Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Краевая задача для вырождающегося уравнения параболического типа с краевым условием третьего рода
1.1. Постановка, задачи
1.2. Априорная оценка для решения дифференциальной задачи
1.3. Метод Ротэ
1.4. Построение разностной схемы, устойчивость и сходимость
1.5. Краевая задача для вырождающегося уравнения параболического типа с сосредоточенной теплоемкостью
1.6. Краевая задача для вырождающегося уравнения параболического типа с конвективным членом
Глава 2. Краевая задача для вырождающегося уравнения параболического типа с нелокальным краевым условием
2.1. Постановка задачи
2.2. Априорная оценка для решения дифференциальной задачи
2.3. Сходимость итерационного процесса для нелокальной краевой задачи с вырождением
2.4. Метод Ротэ
2.5. Построение разностной схемы, устойчивость и сходимость
Глава 3. Нелокальная, нелинейная краевая задача для параболического уравнения в двумерной области
3.1. Постановка задачи
3.2. Линеаризация нелинейной задачи
3.3. Априорная опенка для решения линейной задачи
3.4. Разностная схема Литература
- Априорная оценка для решения дифференциальной задачи
- Краевая задача для вырождающегося уравнения параболического типа с конвективным членом
- Сходимость итерационного процесса для нелокальной краевой задачи с вырождением
- Априорная опенка для решения линейной задачи
Введение к работе
Вопросы, связанные с процессом диффузии частин в турбулент-
* ной плазме, с переносом влаги в почво-грунтах, а также с процессом
распространения тепла в тонком нагретом стержне, если задан закон
изменения общего количества тепла стержня, приводят к нелокальным
задачам, для дифференциальных уравнений математической физики.
К первым работам с неклассическими граничными условиями для обших параболических уравнений относятся, по-видимому, работы Камынина Л.И. [20] и Чудновского А.Ф. [46], [47]. После появления работы Бицадзе А.В. и Самарского А.А. [б], внимание математиков все чаще
# стали привлекать нелокальные задачи математической физики. Раз
личные классы нелокальных задач для дифференциальных уравнений
с частными производными изучались в работах Ионкина Н.И. [15].[16],
Самарского А.А. [35], Ионкина Н.И... Моисеева. Е.И. [19], Ильина В.А.,
Моисеева Е.И. [13]-[14], Шополова Н.Н. [48], Гордезиани Д.Г. [9]-[П],
Нахушева A.M. [27]-[28], Шханукова М.Х. [49]-[50], Керефова А.А. [21],
Митропольского Ю.А., Шханукова М.Х., Березовского А.А. [24], Му
равей Л.А., Филиновского А.В. [26], Житарашу Н.В., Эйдельмана С.Д.
[12], Солдатова А.П.. Шханукова М.Х. [42] и др.
Проведем обзор некоторых классов нелокальных задач, возникающих в различных областях знаний.
Рассмотрим толщу почвы от поверхности земли до уровня грунтовых вод (зона аэрации). В этой зоне влагоперенос, в случае движения влаги в вертикальном направлении под воздействием силы тяжести и капиллярного давления, описывается диффузионной моделью
д_ дх
д w
~dt
D{w)—-K{xv) ах
+ /(.г, w), 0 < х < I, 0
где w(x.t) - объемная влажность почвы; D(w) - коэффициент диффузивности:
K(w) - коэффициент влагопроводности.
Чулновский А.Ф. в работе [46] обратил внимание на недостаточно критический подход к формулировке граничных условий и впервые, по крайней мере для уравнения влагопереноса, сформулировал задачу с нелокальным условием:
= 0, (0.3)
ОХ х = /у
w(x,0) = <р(х), 0< х < а. (0.4)
Нелокальное условие (0.2) означает, что поток влаги через поверхность х = 0 равен содержанию влаги в активном слое почвы от 0 до а.
Камынин Л.И. в работе [20] рассматривал для параболического уравнения второго порядка общего вида нелокальное условие вида
/ g(x,t)u(x,t)dx = E{t), 0 < < Т, х,'(0 где у(().7 = 1,2: д{хЛ). E(t) - известные функции.
В работе [36] Самарский А.А. поставил для параболических уравнений задачу с нелокальным условием общего вида:
a, (t)u((), t) + а2 [t)u{l, і) + а.л{t)uJ0, і) + а4 (t)ujl, t) = ^, {*)-.
При изучении популяционных моделей возникает другой класс нелокальных условий.
Пусть u(x.t) - плотность численности популяции возраста х в момент времени t. Тогда, как показано в работе [8], u(x.t) является решением нелокальной задачи
ut 4- их = h(x, і)., 0 < х < l, t> 0, (0.5)
и(.г\0) = ^(х), (0.6)
і.
u{Q.t) = і c{x,t)u{x,t)dx, (0.7)
где '{х) " начальное возрастное распределение, а условие (0.7) называется законом рождаемости, c{x.t) - коэффициент рождаемости. Здесь следует заметить, что задачи, возникающие в математической биологии, как правило, нелокальные (см. [29]).
Нелокальные условия вида (0.7) для параболических уравнений возникают при математическом моделировании технологических процессов, применяющихся для очистки кремниевых плит от примеси, а также в теории солепереносав почвогрунтах при интенсивном испарении [2 5]-[26].
В работе [15] методом Фурье доказано существование и единственность решения нелокальной задачи
ut = а2иге, 0 < х < I, t > 0.,
u(0,t) = w(U), u^A) = g(t),
?і(.ї,0) = u0{x).
К результатам работы [36] близко примыкают результаты Шопо-лова Н.Н. [48]. В работах [13]-[14]. [50] для обыкновенного дифференциального уравнения
т - d
Цх)^ -q(x)u=-f(x): ()<х<1
dx изучены нелокальные задачи:
Ц0)=0, и(1) = ^аьи{^
где fr - фиксированные точки интервала (0.1);
u(0) = 0} П(1)=^а,П(^):
А-=1.
где П(.т) — — /е(:г)4т - поток через сечение .т. a-fe - постоянные числа.
В этих же работах получены априорные оценки в нормах С. \\\ . W~ в дифференциальной и разностной трактовках.
Равномерно сходящиеся разностные схемы построены в работе [16] для нелокальной задачи
ut = ихх + /(я, t), 0 < х < і, о < t <; т,
и{{)Л) = 0, «л (0, i) = wx. (1,(), о < t ^ т,
u(a-,0) = ^(э;), 0 < х < /.
В работе [17] построены схемы повышенного порядка точности (О(/і4)) для решения нелокальной задачи
d Г, , ч at и"
к(х)— - q{x)u = -/(х-), 0 < х < 1.
dx V dx. и(0) = 0, fc(0)u'(0) = fc(l)u'(l).
Гордезиани Д.Г. в ряде своих работ [9]-[11] для решения нелокальных задач использовал иной подход, который заключается в сведении нелокальных задач к локальным с помощью итерационного метода. При этом дается оценка скорости сходимости итерационного процесса.
В работе Нахушева A.M. [28] впервые указана связь нелокальных задач с нагруженными уравнениями: нелокальные задачи типа Бицадэе-Самарского для уравнений Лапласа и теплопроводности сведены к локальным задачам для нагруженных уравнений. Этот факт используется в ряде работ для численного решения нелокальных задач математической физики (см.. например, [49]).
Разностным методам решения нелокальных краевых задач посвящены работы [15], [13]. [16]. [18]. [51]. [2], [52]. Вопросам построения экономичных разностных схем в цилиндрических и сферических координатах посвящены работы [39]-[40], [45].
Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию нелокальных краевых задач для вырождающихся уравнений параболического типа. В работе изучаются вопросы единственности решений рассматриваемых задач, строятся разностные схемы и доказывается сходимость построенных разностных схем.
Работа состоит из введения и трех глав.
Априорная оценка для решения дифференциальной задачи
Вопросы, связанные с процессом диффузии частин в турбулент ной плазме, с переносом влаги в почво-грунтах, а также с процессом распространения тепла в тонком нагретом стержне, если задан закон изменения общего количества тепла стержня, приводят к нелокальным задачам, для дифференциальных уравнений математической физики. К первым работам с неклассическими граничными условиями для обших параболических уравнений относятся, по-видимому, работы Камынина Л.И. [20] и Чудновского А.Ф. [46], [47]. После появления работы Бицадзе А.В. и Самарского А.А. [б], внимание математиков все чаще # стали привлекать нелокальные задачи математической физики. Раз личные классы нелокальных задач для дифференциальных уравнений с частными производными изучались в работах Ионкина Н.И. [15].[16], Самарского А.А. [35], Ионкина Н.И... Моисеева. Е.И. [19], Ильина В.А., Моисеева Е.И. [13]-[14], Шополова Н.Н. [48], Гордезиани Д.Г. [9]-[П], Нахушева A.M. [27]-[28], Шханукова М.Х. [49]-[50], Керефова А.А. [21], Митропольского Ю.А., Шханукова М.Х., Березовского А.А. [24], Му равей Л.А., Филиновского А.В. [26], Житарашу Н.В., Эйдельмана С.Д. [12], Солдатова А.П.. Шханукова М.Х. [42] и др. Проведем обзор некоторых классов нелокальных задач, возникающ диффузии частин в турбулент ной плазме, с переносом влаги в почво-грунтах, а также с процессом распространения тепла в тонком нагретом стержне, если задан закон изменения общего количества тепла стержня, приводят к нелокальным задачам, для дифференциальных уравнений математической физики. К первым работам с неклассическими граничными условиями для обших параболических уравнений относятся, по-видимому, работы Камынина Л.И. [20] и Чудновского А.Ф. [46], [47]. После появления работы Бицадзе А.В. и Самарского А.А. [б], внимание математиков все чаще # стали привлекать нелокальные задачи математической физики. Раз личные классы нелокальных задач для дифференциальных уравнений с частными производными изучались в работах Ионкина Н.И. [15].[16], Самарского А.А. [35], Ионкина Н.И... Моисеева. Е.И. [19], Ильина В.А., Моисеева Е.И. [13]-[14], Шополова Н.Н. [48], Гордезиани Д.Г. [9]-[П], Нахушева A.M. [27]-[28], Шханукова М.Х. [49]-[50], Керефова А.А. [21], Митропольского Ю.А., Шханукова М.Х., Березовского А.А. [24], Му равей Л.А., Филиновского А.В. [26], Житарашу Н.В., Эйдельмана С.Д. [12], Солдатова А.П.. Шханукова М.Х. [42] и др. Проведем обзор некоторых классов нелокальных задач, возникающих в различных областях знаний. Рассмотрим толщу почвы от поверхности земли до уровня грунтовых вод (зона аэрации).
В этой зоне влагоперенос, в случае движения влаги в вертикальном направлении под воздействием силы тяжести и капиллярного давления, описывается диффузионной моделью K(w) - коэффициент влагопроводности. Чулновский А.Ф. в работе [46] обратил внимание на недостаточно критический подход к формулировке граничных условий и впервые, по крайней мере для уравнения влагопереноса, сформулировал задачу с нелокальным условием: Нелокальное условие (0.2) означает, что поток влаги через поверхность х = 0 равен содержанию влаги в активном слое почвы от 0 до а. Камынин Л.И. в работе [20] рассматривал для параболического уравнения второго порядка общего вида нелокальное условие вида В работе [36] Самарский А.А. поставил для параболических уравнений задачу с нелокальным условием общего вида: При изучении популяционных моделей возникает другой класс нелокальных условий. Пусть u(x.t) - плотность численности популяции возраста их в различных областях знаний. Рассмотрим толщу почвы от поверхности земли до уровня грунтовых вод (зона аэрации). В этой зоне влагоперенос, в случае движения влаги в вертикальном направлении под воздействием силы тяжести и капиллярного давления, описывается диффузионной моделью K(w) - коэффициент влагопроводности. Чулновский А.Ф. в работе [46] обратил внимание на недостаточно критический подход к формулировке граничных условий и впервые, по крайней мере для уравнения влагопереноса, сформулировал задачу с нелокальным условием: Нелокальное условие (0.2) означает, что поток влаги через поверхность х = 0 равен содержанию влаги в активном слое почвы от 0 до а. Камынин Л.И. в работе [20] рассматривал для параболического уравнения второго порядка общего вида нелокальное условие вида В работе [36] Самарский А.А. поставил для параболических уравнений задачу с нелокальным условием общего вида: При изучении популяционных моделей возникает другой класс нелокальных условий. Пусть u(x.t) - плотность численности популяции возраста х в момент времени t. Тогда, как показано в работе [8], u(x.t) является решением нелокальной задачи
Краевая задача для вырождающегося уравнения параболического типа с конвективным членом
В предыдущей главе было показано, что погрешность аппроксимации уравнения (2.1) - величина порядка 0{-}- +/- 1Г), а погрешность аппроксимации краевого условия (2.2) - величина порядка (){h2 + тт т). Вычислим погрешность аппроксимации для разностного краевого условия (2.56): - - \d„uN + +0(Л2 +rm") = 0(ft2 + rm Таким образом, погрешность аппроксимации для разностного краевого условия: (2.56) - величина порядка 0(1г2 + ттсг). Покажем, что если выполнены условия (2.5) и d0 = q(Q. t) с3 0. то решение разностной залачи (2.54)-(2.57) сходится к решению дифференциальной задачи (2.1)-(2.4). Рассмотрим симметричную схему (а = ) и запишем задачу для погрешности симметричной схемы в виде И2і -й d«( + 4 - + ( , " (i + z)) ixT-«i2 + i.x (i+ г)]Є. Учитывая полученные оценки, из (2.60) получаем неравенство +т(2 -2) )..И + Ч 5Г"? + Т" - (2 61) где M, = (c, + — + i) . M, = (i + з-ДГ с, + if) На основании леммы 2 из г.лавы 1 имеем г С т0 решение разностной задачи (2.54)-(2.57) сходится к решению дифференциальной задачи (2.1)-(2.4) со скоростью 0(h i + г-г ). в НОрМЄ i,i) Нелокальное условие в граничном условии приводит к нарушению трех диагональной структуры матрицы коэффициентов разностной схемы. Поэтому для решения полученной системы разностных уравнений тт т). Вычислим погрешность аппроксимации для разностного краевого условия (2.56): - - \d„uN + +0(Л2 +rm") = 0(ft2 + rm Таким образом, погрешность аппроксимации для разностного краевого условия: (2.56) - величина порядка 0(1г2 + ттсг). Покажем, что если выполнены условия (2.5) и d0 = q(Q. t) с3 0. то решение разностной залачи (2.54)-(2.57) сходится к решению дифференциальной задачи (2.1)-(2.4). Рассмотрим симметричную схему (а = ) и запишем задачу для погрешности симметричной схемы в виде И2і -й d«( + 4 - + ( , " (i + z)) ixT-«i2 + i.x (i+ г)]Є. Учитывая полученные оценки, из (2.60) получаем неравенство +т(2 -2) )..И + Ч 5Г"? + Т" - (2 61) где M, = (c, + — + i) . M, = (i + з-ДГ с, + if) На основании леммы 2 из г.лавы 1 имеем г С т0 решение разностной задачи (2.54)-(2.57) сходится к решению дифференциальной задачи (2.1)-(2.4) со скоростью 0(h i + г-г ). в НОрМЄ i,i)
Нелокальное условие в граничном условии приводит к нарушению трех диагональной структуры матрицы коэффициентов разностной схемы. Поэтому для решения полученной системы разностных уравнений можно использовать либо итерационные метолы решения, либо метод окаймления [44], позволяющий, в данном случае, свести решение системы линейных уравнений с нарушенной трехдиагональной структурой матрицы коэффициентов к решению двух систем с трехдиагональной матрицей коэффициентов [41],[1]. Нелокальные задачи вида (3.1) возникают при изучении теплового режима в теплопроводяшем полом цилиндре {Rl г R2. 0 27г, — оо г оо} с теплопроводяшими серыми однородными поверхностями г = л,. / = я.,. Далее, учитывая условие периодичности, для второго слагаемого в правой части (3.7) получаем Учитывая последнее неравенство, в котором возьмем обозначение сЕ — ( R X_R—h ;j. запишем оценки для интегралов в правой части неравенства (3.8): " 0 / ( " n и " Q/. Из последнего неравенства находим Оценка (3.15). при малом L таком, что M{t) 1, означает сходимость итерационного процесса (3.2). Рассмотренный в предыдущем параграфе метод линеаризации позволяет вместо исходной нелинейной задачи решать линейную задачу на каждой итерации. В этом и следующем параграфе будем заниматься исследованием линейной задачи. В цилиндре QT = Qx(Q.T), Q = {(г, р) : R} г R2, 0 у 2тг} рас с м о тр и м з а дач у вместе со своими производными до порядка m включительно по пространственным переменным и до порядка п по t. \q\ с, . АКс2, /5э с3, Л с4. Покажем, что решение задачи (3.16)-(3.19) единственно и устойчиво относительно малых возмущений входных данных. Введем скалярное произведение [u.v) = j fuvdrdp и норму о к1 Умножим уравнение (3.16) скалярно на ги t ди. \ Преобразуем можно использовать либо итерационные метолы решения, либо метод окаймления [44], позволяющий, в данном случае, свести решение системы линейных уравнений с нарушенной трехдиагональной структурой матрицы коэффициентов к решению двух систем с трехдиагональной матрицей коэффициентов [41],[1]. Нелокальные задачи вида (3.1) возникают при изучении теплового режима в теплопроводяшем полом цилиндре {Rl г R2. 0 27г, — оо г оо} с теплопроводяшими серыми однородными поверхностями г = л,. / = я.,. Далее, учитывая условие периодичности, для второго слагаемого в правой части (3.7) получаем Учитывая последнее неравенство, в котором возьмем обозначение сЕ — ( R X_R—h ;j. запишем оценки для интегралов в правой части неравенства (3.8): " 0 / ( " n и " Q/. Из последнего неравенства находим Оценка (3.15). при малом L таком, что M{t) 1, означает сходимость итерационного процесса (3.2). Рассмотренный в предыдущем параграфе метод линеаризации позволяет вместо исходной нелинейной задачи решать линейную задачу на каждой итерации. В этом и следующем параграфе будем заниматься исследованием линейной задачи. В цилиндре QT = Qx(Q.T), Q = {(г, р) : R} г R2, 0 у 2тг} рас с м о тр и м з а дач у вместе со своими производными до порядка m включительно по пространственным переменным и до порядка п по t. \q\ с, . АКс2, /5э с3, Л с4. Покажем, что решение задачи (3.16)-(3.19) единственно и устойчиво относительно малых возмущений входных данных. Введем скалярное произведение [u.v) = j fuvdrdp и норму о к1 Умножим уравнение (3.16) скалярно на ги t ди. \ Преобразуем слагаемые, входящие в тождество {3.20):
Сходимость итерационного процесса для нелокальной краевой задачи с вырождением
На основании леммы 2 из г.лавы 1 имеем г С т0 решение разностной задачи (2.54)-(2.57) сходится к решению дифференциальной задачи (2.1)-(2.4) со скоростью 0(h i + г-г ). в НОрМЄ i,i) Нелокальное условие в граничном условии приводит к нарушению трех диагональной структуры матрицы коэффициентов разностной схемы. Поэтому для решения полученной системы разностных уравнений тт т). Вычислим погрешность аппроксимации для разностного краевого условия (2.56): - - \d„uN + +0(Л2 +rm") = 0(ft2 + rm Таким образом, погрешность аппроксимации для разностного краевого условия: (2.56) - величина порядка 0(1г2 + ттсг). Покажем, что если выполнены условия (2.5) и d0 = q(Q. t) с3 0. то решение разностной залачи (2.54)-(2.57) сходится к решению дифференциальной задачи (2.1)-(2.4). Рассмотрим симметричную схему (а = ) и запишем задачу для погрешности симметричной схемы в виде И2і -й d«( + 4 - + ( , " (i + z)) ixT-«i2 + i.x (i+ г)]Є. Учитывая полученные оценки, из (2.60) получаем неравенство +т(2 -2) )..И + Ч 5Г"? + Т" - (2 61) где M, = (c, + — + i) . M, = (i + з-ДГ с, + if) На основании леммы 2 из г.лавы 1 имеем г С т0 решение разностной задачи (2.54)-(2.57) сходится к решению дифференциальной задачи (2.1)-(2.4) со скоростью 0(h i + г-г ). в НОрМЄ i,i) Нелокальное условие в граничном условии приводит к нарушению трех диагональной структуры матрицы коэффициентов разностной схемы. Поэтому для решения полученной системы разностных уравнений можно использовать либо итерационные метолы решения, либо метод окаймления [44], позволяющий, в данном случае, свести решение системы линейных уравнений с нарушенной трехдиагональной структурой матрицы коэффициентов к решению двух систем с трехдиагональной матрицей коэффициентов [41],[1]. Нелокальные задачи вида (3.1) возникают при изучении теплового режима в теплопроводяшем полом цилиндре {Rl г R2. 0 27г, — оо г оо} с теплопроводяшими серыми однородными поверхностями г = л,. / = я.,. Далее, учитывая условие периодичности, для второго слагаемого в правой части (3.7) получаем Учитывая последнее неравенство, в котором возьмем обозначение сЕ — ( R X_R—h ;j. запишем оценки для интегралов в правой части неравенства (3.8): " 0 / ( " n и " Q/. Из последнего неравенства находим Оценка (3.15). при малом L таком, что M{t) 1, означает сходимость итерационного процесса (3.2). Рассмотренный в предыдущем параграфе метод линеаризации позволяет вместо исходной нелинейной задачи решать линейную задачу на каждой итерации. В этом и следующем параграфе будем заниматься исследованием линейной задачи. В цилиндре QT = Qx(Q.T), Q = {(г, р) : R} г R2, 0 у 2тг} рас с м о тр и м з а дач у вместе со своими производными до порядка m включительно по пространственным переменным и до порядка п по t. \q\ с, . АКс2, /5э с3, Л с4. Покажем, что решение задачи (3.16)-(3.19) единственно и устойчиво относительно малых возмущений входных данных. Введем скалярное произведение [u.v) = j fuvdrdp и норму о к1 Умножим уравнение (3.16) скалярно на ги t ди. \
Преобразуем можно использовать либо итерационные метолы решения, либо метод окаймления [44], позволяющий, в данном случае, свести решение системы линейных уравнений с нарушенной трехдиагональной структурой матрицы коэффициентов к решению двух систем с трехдиагональной матрицей коэффициентов [41],[1]. Нелокальные задачи вида (3.1) возникают при изучении теплового режима в теплопроводяшем полом цилиндре {Rl г R2. 0 27г, — оо г оо} с теплопроводяшими серыми однородными поверхностями г = л,. / = я.,. Далее, учитывая условие периодичности, для второго слагаемого в правой части (3.7) получаем Учитывая последнее неравенство, в котором возьмем обозначение сЕ — ( R X_R—h ;j. запишем оценки для интегралов в правой части неравенства (3.8): " 0 / ( " n и " Q/. Из последнего неравенства находим Оценка (3.15). при малом L таком, что M{t) 1, означает сходимость итерационного процесса (3.2). Рассмотренный в предыдущем параграфе метод линеаризации позволяет вместо исходной нелинейной задачи решать линейную задачу на каждой итерации. В этом и следующем параграфе будем заниматься исследованием линейной задачи. В цилиндре QT = Qx(Q.T), Q = {(г, р) : R} г R2, 0 у 2тг} рас с м о тр и м з а дач у вместе со своими производными до порядка m включительно по пространственным переменным и до порядка п по t. \q\ с, . АКс2, /5э с3, Л с4. Покажем, что решение задачи (3.16)-(3.19) единственно и устойчиво относительно малых возмущений входных данных. Введем скалярное произведение [u.v) = j fuvdrdp и норму о к1 Умножим уравнение (3.16) скалярно на ги t ди. \ Преобразуем слагаемые, входящие в тождество {3.20):
Априорная опенка для решения линейной задачи
Вопросы, связанные с процессом диффузии частин в турбулент ной плазме, с переносом влаги в почво-грунтах, а также с процессом распространения тепла в тонком нагретом стержне, если задан закон изменения общего количества тепла стержня, приводят к нелокальным задачам, для дифференциальных уравнений математической физики. К первым работам с неклассическими граничными условиями для обших параболических уравнений относятся, по-видимому, работы Камынина Л.И. [20] и Чудновского А.Ф. [46], [47]. После появления работы Бицадзе А.В. и Самарского А.А. [б], внимание математиков все чаще # стали привлекать нелокальные задачи математической физики. Раз личные классы нелокальных задач для дифференциальных уравнений с частными производными изучались в работах Ионкина Н.И. [15].[16], Самарского А.А. [35], Ионкина Н.И... Моисеева. Е.И. [19], Ильина В.А., Моисеева Е.И. [13]-[14], Шополова Н.Н. [48], Гордезиани Д.Г. [9]-[П], Нахушева A.M. [27]-[28], Шханукова М.Х. [49]-[50], Керефова А.А. [21], Митропольского Ю.А., Шханукова М.Х., Березовского А.А. [24], Му равей Л.А., Филиновского А.В. [26], Житарашу Н.В., Эйдельмана С.Д. [12], Солдатова А.П.. Шханукова М.Х. [42] и др. Проведем обзор некоторых классов нелокальных задач, возникающ диффузии частин в турбулент ной плазме, с переносом влаги в почво-грунтах, а также с процессом распространения тепла в тонком нагретом стержне, если задан закон изменения общего количества тепла стержня, приводят к нелокальным задачам, для дифференциальных уравнений математической физики. К первым работам с неклассическими граничными условиями для обших параболических уравнений относятся, по-видимому, работы Камынина Л.И. [20] и Чудновского А.Ф. [46], [47]. После появления работы Бицадзе А.В. и Самарского А.А. [б], внимание математиков все чаще # стали привлекать нелокальные задачи математической физики. Раз личные классы нелокальных задач для дифференциальных уравнений с частными производными изучались в работах Ионкина Н.И. [15].[16], Самарского А.А. [35], Ионкина Н.И... Моисеева. Е.И. [19], Ильина В.А., Моисеева Е.И. [13]-[14], Шополова Н.Н. [48], Гордезиани Д.Г. [9]-[П], Нахушева A.M. [27]-[28], Шханукова М.Х. [49]-[50], Керефова А.А. [21], Митропольского Ю.А., Шханукова М.Х., Березовского А.А. [24], Му равей Л.А., Филиновского А.В. [26], Житарашу Н.В., Эйдельмана С.Д. [12], Солдатова А.П.. Шханукова М.Х. [42] и др. Проведем обзор некоторых классов нелокальных задач, возникающих в различных областях знаний. Рассмотрим толщу почвы от поверхности земли до уровня грунтовых вод (зона аэрации).
В этой зоне влагоперенос, в случае движения влаги в вертикальном направлении под воздействием силы тяжести и капиллярного давления, описывается диффузионной моделью K(w) - коэффициент влагопроводности. Чулновский А.Ф. в работе [46] обратил внимание на недостаточно критический подход к формулировке граничных условий и впервые, по крайней мере для уравнения влагопереноса, сформулировал задачу с нелокальным условием: Нелокальное условие (0.2) означает, что поток влаги через поверхность х = 0 равен содержанию влаги в активном слое почвы от 0 до а. Камынин Л.И. в работе [20] рассматривал для параболического уравнения второго порядка общего вида нелокальное условие вида В работе [36] Самарский А.А. поставил для параболических уравнений задачу с нелокальным условием общего вида: При изучении популяционных моделей возникает другой класс нелокальных условий. Пусть u(x.t) - плотность численности популяции возраста их в различных областях знаний. Рассмотрим толщу почвы от поверхности земли до уровня грунтовых вод (зона аэрации). В этой зоне влагоперенос, в случае движения влаги в вертикальном направлении под воздействием силы тяжести и капиллярного давления, описывается диффузионной моделью K(w) - коэффициент влагопроводности. Чулновский А.Ф. в работе [46] обратил внимание на недостаточно критический подход к формулировке граничных условий и впервые, по крайней мере для уравнения влагопереноса, сформулировал задачу с нелокальным условием: Нелокальное условие (0.2) означает, что поток влаги через поверхность х = 0 равен содержанию влаги в активном слое почвы от 0 до а. Камынин Л.И. в работе [20] рассматривал для параболического уравнения второго порядка общего вида нелокальное условие вида В работе [36] Самарский А.А. поставил для параболических уравнений задачу с нелокальным условием общего вида: При изучении популяционных моделей возникает другой класс нелокальных условий. Пусть u(x.t) - плотность численности популяции возраста х в момент времени t. Тогда, как показано в работе [8], u(x.t) является решением нелокальной задачи
