(D-). Если еро Є [7г/2,7г], то подсистема системы собственных функций (0.8) задачи TN\ начиная с номера п = 2,3,..., полна в L2(D-).
Теорема 1.3. Система собственных функций (0.8) задачи TN\ не полна в Li2(.D).
Отметим, что в [37] решена спектральная задача с условием Дирихле для уравнения Лаврентьего - Бицадзе и получены теоремы о полноте системы собственных функций.
В 1.2 - 1.4 на основании работ Е.И. Моисеева [31] - [34] и К.Б. Сабитова [47], [48] показаны применения системы собственных функций для построения решения задачи Трикоми - Неймана для уравнений смешанного типа.
В 1.2 для уравнения Лаврентьева - Бицадзе
Ви = ихх + sgn у иуу = 0 (0.9) в области D, когда область D+ есть сектор единичного радиуса с центром в точке А(0,0): 0 < ip < ср0 < ж, 0 < г < 1, Г = Г0и АК, где Г0 -дуга окружнисти г = 1, А К - луч ip = (ро , выходящий из точки Л, рассмотрена задача типа Трикоми с производной по нормали в граничном условии (задача TN).
Задача TN. Найти функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям (0.4), (0.6) и (0.11) (0.12)
Ви(х,у) = 0, {x,y)eD+UD.., (0.10) = /ОЛ 0 < ср < сро, г0~д^ где f - заданная достаточно гладкая функция.
Теорема 1.4. Если f(ip) Є Са[0, іро], а Є (0> 1]> то существует единственное решение задачи TN и оно имеет вид и(х,у) = /„r"n sin( ЦпЧ> + тг/4)> (г, Йе^+, п=1 1 оо -7їЕ/п(х + уУп, {х,у) Є>_, где цп = п — 3/4, а коэффициенты fn определяются по формулам Vp ^" 0
1 ? Л = — / f(
2 (2 cos (тгір/іро) /2) * ,. , , хч„ fr* W/Ы = -—г—, , , /пЧі/2 Е (smn (тгср/іро)) ВА_П, тг (tg(7r
0) /2) ' n=i b/ - Z. o1/2 o1/2(-i; , c, — . m=0 **
Отметим, что система функций hk построена в [34].
В 1.3 для уравнения (0.3) в области D построено решение задачи TN : найти функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям (0.4) - (0.6) и (0.11), (0.12).
На основании собственных функций задачи TN\ построено решение задачи TN в области D.
Теорема 1.5. Если f(cp) Є Са[0,П)Ш и оно имеет вид n%JnV\J',n(^) и(х,у) = Efn-J^r^ (/W + t)> (г,ф) Є D+, J2tx\x-y) VAX (л/А) ' (ж,у)ЄІ>_, где ЛП)ТП - собственные значения задачи TN\.
В 1.4 изучен пространственный аналог задачи TN для уравнения LW = Wxx + sgny И^у + WZZ = Q (0.13) в цилиндрической области С? = D х (0,7г).
Задача TN. Найти функцию W(x,y,z), удовлетворяющую условиям: W(x,y,z)eC(G)n C1{G+ U So U SAK) П C2(G+ U GL), LW(aj,y,«) = 0, foy^JeG+UG-, So dr = F(ip, z), 0 < (p < ip0, z Є [0, тг], W(x,y,z) =0, z Є [0,1/2], *[0,7r], W(x,y,z) = W(x,y,z) =0, где F - заданная достаточно гладкая функция, So = Го х [0,7г], 5л^ = ЛІГ х [0,тг], z Є [0, тг]; G+ = G П {у > 0}; G_ = G П {у < 0}.
Теорема 1.6. iftvm функция F((p, z) в замкнутой области 0 < (р < Vo» 0 < z < тг удовлетворяет условию Гелъдера с показателем а, 0 < о: < 1, то существует решение задачи TN в области G и оно задается формулами 'х + yYnl2 їцк {nVx2 — У2) -7= Y. /n*smnz '-, (x,y,z)eG-, V2n,k=i nl^n) W(x,y,z) oo / 7i"\ J (717*) fnk sin nz sin [ілп(р + -] M" , (x,y,z)eG+, n,k=i \ А) пІЦп{п) где коэффициенты fn>k находятся из разложения функции Рп{<р) в Ря^ по системе синусов ^пМ = Ц ^*/nfc Sin // < (ро,к=1 \ 4/ функция Рпіф) определяется формулой Рп(<р) = — \ F((p, z) sinnzdz,
7Г ^ О Іцп{т) - модифицированная функция Бесселя.
В главе 2 изучены спектральные задачи с производной по конор-мали к эллиптической части границы для уравнения L\u = ихх + уиуу + аиу + \и = О, (О-14) где a = const, 0 < а < 1, Л - комплексный параметр, в области D, ограниченной при у > 0 кривой Го (х2 -\- 4у = 1) с концами в точках 5(1,0) и К{—1,0), и отрезком ЛІГ оси ОХ, где Л = (0,0), и характеристиками АС(х - 2у/=у = 0) и СВ(х + 2у/=у = 1) уравнения (0.14) при у < 0, и показаны применения.
В 2.1 в области Z) исследована спектральная задача TNa : найти значения параметра А и соответствующие им функции и(х,у), удовлетворяющие условиям: и{х, у) Є C(D) П C\D+ U Г0) П C2(D+ U L), (0.15) Lxu(x, у) = О, (х, у) Є D+ U LL, и(х,у) = 0,(х,у) Є АС, lim (—у)ащ = к lim yauv ,0 < х < 1, ^cfr/ - yuydx = 0, (ж, у) Є Г0, limyQUy = 0, — 1 < х < О, (0.16) (0.17) (0.18) (0.19) (0.20) где к = — 1 при 0 < а < 1/2, к = 1 при 1/2 < а < 1.
Выбор значения к таковым объясняется тем, что для уравнения (0.14) при Л = 0 доказаны теоремы существования и единственности решения задачи TN [59].
Собственные значения задачи Хп>т спектральной задачи TN\ находятся как корни уравнения л/Х/^п(\/Л) — (3Jln(y/\) = 0.
Система соответствующих собственных функций задачи TN\ имеет вид ип,т\хі У) =
, (ж,г/)ЕИ+) *-Ч„ (л/Лг) [c^F (р + т„, /3 - 7п, a; sin21) + М2> (sin2 f)'"% g + 7„,І - 7,, 2 - a; sin* c_<7^ J7n (v^» 0-^+^(/3 + 7n, І + 7n, 1 + 27n; j), (*, 2/) Є ,0-,
Г 1 а - + —+ n, п = 0,1,2,... при к = —1, — + п, гг = 1,2, 3,... при к = 1,
Г(а)Г(1/2-7п)Г(1/2 + 7п) Г(2 - а)Г(0 - 7п)Г((3 + 7„) ' = Г(3/2-а + 7п)Г(1/2 + 7п)С- Г(1 + 27„)Г(1-а)
Замечание. При а = 1/2 уравнение (0.14) сводится к уравнению Лаврентьева - Бицадзе, изученному в главе 1.
В 2.2 исследована спектральная задача TNoa : найти значения параметра А и соответствующие им функции и(х,у), удовлетворяющие условиям (0.15) - (0.19) и и(х, у) = 0, (х, у) Є АК.
Собственные значения задачи An,m спектральной задачи TNq\ находятся как корни уравнения yf\j'ln{\f\) — PJ-y„(y/X) = 0.
Система соответствующих собственных функций задачи TNq а имеет вид ип,т\Х1 У) =
Г(2-а}Г(1/2 + 7я) ^W-Vnrjx х (cos2|J f(- + 7n, 2 - 7n,2 - a;cos2|j, (x,y) Є D+, a~*К (yfi^o) 0-^+^f({3 + 7я, і + 7n, 1 + 27n; ^), (ж, у) Є D_, где {
1 о; - - - + n, n = 0,1,2,... при & = -1 (0 < а < 1/2), z ^ -^ + п, п= 1,2,... при А; = 1 (1/2 < а < 1).
В 2.3 построено решение краевой задачи TNq для уравнения Lu = ихх + уиуу + аиу = 0, (0.21) где 0 < а < 1, о: т^ 1/2, в области D (см. 2.1).
Задача TNq. Найти в области D функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям : и(х, у) Є C(D) П Cl{D+ U Г0) П C2(D+ U L), Lu(x, у) = 0, (re, ?/) Є >+ U L, «(аг, у) = 0, (ж, y)eACU АК, dy ux- - yuy = /Ы,0<(^<7Г, lim (—y)auv = к lim yauv , 0 < x < 1, где / - заданная достаточно гладкая функция.
С помощью метода рядов по собственным функциям задачи TN\ доказано следующее утверждение.
Теорема 2.1. Если f(
2(1 + 2/3) П^М7" т г(7„-/3)Г(1-/3-7„)
П1 - а) п=1 17 x F(l -/3,1 _/?-7n>2- 2/3; 1-^/77), (0.24) при 0 < a < 1/2, где (, 77) - характеристические координаты, Р - модифицированная функция Лежандра, значения коэффициентов fn определяются по формулам sin7r/3 f'(v)dv Ccos(n-m)0-C/2
ЛпОТ =
7r(2cos0/2)a а(а — 1)...(а — т + 1)
, Є = п-ір, f(v) = f(ir-v).
В главе 3 изучена спектральная задача, соответствующая задаче Трикоми, для уравнения (0.14) в области D (см. 2.1) и построено решение краевой задачи Трикоми .
В 3.1 исследована спектральная задача Тд : найти значения параметра X и соответствующие им функциии(х,у) Є C(D)nC2(D+UD-.), удовлетворяющие условиям (0.16) - (0.18) и и(х, у) — 0, (ж, у) Є Го U АК.
Собственные значения АШ)П "спектральной задачи Т\ находятся как корни уравнения Jjn(y/X) = 0, а система собственных функций имеет вид 'Unjny'E> У) — F( I + 7n, ^ - 7n, 2- a; cos2 ^ ),
Г(2-а)Г(1/2 + 7п) ^ll/Wj ' 2<ру-а„п 1 X COS (ж, j/) Є >+, -%n (\/W0 0-<*+7">f(/? + 7n, І + 7n, 1 + 27n; І), (я;,у) Є L,
Г 1 а - — — + п, п = 0,1,2,... при к = — 1, 2 а 2 (0-25) —— + n, п = 1,2,3,... при к = 1.
В 3.2 построено решение задачи Трикоми для уравнения (0.14) при Л = 0 в виде суммы ряда по собственным функциям задачи Т\.
Задача Трикоми. Для уравнения (0.21) в области D найти функцию и(х,у) Є C{D) П C2(D+ U L), удовлетворяющую условиям:
Щх, у) = 0, (я, у) ED+UD-, и(х, у) = 0, (х, у) Є AC U ЛК, и(х,у) |го=/М,0<<<тг, lim (—y)auv = k lim уащ ,0 < х < 1, где / - заданная достаточно гладкая функция.
Теорема 3.1. Если f(
7n - определяется no формулам (0.25).
Построение решения задачи TN для уравнения Лаврентьева - Бицадзе
Рассмотрим уравнение Ви = ихх + sgn у -иУу = О (1.43) в области D, когда область D+ есть сектор единичного радиуса с центром в начале координат: 0 (р (ро 7Г, 0 г 1, и поставим следующую краевую задачу типа Трикоми с производной по нормали к эллиптической границе (задача TN). Задача TN. Найти функцию и{х,у), удовлетворяющую условиям: где f - заданная достаточно гладкая функция. Решая задачу Дарбу для уравнения (1.43) в области D- с условиями: следущее соотношение на отрезке АВ оси у = 0 : Теперь решим в области D+ следующую смешанную задачу для уравнения Лапласа: найти функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям (1.44) - (1.47) и (1.49). Переходя к полярным координатам (г,ср) и разделяя переменные где fi ф 0 - постоянная разделения. Решением уравнения (1.50), удовлетворяющего условию (1.51), является функция Подставляя функцию (1.55) в условие (1.54), получим Решая краевую задачу (1.52), (1.53), (1.56), найдем где \in - определяется по формуле (1.17). Следовательно, функции вида удовлетворяют в области D+ условиям (1.44) - (1.46) и (1.49). Решение задачи (1.44) - (1.47) и (1.49) в области D+ будем искать в виде суммы ряда При любом г го 1 ряд (1-57) сходится равномерно и допускает почленное дифференцирование по переменным г и (р любое число раз, за исключением точки (0,0). Предположим, что ряд (1.57) допускает почленное дифференцирование по переменной г на множестве 0 г 1, 0 (р сро. Удовлетворяя ряд (1.57) граничному условию (1.47), получим В ряде (1.58) произведем замену ip = —в и полагая /( ) = /(у оО/тг) = 7Ґ д(в), имеем Если функция д(9) Є CQ[0,7r], а Є (0,1], то в силу результатов работы [34] ряд (1.59) сходится равномерно на [0, тг]. Тогда ряд (1.58) также сходится равномерно на [0, /?о]- Таким образом, сумма ряда (1.57) непрерывна на D+ и на множестве 0 г 1 допускает почленное дифференцирование по переменной г. Коэффициенты ряда /п определяются по формуле frn определяются по формуле (1.42). Таким образом, сумма ряда (1.57) непрерывна в замкнутой области D+, на -D+ допускает почленное дифференцирование по г и у?, за исключением точки г = 0 и на множестве D+ U ЛВ имеет производные по г и у? любое число раз. Полагая в (1.57) (р = 0, найдем которая принадлежит классу С[0,1] U С(0,1). В области )_ решение задачи TN определяется как решение задачи Дарбу для уравнения (1.43) с данными (1.48), где функция т(х) определена формулой (1.61). Это решение имеет вид Поскольку в D- : 0 х-\-у 1, то ряд (1.62) в D- сходится равномерно и на множестве D_ U АВ допускает почленное дифференцирование по х и у любое число раз.
Таким образом, нами доказана Теорема 1.4. Если f((p) Є Ca[0,(fo], а Є (0,1], mo существует единственное решение задачи TN и оно имеет вид Для уравнения Лаврентьева - Бицадзе с комплексным параметром (1.1) в области D (см. 1.2) найдем решение следующей задачи. Задача ТАГ. Найти функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям: где f - заданная достаточно гладкая функция. Используя собственные функции (1.30) задачи TN\ решение задачи (1.63) - (1.66) в области D+ при Л ф АП)Ш будем искать в виде суммы ряда где коэффициенты fn определяются по формуле (1.60), а Л 4= vAJ VA) ортонормированные собственные функции задачи для уравнения (1.9) с граничным условием R(0) = 0. На основании асимптотической формулы [65, с. 217] ряд (1.68) при любом г го 1 сходится равномерно, так как при больших п справедлива оценка где М = const 0. Можно также показать, что ряд (1.68) на D+ U ЛВ допускает почленное дифференцирование по переменным г и ср любое число раз. Удовлетворяя (1.68) граничному условию (1.65), получим ряд ди дг равномерная сходимость которого обоснована в 1.2. Для построения решения задачи TN в области Z)_ воспользуемся формулой (1.29). Из формулы (1.68) находим: Если в формуле (1.29) положить с„т = ._ /_ f " , то сумма ряда yJ2y/\Jlln(yJX) от функций wn,m( , 2/) по переменной п определяет решение задачи Копій для уравнения (1.1) в области D-. с краевыми условиями (1.69) и (1.70): 1 - , (х + уу"/2 пЫХ(х2-У2)) VAJ;„ (Х/А) ЧХ У) = т Е fn[ V2 n=i \х - у J Таким образом, доказана Теорема 1.5. Если f( p) Є Са[0, о]5 Є (0,1], mo существует решение задачи (1.63) - (1.67) при всех А ф Хп т и оно имеет вид /" j;n( )sin ( + І) (г, /?)єГ + - чЛ/Ч У), (x,,)e0_, Ті /П ; V J;„ ( /A) где n,m собственные значения задачи TN\, fn — определяются no формуле (1.60). 1.4. Пространственная задача TN Рассмотрим уравнение в области G = D x (0,7г), где Z) - область плоскости R y, описанная в 2. Обозначим So = Г0х [0, тг], SU r = АЙГх [0, тг], г Є [0,7г]; G+ = ЗП{?/ 0}; G_ = Gn{y 0}.
Постановка спектральной задачи ТЩ\. Построение системы собственных функций
Уравнения смешанного типа встречаются при решении многих важных вопросов прикладного характера. Поэтому краевые задачи для таких уравнений привлекают внимание многих ученых. Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в известных работах Ф.Трикоми [63, 64] и С.Геллерстедта [73], где были впервые поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешаного типа с одной линией параболического вырождения. В 40-х годах 20-го столетия Ф.И.Франкль [66, 67] обнаружил важные приложения задачи Трикоми и других родственных задач в трансзвуковой газодинамике. В последние годы на важность уравнений смешанного типа указано в работах О.С. Рыжова [39], А.Д. Пилия и В.И. Федорова [36], А.Г. Кузьмина [27] в связи с проблемами теории сопел Л аваля, теории плазмы и другими вопросами. В 50-е годы в работах Ф.И.Франкля [68], А.В.Бицадзе [6], К.И.Бабенко [2] было положено начало современной теории уравнений смешанного типа. В этих работах наряду с задачами Трикоми и Геллерстедта были поставлены и изучены новые краевые задачи для уравнений смешанного типа. Основные результаты этих работ и соответствующая им библиография приведены в монографиях А.В.Бицадзе [6, 7], Л.Берса [3], К.Г.Гудерлея [14], М.М.Смирнова [57] - [59], М.С.Салахитдинова [55], Е.И.Моисеева [30]. Следует отметить, что подавляющая часть работ по уравнениям смешанного типа относится к исследованию краевых задач для уравнения смешанного типа с нехарактеристическим вырождением. Краевые задачи для уравнений смешанного типа с характеристическим вырождением изучены сравнительно мало. Первые исследования по уравнениям смешанного типа с характеристическим вырождением принадлежат И.Л.Каролю [20] - [23]. Его исследования посвящены выяснению корректной постановки задачи Трикоми для двух модельных уравнений: Пусть D — область плоскости XOY, ограниченная простой жор-дановой кривой Г, лежащей в полуплоскости у 0 с концами в точках 0(0,0) и Л (1,0), и характеристиками ОС и АС рассматриваемого уравнения, расположенными в полуплоскости у 0. Обозначим D+ = D Л {у 0}, D- = D П {у 0}. Для уравнения (0.1) И.Л. Каролем [20] рассмотрена задача Трикоми (задача Т): найти функцию и(х, у) из класса С(D)nCl(D)C)C2(D+UD-), удовлетворяющую уравнению (0.1) в D+UD и принимающую заданные непрерывные значения на кривой Г и характеристике ОС. Он доказал однозначную разрешимость задачи Т при 0 п 1 в случае, когда кривая Г совпадает с нормальной кривой х(1 — х) = 4у2 п/(2 — п)2.
Но в общем случае, то есть для произвольной кривой Г, доказательство единственности решения задачи Т и его существования оставалось открытым. В работе К.Б.Сабитова [40] приводится доказательство единственности решения задачи Т для любой кривой Г из класса Ляпунова при 0 п 1. В работах [41], [42] им показано, что задача Трикоми для уравнения (0.1) при п 2 поставлена не корректно. В связи с этим он исследовал задачу Трикоми для уравнения Исследования, проведенные И.Л.Каролем в работах [21] - [23], показали, что характер краевых задач, которые могут быть поставлены для уравнения (0.2) в области D, в отличие от уравнений с нехарактеристическим, существенно зависит от значения коэффициента а и класса решений уравнения (0.2). Так, например, было обнаружено, что задача Т в случае а 0 недоопределена. Наоборот, при а 0 задача Т переопределена. В этом случае производная по у решения уравнения (0.2), а при а 1 и самое решение будет, вообще говоря, неограниченными в окрестности точек параболического вырождения. Поэтому для определения решения и(х,у), ограниченного во всей смешанной области D, при а 1 оказывается достаточно задавать его значение лишь на дуге Г, а характеристики ОС и АС следует освободить от граничных данных, или же только на одной из характеристик [18], освободив дугу Г и вторую характеристику от краевых данных. И.Л.Кароль для уравнения (0.2) в области D при 0 а 1 изучил задачу Трикоми с весовыми условиями склеивания, то есть на линии перехода вместо обычного требования непрерывности вводится условие сопряжения с весом где к = -1 при 0 а 1/2, к = 1 при 1/2 а 1. Задача Т для уравнения (0.2) при а 0 становится корректно поставленной, если условия склеивания ввести по-иному. С.С.Исамухамедов [16], следуя С.А.Терсенову [61], для уравнения (0.2) в области D при а = — n + atQ, 1/2 ао 1 п = 1, 2,... поставил задачу Т со следующими условиями склеивания: JVjfc (A; = 0,n), Mjt (к = l,n) - определенные постоянные. Единственность решения этой задачи доказана методом экстремума, а существование для случая, когда кривая Г совпадает с нормальной кривой Го - методом интегральных уравнений. Хе Кан Чер [72, 71] рассмотрел случай 0 ао 1/2 и результаты С.С.Исамухамедова обобщил на уравнение Случай ао = 1/2 изучен Ю.М.Крикуновым [25, 26] для некоторых специальных областей. Хайруллин Р.С. [69] для уравнения (0.2) в случае а —1/2 в смешанной области, ограниченной нормальным контуром Го и двумя характеристиками, доказал однозначную разрешимость задачи Трикоми методом интегральных уравнений. В работе [70] в смешанной области, ограниченной при у 0 произвольной кривой Г из класса Ляпунова и двумя характеристиками уравнения (0.2) им показана фредгольмовость задачи Трикоми при а —1/2 . Спектральные свойства решения задачи Трикоми изучены в работах Е.И.Моисеева [30], Т.Ш.Кальменова [19], СМ. Пономарева [37], К.Б. Сабитова [44], Я.Н. Мамедова [29].
Постановка спектральной задачи Тд. Построение системы собственных функций
Моисеев Е.И. [31] - [33] предложил новый метод построения решения краевых задач для уравнений смешанного типа, который основан на теории рядов по собственным функциям соответствующей спектральной задачи. Им были решены краевые задачи для уравнений с одной линией изменения типа в специальной области с заданием нулевых данных на характеристике. Сабитов К.Б., Карамова А.А. [47] распространили этот метод для построения решения задачи Трикоми для уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа. А в работе Сабитова К.Б., Кучкаровой А.Н. [48] изучены спектральные свойства решений задачи Геллерстедта и показаны применения при построения решения этой задачи для различных уравнений смешанного типа. Мамедовым Я.Н. [28], [29] решена задача на собственные значения для оператора, заданного уравнением (0.2), соответствующая задаче Трикоми при 0 а 1 . В случае 1/2 а 1 построенная система собственных функций им исследована на полноту. При а 1 задача на собственные значения изучена в работах Вагапова В.З. [8] - [10]. Целью данной диссертационной работы является исследование следующих вопросов: 1) нахождение собственных значений и построение соответствующей системы собственных функций спектральной задачи с производной по нормали в граничном условии (задачи TN\) для оператора Лаврентьева-Бицадзе и исследование этой системы на полноту, 2) построение решения задачи с производной по нормали к эллиптической границе (задача TN) для уравнений смешанного типа с оператором Лаврентьева - Бицадзе методом теории рядов по собственным функциям соответствующей спектральной задачи, 3) построение системы собственных функций спектральных задач с производной по конормали в граничном условии для уравнения смешанного типа с характеристическим вырождением и применение к решению краевых задач, 4) построение системы собственных функций соответствующей спектральной задачи и решение задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с характеристическим вырождением в виде суммы ряда по собственным функциям. Ранее такого рода задачи методом интегральных уравнений изучались следующими авторами. А. В. Бицадзе [5] исследовал задачу TN для уравнения ихх-\-щпу-иуу = 0. Вострова Л. Е. [13] доказала единственность и существование решения задачи TN для уравнения uxx+sgn у-иуу—и = 0. М. М. Смирнов [58, гл. II, 6] доказал корректность задачи TN в смешанной области D для уравнения
В главе 1 изучены спектральные свойства решений задачи с производной по нормали в граничном условии для оператора Лаврентьева -Бицадзе и показаны их применения при построении решения этой задачи. где Л - комплексный параметр, в области D, ограниченной кусочно-гладкой кривой Г, расположенной в полуплоскости у 0 с концами в точках Л(1,0) и 5(0,1), и характеристиками АС (х + у = 0) и С В (х — у = 1) при у 0, изучена следующая спектральная задача (задача TNX). Задача TN\. Найти значения комплексного параметра Л и соот ветствующие им функции и(х,у), удовлетворяющие условиям : гДе ТГ77 _ производная по нормали к границе Г области D+, D+ = D П aiv { / 0}, D_=Dn{y 0}. На основании функционального соотношения между следом решения и(х, у) и следом нормальной производной решения на отрезке А В, полученного в работе [45], задача TN\ сведена к новой нелокальной эллиптической задаче на собственные значения для оператора Лапласа в области D+: найти значения параметра А и соответствующие им собственные функции и(х, у), удовлетворяющие условиям (0.4) - (0.7) и где JQ( ) - функция Бесселя. В случае, когда область эллиптичности является сектором с центром в начале координат и радиусом г = 1 : 0 (р іро тг, 0 г 1, методом разделения переменных найдены собственные значения и соответствующие им собственные функции задачи TN\ : где jin = — (n — 3/4) , n Є N, cn m - постоянные, An m — m - й корень уравнения областях эллиптичности, гиперболичности и в целом в смешанной области. Результат сформулирован в виде следующих утверждений. Теорема 1.1. Система собственных функций (0.8) задачи TN\ полна в \J2(D+). Теорема 1.2. Если (ро Є (0,7г/2), то система собственных функций (0.8) задачи TN\ полна в L,2(D-). Если еро Є [7г/2,7г], то подсистема системы собственных функций (0.8) задачи TN\ начиная с номера п = 2,3,..., полна в L2(D-). Теорема 1.3. Система собственных функций (0.8) задачи TN\ не полна в Li2(.D). Отметим, что в [37] решена спектральная задача с условием Дирихле для уравнения Лаврентьего - Бицадзе и получены теоремы о полноте системы собственных функций. В 1.2 - 1.4 на основании работ Е.И. Моисеева [31] - [34] и К.Б. Сабитова [47], [48] показаны применения системы собственных функций для построения решения задачи Трикоми - Неймана для уравнений смешанного типа. в области D, когда область D+ есть сектор единичного радиуса с центром в точке А(0,0): 0 ip ср0 ж, 0 г 1, Г = Г0и АК, где Г0 -дуга окружнисти г = 1, А К - луч ip = (ро , выходящий из точки Л, рассмотрена задача типа Трикоми с производной по нормали в граничном
Решение задачи Трикоми
Сабитов К. Б. К теории уравнений смешанного параболо - гиперболического типа со спектральным параметром // Дифференц. уравнения - 1989. - Т. , No 1.- С. 117 - 126. [45] Сабитов К.Б. Построение в явном виде решений задач Дарбу для телеграфного уравнения и их применение при обращении интегральных уравнений. I // Дифференц. уравнения.- 1990. - Т. 26, No 6.- С. 1023 - 1032. [46] Сабитов К.Б., Тихомиров В.В. О построении собственных значений и функций одной газодинамической задачи Франкля // Матем. моделирование- 1990- Т. 2, No 10- С. 100 - 109. [47] Сабитов К.Б., Карамова А.А. Спектральные свойства решений задачи Трикоми для уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа и их применения // Изв. РАН. Сер. матем. - 2001. -Т. 65, No 4. - С. 133 - 150. [48] Сабитов К.Б., Кучкарова А.Н. Спектральные свойства решения задачи Геллерстедта для уравнений смешанного типа и их применение // Сиб. мат. журнал. -2001. - Т. 42, No 5. С. 1147 - 1161. [49] Сабитов К.Б., Бибакова С.Я. Задача на собственные значения для вырождающегося уравнения смешанного типа / Вестник БГУ. -Уфа,- 2000. - No 1.- С. 18 - 22. [50] Сабитов К.Б., Хасанова (Бибакова) C.JI. Построение решения задачи Трикоми для уравнения смешанного типа в виде биортого-нального ряда / Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Том 11. Проблемы современной математики. Казань: УНИПРЕСС, 2001. - С. 272 - 275. [51] Сабитов К.Б., Хасанова (Бибакова) С.Л. Задача на собственные значения для уравнения смешанного типа с характеристическим вырождением / Труды II международ, конф. "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики" - Нальчик, - 2001, - С. 123 - 124. [52] Сабитов К.Б., Хасанова (Бибакова) С.Л. Решение задачи Трико-ми - Неймана для уравнения Лаврентьева - Бицадзе методом спектрального анализа / Известия КБНЦ РАН, Нальчик, -2002. -No 1 (8).-С. 84-93. [53] Сабитов К.Б., Хасанова (Бибакова) С.Л. Спектральные свойства решения задачи с производной по нормали в граничном условии для уравнений смешанного типа и их применение // Известия Вузов. Математика. -2003. -No 6. - С. 64 - 76. [54] Сабитов К.Б., Бибакова С.Л. Построение собственных функций задачи Трикоми - Неймана для уравнения смешанного типа с характеристическим вырождением и их применение // Математические заметки -2003. - Т. 74. - вып. 1. - С. 83 - 94. [55] Салахитдинов М.С., Кадыров 3. Задача с нормальной производной для уравнения смешанного типа с негладкими линиями вырождения // Дифференц. уравнения. - 1986. - Т. 22, No 1. - С. 103 -114. [56] Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И.
Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. - Минск: Наука и техника, 1987. - 690 с. [57] Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. - М.: Наука, 1966. - 292 с. [58] Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. - М.: Наука, 1970. -296 с. [59] Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. - М.: Высшая школа, 1985. - 304 с. [60] Солдатов А.П. О единственности решения одной задачи А.В. Би-цадзе // Дифференц. уравнения. -1972. - Т. 8, N 1. - С. 143 - 146. [61] Терсенов С.А. К теории гиперболических уравнений с данными на линии вырождения типа // Сиб. матем. ж., -1961, -Т. 2, No 6. [62] Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики- М.: Наука, 1966. - 736 с. [63] Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. -М.-Л.: Гостехиздат, 1947. -192 с. [64] Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. - М.: ИЛ, 1957. - 43 с. [65] Уиттпекер Э.Т., Ватпсон Дж.Н. Курс современного анализа. Ч. II. Трансцендентные функции. - М., Физматгиз. - 1963. -515 с. [66] Франклъ Ф.И. К теории сопел Лаваля // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1945. - Т. 9, No 5. - С. 387 - 422. [67] Франклъ Ф.И. О задачах Чаплыгина С.А. для смешанных до- и сверхзвуковых течений // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1945. -Т. 9, No 2. - С. 121-142. [68] Франклъ Ф.И. Об одной новой краевой задаче для уравнения yzxx + zyy = 0// Учен, записки МГУ. - 1951. - Вып. 152. Механика, 3. -С. 99-116. [69] Хайруллин Р. С. Задача Трикоми для уравнения второго рода в случае нормальной области // Дифференц. уравнения. - 1990. - Т. 26, No 8, С. 1396 - 1407. [70] Хайруллин Р. С. О задаче Трикоми для уравнения второго рода в случае произвольной области // Дифференц. уравнения. - 1995. -Т. 31, No 5, С. 894 - 895. [71] Хе Кан Чер. О сингулярной задаче Трикоми для одного уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения // Препринт. ИМ СО АН СССР. - 1976. - 16 с. [72] Хе Кан Чер. О единственности решения задачи Трикоми для уравнения с двумя линиями вырождения // В кн.: Дифференциальные уравнения с частными производными. — Новосибирск: ИМ СО АН СССР. - 1980. - С. 64 - 67. [73] Gellerstedt S. G. Sur on probleme aux limites pour une equation lineaire aux derivees partielles du second ordre de type mixte: These pour le doctorat. - Uppsala, 1935. - 92 p. [74] Бибакова С.Л. Задача на собственные значения для уравнения смешанного типа / Труды Всеросс. науч. конф. "Физика конденсированного состояния". Стерлитамак: Стерлитамакский филиал АН РБ, -1997. Т. 1. - С. 14 - 18. [75] Бибакова С.Л. Задача на собственные значения для уравнения смешанного типа / Тезисы докл. междунар. науч. конф. "Дифференциальные уравнения. Интегральные уравнения. Специальные функции". - Самара, 1997. - С. 12 - 13.
Похожие диссертации на Решение краевых задач для уравнений смешанного типа методом спектрального анализа
