Содержание к диссертации
Стр.
ВВЕДЕНИЕ. ....... t ...... .. 4
ГЛАВА I. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ПУАНКАРЕ-ТРИКОМИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА С РАЗРЫВНЫМ! КОЭФФИЦИЕНТАМИ ........ 15
I. Постановка задачи Пуанкаре-Трикоми и доказательство единственности решения. 15
Постановка задачи ......... 15
Единственность решения задачи РТ. 18 2. Основное соотношение между Т~ СХ} и
nT (JX). .............. 25
2.1. Задача Коши - Гурса 25
3. Существования решения задачи РТ. . . . . . 26
Схема доказательства существования решения задачи РТ. 26
Функция Грина задачи К для уравнения Лапласа 27
3.3. Задача JVT для уравнения (I.I). . 33
3.4. Сингулярное интегральное уравне
ние относительно v(X) 41
3.5. Существование решения задачи РТ. 43
ГЛАВА П. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА С НЕГЛАДКОЙ ЛИНИЕЙ ВЫРОЖДЕНИЯ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ. 73
- З - І. Краевые задачи для уравнения
в первом квадранте ..... 73
I.I. Постановка задач и теоремы единствен
ности 73
Задача Я*&± 79
Исследование задач №Ъг , П^*3 и К
2. Задача Трикоми для уравнения
в неограниченной области 100
Постановка задачи Т и единственность ее решения 100
Доказательство существования решения задачи Т ........ . . . 120
Л И Т Е Р А ТУ Р А .............. . 141
Введение к работе
Теория уравнений смешанного типа является одним из важнейших разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Первым фундаментальным исследованием по уравнениям смешанного типа явилась работа Ф.Трикоми [54]
Дальнейшее интенсивное развитие и интерес к уравнениям смешанного типа вызван, прежде всего, их исключительной прикладной важностью.
Впервые Ф.И.Франкль І57] обратил внимание на то, что ряд задач околозвуковой газовой динамики приводится к раз> личным краевым задачам для уравнений смешанного типа. Уравнения смешанного типа находят приложения также в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, магнитной гидродинамике и в других областях естествознания.
Довольно подробно изучены основные краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа и некоторые задачи для более общих уравнений. Основная библиография содержится в книгах І6] ,18 Ы9] ,І20) ,148} ,І52]. В этих работах в основном изучаются задача Трикоми, задачи Г еллерстедта, общая смешанная задача А.В.Бицадзе, задача Франкля и т.д.
Немногочисленные работы посвящены краевым задачам с конормальной (нормальной) производной или линейной комбинацией искомой функции с ее конормальной производной для об-
щих линейных уравнений смешанного типа [із] , [14] ,[49],
155] ,159] .
Краевая задача Трикоми и ее обобщения для общего уравнения Лаврентьева-Бицадзе рассмотрены С.П.Пулькиным
[45] , Т.Каратопраклиевым[24] , Л.Е.Востровой [14] Краевая задача с условием Пуанкаре на эллиптической части границы смешанной области изучена для уравнений Трикоми и Лаврентьева-Бицадзе Б.В.Мелентьевым [35*] , [36] .
Начиная с 1969 года, после работ А.В.Бицадзе [ю],
[її] и А,М.Нахушева [41] в теории уравнений смешанного типа с гладкой и негладкой линиями вырождения появилось новое направление, где рассматриваются нелокальные краевые задачи (задачи со смещением), когда на эллиптической части границы задается условие Дирихле или конормальная производная искомого решения, а на гиперболической части - некоторое нелокальное условие, поточечно связывающее значение решения и его производной, вообще говоря дробной, определенного порядка, зависящей от порядка вырождения. С краевыми задачами со смещением тесно связаны также задачи типа задачи Бицадзе - Самарского [12] Упомянутым выше задачам для уравнений смешанного типа с гладкой линией вырождения посвящены работы [I] ,[21] ,[26] ,[42],[43],[53] .
Уравнения смешанного типа с негладкой линией, но с одинаковым порядком вырождения рассмотрены в работах [22], [23],[32], [50] и др. Задача Трикоми с локальными и нелокальными краевыми условиями в конечной смешанной области для уравнения смешанного типа с различным порядком вырождения исследованы в [47],[58] .
Исследованиям краевых задач в неограниченных областях
посвящены работы [2] , [і7],[іб] ,[29},[30] ,[32],[33] ,[56], І62І.
Настоящая диссертаодонная работа, состоящая из введения и двух глав, посвящена исследованию краевой задачи Пуанкаре - Трикоми для уравнения
(і)
причем 1-І при "Ч > 0 , 1-1 при VI < 0 , в конечной области и задачи Трикоми для уравнения
S^A^ru^^x^U^O, т,ц.=«тЬ0 (2)
в неограниченной области.
В первой главе, состоящей из трех параграфов ставится и исследуется задача РТ (Пуанкаре - Трикоми) для уравнения
(I).
Пусть д)^ - область в полуплоскости U >0 ограниченная кривой <г> , опирающейся на точки Л (~i,0),
В (1,0) и отрезком Л& прямой VI ^0 В полуплоскости U < 0 рассмотрим область Д\ , ограниченную тем же отрезком оси Ц—0 и двумя характеристиками
Л С". X^rU =-i, BC/.OC-Vl^t уравнения (I). Введем обозначения:
Определение, Обобщенным решением уравнения (I) из класса &І45І в характеристическом треугольнике
3)—Л0ВоС09 в который переходит область ЛЗг при ^ X -\- "Ц , У^^Х^'Ц называется функция 11 (Jr , У\} , которая может быть представлена в области ^Ь- Формулой Римана
+
где <ТГ (,Х> е (5 ) П СЧ ^ Ї , ^ІХ) - абсолютно интегрируемая функция на ^3 и ^ ^Х^Є С.^!)) . Здесь приняты следующие обозначения
J^ f -> \ '> ? ^С) ~ ФУНКЦИЯ Римана уравнения (I). В первом параграфе приводится постановка задачи и доказывается единственность ее решения.
Зада ч a FT. Требуется определить функцию 11(,.М) со следующими свойствами:
I) Ц,СХ-,Ц)^^- ^х) и удовлетворяет в j\ уравнению (І) а в области Д)~ является обобщенным реше-
- 8 -ниєм уравнения (І) класса j\ ;
2) UCx,\^eC(^i) , 1 = 4,1;
3) Ux , II u Є С (^ЧАХЬ/ВзІП), причем
в точках Л и В они могут обращаться в бесконечность порядка ниже единицы;
4) выполняются условия склеивания _
U(X,+ 0W(X)Utxr0)-vj(0O, хєЗ,
где oUX> , ^СХ> , ^(3 (J (а), заданные функции со следующими свойствами:
удовлетворяет условию Гельдера на t) ;
удовлетворяют условию Гельдера на 5 и ^х> + 0, VXD
^^WCX> >0, СЗСЄ "5 ,
5) Ы(ЭС,1Л удовлетворяет граничным условиям
I to
u(j^V^> -4***0,
- 9 -где L - длина дуги <^ » отсчитываемая от точки
Я\3 (,Х) удовлетворяют условию Гельдера. Для задачи РТ устанавливается аналог принципа экстремума А.В.Бицадзе, из которого следует единственность решения задачи РТ.
Не ограничивая общности можно предполагать, что У W ^ t ^ - С? СХ> *0, ot(pt)si.B дальнейшем задача РТ изучается при У(ЭС) = УЧЭС^ ~Q(^с)~0, Ы(рс>=^.
При доказательстве существования решения задачи РТ, относительно кривой > параметрическое уравнение которой имеет вид ^ (^ , V) =; V) ^ предполагается,что
функции ^M,^S)t tQ,tl, причем вторые производные удовлетворяют условию Гельдера при 0 4 S ^ I ;
кривая < оканчивается двумя сколь угодно малой длины дугами нормальной кривой <оо : -vVj «. 1 , а в остальной части отклоняется от этой кривой наружу.
Для доказательства существования решения задачи РТ используется однозначная разрешимость следующей задачи. Задач а 1 Требуется определить функцию иЛ^Ш обладающую свойствами I) - 4) задачи РТ (Д (,ЭС) - $ (,Х^ = 0 » ы СХЛ -^) и удовлетворяющую граничным условиям
С помощью решения этой задачи попытаемся удовлетворить условиям задачи РТ. Для этого необходимо подобрать С[)($)
так, чтобы выполнялось условие rll ^-4-(6) При этом получается сингулярное интегральное уравнение относительно LJ)' (5) Рвгуляризуя его известным способом получим интегральное уравнение Фредгольма второго рода, безусловная разрешимость которого следует иа единственности решения задачи РТ. Учитывая условие U, „ ~ 0 получим Ц>Ц^ ^ 0 Тогда ЦЧ$^ определяется единственным образом. Подставляя Л[Н$) в решение задачи Та получим решение задачи РТ.
Второй параграф посвящен выводу основного функционального соотношения между Т~ (X) и ^ (jX_)
В третьем параграфе методом интегральных уравнений доказывается существование решения задачи РТ.
Во второй главе, состоящей из двух параграфов изучаются краевые задачи для уравнения (2).
В первом параграфе ставятся и исследуются краевые задачи ^ , К , NJX , NJX в первом квадранте.
Введем следующие обозначения:
^-(&^№^
Задача 1 . Найти решаше U-(,0C,Vj) Ураше-
- II -
ния (2) из класса Ц1^ П С СЛ.) , удовлетворяющее условиям
ulM,cTTi^ , 0^х<<~, (3)
ulw^l\|b 0*\j<~ > (4)
Uwl U(,X,U^0, (5)
где ТІ(Ч'Х^ , Т {\\) - заданные непрерывные функции, причем Т^Д^ -t'(O)
Задача JsT, Найти решение \ЦХЛП уравнения (2) из класса
удовлетворяющее условиям (5)
U^L^~V^, 0<х<оо, (6)
U*L^\^ 0<^<-> (7)
где N,^X> , ^г^Ч^ "" заДанные непрерывные функции, причем в начале координат они могут обращаться в бесконечность интегрируемого порядка.
Задача -г»^ . Найти решение U (OC,U) уравнения (2) из класса
удовлетворяющее условиям (4), (5), (6), причем ^4(Х> при 01О может обращаться в бесконечность интегрирумого порядка.
Задача AlW^ . Найти решение U.(X,*U) уравнения (2) из класса
удовлетворяющее условиям (3), (5), (7), причем v^("U\ в точке \J — 0 может обращаться в бесконечность интегрируемого порядка.
Единственность решения поставленных задач доказывается с помощью принципа экстремума (Jn Ъ , Jvu о, ^ )
и методом интегралов энергии (JH ^ . Решения всех вышеперечисленных задач выписаны в явном виде.
Во втором параграфе изучается задача Трикоми для уравнения (2).
Пусть , где
± t . часть полуплоскости "Ц < 0 ограниченная характеристикой
УМ, УУНЛ
уравнения (2) и лучом 0 ^ X <. прямой U -0
Под регулярным в области SY решением уравнения (2) понимается любая функция Vl(jX,\J^ из класса
удовлетворяю
щая уравнению (2) в области и такая, что
U-ul/X ON исчезает на бесконечности, а при Х-О
- ІЗ -
может обращаться в бесконечность порядка ниже единицы.
За дача Т Найти регулярное в области Pi решение \Цх?\Л) уравнения (2), удовлетворяющее условиям
ULosV^' 0<^~, (В)
Hiwl uli,U) =0, do)
где Ц) W^ » V^*^-) ~ заданные непрерывные функции, причем \р (^ - \g ^ 0V
Для доказательства единственности решения задачи
\ предполагается, что Yi < УУ\.
Используя решение задачи Коши для уравнения (2) в области ^ L , выводится основное функциональное соотношение между Т(Д.)-иЛХ,0) и ^(OC^UuCXjO), при этом учитывается условие (9), Оно имеет вид
Y*\ L г ^к* ) ». тех)-
16 х
Ч* )-^^^), (И)
где ^ , ^ - известные постоянные,
Г(с).0
есть интеграл обобщенного дробного порядка С (С >0) от функции ^(X) t34] , І47] ДЭВ] ,\бЗ]
С помощью соотношения (II) нетрудно показать, что
решение UL^'X,*^) задачи \ , равное нулю на харак-
теристике ^ , положительный максимум и отрицательный минимум в замкнутой области не может достигать во внутренних точках интервала *3 # В силу этого утверждения, с учетом (Ю) легко доказывается единственность решения задачи Т Существование решения задачи Т доказывается методом интегральных уравнений, с использованием решения задачи J№ 1511 в области
Основные результаты диссертации докладывались на I - республиканской конференции математиков по дифференциальным уравнениям (г«Ашхабад, 1972 г.), на семинаре отдела дифференциальных уравнений Института математики им. В.И. Романовского АН УзССР, на отчетных научно-теоретических конференциях профессорско-преподавательского состава ТашГУ имени В.И.Ленина (І983 г.) и опубликованы в работах Ї66 . 67 , 68} .
Пользуясь случаем выражаю искреннюю благодарность моему научному руководителю академику АН УзССР Махмуду Сала-хитдиновичу Салахитдинову за постановку задач и постоянное внимание к работе.
