Введение к работе
Актуальность темы. В современной теории дифференциальных уравнений в частных производных важное место занимают исследования сингулярных, вырождающихся гиперболических уравнений, а так же уравнений смешанного типа. Интерес к этому классу уравнений объясняется как теоретической значимостью полученных результатов, так и их многочисленными приложениями в газовой и гидродинамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхности, в различных разделах механики сплошных сред и других областях науки и техники.
Известно, что решение задачи Коїли для общего уравнения второго
порядка гиперболического типа, которое встречается при исследованиях
вибрации и играет существенную роль в теориях аппроксимации и
отображений1, получено методом Римана через решения однородного
сопряженного уравнения . В работах М.М. Смирнова указано, что задача Гурса
для этого уравнения сводится к решению системы двух линейных
интегральных уравнений Вольтерра второго рода, к которым применяется
метод последовательных приближений. Н.Р. Раджабовым был разработан метод
представления главной части дифференциального оператора второго порядка
гиперболического типа общего вида в виде композиции двух линейных
операторов первого порядка. На основе данного метода были также найдены
интегральные представления решений некоторых линейных
дифференциальных уравнений второго порядка с сингулярными коэффициентами.
На ранних этапах своего развития теория уравнений в частных производных в качестве одной из основных выдвигала проблему нахождения и исследования уравнений, допускающих явное интегрирование. В начале XX века сильнейшее влияние математической физики привело к переоценке ценностей в теории уравнений в частных производных. В результате, ряд классических результатов, касающихся точного интегрирования, был забыт даже специалистами. Но в настоящее время интерес к этим результатам значительно возрос в связи с открытием новых фундаментальных методов точного интегрирования нелинейных уравнений в частных производных.
Общеизвестным примером точно интегрируемого уравнения в частных производных является уравнение Лиувилля
uxy=juea, ju>0.
Бондаренко Б.А. Базисные системы полиномиальных и квазиполиномиальных решений уравнений в частных производных. - Ташкент: Фан, 1987. - 146с.
Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. - М.:Наука,1982 -448с.
Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. -М.:Наука, 1964.-208с.
В работе В.И. Жегалова4 выводятся формулы решения задач для уравнения Лиувилля с граничными условиями трех типов. Варианты граничных условий задаются на характеристиках уравнения, проходящих через начало координат.
В работах Н.Р. Раджабова и его учеников5 рассмотрены некоторые уравнения, аналоги уравнения Лиувилля. В частности, для уравнения
где a, /? = {7V/{l}}, a{y\ f(y) - непрерывные функции, заданные на некотором отрезке / = [о, b]. При определенных ограничениях на коэффициенты получена формула явного решения и исследован ряд граничных задач типа Гурса.
В работе А.А. Кунгурцева6 исследуется вопрос разрешимости в евклидовых пространствах различной размерности задач об отыскании
решений уравнений вида = F(u), по граничным условиям, содержащим
dxv.dxn
значения нормальных производных от функции и. В частности, при п = 2, F(u) = це", ц>0 это уравнение совпадает с упомянутым выше уравнением Лиувилля.
Диссертация посвящена вопросам построения явных формул решений дифференциальных уравнений, которые являются аналогами уравнения Лиувилля.
Цель работы. Целью работы является нахождение явных формул интегральных представлений многообразия решений для квазилинейных уравнений гиперболического типа второго и третьего порядков с регулярными и сингулярными коэффициентами. Для рассматриваемых уравнений применяется метод Н.Р. Раджабова и исследуются некоторые граничные задачи.
Общая методика исследования. В работе применяются современные и классические методы теории дифференциальных и интегральных уравнений, метод интегральных представлений, метод редукции и метод представления главной части дифференциальных операторов гиперболических типов в виде композиции линейных операторов.
Жегалов В.И., Кунгурцев А.А. О характеристиках граничных задач для уравнения Лиувилля // Известия вузов. Математика. - 2008. - №11. - С.40 - 47.
Фозилов СТ. Об одном аналоге уравнения типа Лиувилля со сверхсингулярной линией // Дифференциальные и интегральные уравнения. - Душанбе, 2001. - С. 143 - 147.
Кунгурцев А.А. Задачи с нормальными производными в граничных условиях для нелинейных уравнений гиперболического типа: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. -Казань, 2008. - 16 с.
Научная новизна. В диссертации получен ряд новых научных результатов, связанных с постановкой задачи и построением явных аналитических решений рассматриваемых дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа.
Получена формула явных решений для линейного дифференциального уравнения третьего порядка общего вида методом сведения к системе трех линейных дифференциальных уравнений первого порядка.
Методом сведения квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка с граничной сингулярной линией, со многими сингулярными линиями и с граничной сингулярной точкой к линейным дифференциальным уравнениям первого порядка с соответствующими сингулярными коэффициентами, получены формулы их интегральных представлений.
На основе метода Н.Р. Раджабова получены формулы интегральных представлений многообразия решений для квазилинейных уравнений третьего и второго порядков с регулярными коэффициентами.
На основе полученных интегральных представлений поставлены и в явном виде найдены решения граничных задач различного типа.
Доказана единственность решения поставленных граничных задач.
Для уравнений с сингулярными коэффициентами изучены поведения решений в окрестностях точек соответствующих сингулярных линий.
Научная и практическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и методы исследования могут быть использованы в дальнейшем при разработке теории сингулярных уравнений гиперболического типа и решения различных граничных задач.
Материал диссертации может быть также использован в вузовских лекционных курсах на кафедрах физико-математического профиля.
Апробация работы. Основные результаты по теме диссертационного исследования докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры дифференциальных и интегральных уравнений факультета математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета (руководитель - доктор физико-математических наук, профессор А.И. Задорожный); кафедры дифференциальных уравнений и математической физики факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов (руководитель - доктор физико-математических наук, профессор А.Л. Скубачевский); кафедры дифференциальных уравнений математического факультета Дагестанского государственного университета (руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Г. А. Айгунов); кафедры теории функций и математического анализа Таджикского государственного национального университета (руководитель - академик АНРТ, доктор физико-математических наук, профессор Н.Р. Раджабов); кафедры функционального анализа и операторных уравнений Воронежского государственного университета (руководитель - доктор физико-математических наук, профессор И.Я. Новиков).
Также результаты диссертационной работы докладывались на Международной конференции «Математика. Экономика. Образование» и Международном симпозиуме «Ряды Фурье и их приложения» (г. Ростов - на -Дону, 2006г, 2008г.), на III Международной научной конференции «Функционально - дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Махачкала, 2007г.), на II Международной научно - технической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (г. Пенза, 2007г.), на III Международной конференции «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования» (г. Москва, 2008г.); на Международной научно-образовательной конференции «Наука в вузах: математика, физика, информатика. Проблемы высшего и среднего профессионального образования» (г. Москва, 2009г.), на Международной научной конференции «Образование, наука и экономика в вузах. Интеграция в международное образовательное пространство» ( г. Плоцк, Польша, 2010).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 10 работах, список которых приведен в конце автореферата. Статьи [2], [7], [8] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ. В совместных работах [1], [4], [6], [7], [8] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, разбитых на 14 параграфов, заключения и списка литературы. Библиография содержит 88 наименований. Общий объем работы - 86 страниц.
Похожие диссертации на Интегральные представления решений и граничные задачи для некоторых квазилинейных уравнений гиперболического типа
