Прямой метод Ляпунова для почти периодических систем функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа Троценко Галина Алексеевна

Почти периодические функции. Критерий предкомпактности Бохнера

Ниже для удобства ссылок приведены сведения о почти периодических функциях из [52], [53], используемые далее. Пусть заданы функция f(t) : R — С и число є 0- Число Т = Т(є) называется е-почти-периодом функции /(), если выполняется неравенство Функция f(t) называется почти периодической, если она непрерывна на оси и для любого є 0 существует такое число / = /(г), что любой отрезок длины / на оси содержит хотя бы один -почти-период. Простейшими представителями почти периодических функций являются тригонометрические многочлены с произвольными частотами и и комплексными амплитудами с . Обозначим ffi банахово пространство непрерывных ограниченных функций R —) С с нормой 9Jto — множество всех почти периодических функций, 1. Сумма, разность и произведение почти периодических функций почти периодичны; если f(t) почти периодична и \f{t)\ const О, то [/(О]-1 почти периодична. 2. Множество ЭЯо — замкнутое подпространство в ЗЛ. 3. Множество тригонометрических многочленов плотно В ЭДТо. 4- (критерий предкомпактности Бохнера). Функция / : К -+ почти периодична тогда и только тогда, когда множество ее трансляционных функций (трансляций) — предкомпакт в 9Л: из любой последовательности трансляций /((+ тп) можно выделить сходящуюся в ОЯ подпоследовательность 5. Оболочкой H[f] почти периодической функции f(t) называется замыкание множества ее трансляций (1.25) в топологии пространства ГОТ. Справедливо соотношение 6. Определение и свойства 1-5 почти периодических функций переносятся на функции R —) CN, R -+ Mat(7V, С) с заменой в (1.22), (1.24) модуля нормой; в этом случае ЯЛ, ГОЇо — пространства функций соответствующей размерности, амплитуды с в (1.23) — векторы или матрицы. 7. Пусть Е— банахово пространство, /(#,) — функция ExR - CNi U — шар в -Е, 0. Число Г = Т(С/, ) называется (7, г)-почти-периодом функции /(#,} если выполняется неравенство эрмитова норма в С . Функция называется равномерно почти периодической} если она непрерывна и для любой пары (С/, є) существует такое / = /(С/, е), что любой отрезок длины / на оси t содержит хотя бы один (її, е)-почти-период. На равномерно почти периодические функции переносятся с очевидными изменениями в формулировках критерий Бохнера, определение оболочки H[f] и соотношение (1.26). 8. В частном случае, когда пространство Е конечномерно, для того, чтобы непрерывная функция /(#,) была равномерно почти периодической, достаточно, чтобы она была почти периодична по t при каждом х Є R и удовлетворяла условию Липшица по х на каждом шаре U С Е 9.

Данные выше определения почти периодичности, равномерной почти периодичности, оболочки и сформулированные утверждения переносятся с очевидными изменениями в формулировках на функции /(n) :2 CN илиМаі(і\г,С), f(x,n) : Е х Z -4 CN. Приведем без доказательства известную теорему, используемую далее. Замкнутое подмножество К банахова пространства Е называется конусом, если оно обладает следующими свойствами: а) вместе с каждым вектором х Є К множество К содержит весь луч {Аж}, где 0 А оо; б) ЄСЛИ Х\УХ2 Є К) то Х\ +х2 Є К\ в) если х Є К и — х Є Къ то х — О, Пусть в банаховом пространстве В задан конус К. Будем писать если у — х Є К. Нетрудно видеть, что соотношение (1-27) обладает свойствами обычных неравенств. Если конус К инвариантен относительно линейного оператора Л, то есть АК С Кj то А сохраняет неравенства Теорема 1-2 (М.Г- Крейн [4])- Пусть линейный ограниченный оператор А имеет спектральный радиус гл 1 я оставляет инвариантным конус К. Если вектор х является решением неравенства то он подчиняется оценке (1.27), где у — решение уравнения Здесь сохранены те же обозначения, что и в 1Л. Далее будем обозначать Ur открытый шар в C[J] с центром р = 0 радиуса г 0: Будем предполагать, что для отображений /( , 0 g{tp t): Ur х Д — RN выполняются требования 1./,р непрерывны в UT х R и удовлетворяют условиям Липшица по (р: В силу результатов 1.1 решение x(t) системы (2.1) при условии (2,2) однозначно определяется начальным условием и представляет собой непрерывную функцию х{і) : [—а,Х] — RN, Т 0, удовлетворяющую при всех t Є [0,Т] интегральному уравнению Будем кратко говорить, что функция w(s) принадлежит классу П, если (i) u{s) определена и непрерывна на [0, сю); (ii) io(s) не убывает; (iii) CJ(0) = 0, ш($) 0 при s 0. Пусть функции vo(y,t)i Vi(z,ti$) со значениями в R определены соответственно на множествах {\у\ 2r} х R, {\z\ sC г} х R х J и удовлетворяют условиям 1) UQ С1-гладкая, Ui — непрерывная функция, С1-гладкая по t, 0; 2) исъ wi и их частные производные первого порядка почти периодичны по t равномерно по остальным переменным; 3) (0,0= (0 ,6) = 0: 4) имеют место оценки

Вспомогательные леммы

Будем называть точку SQ 0 точкой роста функции ш{$) П (см. 2.1), если из s so следует OJ{S) UJ(SQ). Лемма 2,1. Пусть OJ(S) Q. Тогда в любом сколь угодно малом интервале (0, е) найдется хотя бы одна точка роста w(s). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть существует интервал (0,є), не содержащий точек роста функции ы(з). Поставим в соответствие каждой so Є (0J) величину Тогда либо $i = +oo3 либо s% — точка роста u (s), в обоих случаях $i е. Отсюда следует: LJ(S) = const на (0,г); так как ш(в) непрерывна при $ = 0, то ш($) = const на [0, є); так как ш(0) = 0, то co(s) = 0 на (0,є)9 что противоречит определению класса П. Лемма доказана. Очевидно, имеет место соотношение Лемма 2.2. В условиях теоремы 2Л решение х = 0 системы (2.1) устойчиво по Ляпунову. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, В силу леммы 2Л существует последовательность sn 4- 0 точек роста функции D\{s), Так как u)i(sn) 4- 0? то начиная с некоторого номера ui(sn) sup 04( } І можно считать, что это имеет место начиная с n = L Так как (s) - 0 при з 40и непрерывна, то существует последовательность Зафиксируем номер п О, и пусть #() — решение (вообще говоря локальное) системы (2-1) такое, что \\хо\\ п- Тогда в силу (2.5), условия для V(xt) t) и равенства (2.8) при каждом t из области определения x(t) имеет место цепочка соотношений (учтено р 1); очевидно? 5п єп Зафиксируем произвольное є О, и пусть номер п столь велик, что єп є. Тогда в силу (2-9) для каждого решения x(t)y удовлетворяющего условию 11пго[ $т при всех t из области его определения выполняется неравенство Отсюда и из замечания 2 к теореме 1.1 следует: решение x(t) продолжаемо на всю полуось 0, и при всех t 0 выполняется (2.10)-Лемма доказана. Лемма 2.3. Каждое решение x(t) уравнения (2.3) такое, что при всех t 0 xt Є UCJ є г, равномерно непрерывно на полуоси t 0, ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как \x{t)\ , то для любого 5 0 а(5) = Покажем, что для любой последовательности Sn J, 0 Из (2.3) с учетом xt Є С/ , /(03) = 0 и условий Липшица для /, д последовательно получим: при t О Функция x(t) равномерно непрерывна на [—а, а], поэтому є п — О при п - оо. Функция g{ p,t) почти периодична по t равномерно по Р Є f/c = равномерно непрерывна на оси Ж равномерно по р Є Us [52], поэтому "—) 0 при п — оо. Отсюда следует (2.11). Обозначим Н оболочку почти периодической по t четверки отображений h = (Fj(7,uosUi) Є Я, если существует такая последовательность тп Є IK, что где M = UT x {[T/ 2r} x {z r} x R x J. Для четверок h Є Л" сохраняются указанные выше свойства Ло- Аналогично введем оболочку Н$ пары (/,?)«

Поставим в соответствие каждой h Н систему [х( )-С(я;(, )] = Г(х1,0 (2.13) и функционал Vh{ipb t): вычисляемый по формуле (2.4) с заменой ho на h. Производная Vh{tp)t) дается формулой (2.6) с такой же заменой. Рассмотрим наряду с системой (2ЛЗ) последовательность систем такого же вида jt[x{t)-Gn(xt,t)]=Fn{xt,t), п=1,2,.... (2.14) Лемма 2.4. Пусть последовательность [Fn Gn) Є - сходится к (i7, G) в топологии HQ, x{t) — решение системы (2.13) с начальной функцией XQ(9), xn(t) —решения соответственно систем (2Л4) с начальными функциями хочП(9). Если при всех t 0 я некотором є г x(t),xn(t) Є U и x0t7t{e) — хо[в) в топологии C[J]j то xn(t) — :г() равяолгеряо яа каждом отрезке [0,Т], Г 0. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1. Покажем, что Обозначим Пусть 0 T t . a. Интегрируя равенства (2.13), (2.14) по отрезку [О, т] и затем почленно вычитая из второго первое, получим Отсюда с учетом условий Липшица по р для отображений (F, G) Є Но вытекает неравенство откуда следует С учетом т}п,5Пієп — 0 (п —у оо) получаем: уп — 0 (п —ї со). Применим к неравенству (2.16) теорему 1.2 об операторном неравенстве в пространстве с конусом- Интегральный оператор в правой части (2Л6) оставляет инвариантным конус неотрицательных функций в банаховом пространстве непрерывных функций [0, а] — R и имеет спектральный радиус 0. Поэтому в силу теоремы 1.2 функция та() удовлетворяет оценке Соотношение (2.15) доказано. 2. Повторяя рассуждения пункта 1 с заменой [0, а] на [а, 2а], затем на [2а, За] и так далее, получим требуемое. Лемма доказана. Лемма 2.5- Если четверка (2.12) удовлетворяет условиям 1, 2 теоремы, то все четверки h Є Н удовлетворяют тем же условиям: Ун 0, Vh[ytft) Ф 0 на каждом существенно ненулевом решении y(t) задачи (2A3) со значеннями в шаре /, є г. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сохранение условия 1 очевидно. Проверим сохранение условия 2. Предположим противное: существуют четверка h Є Н и существенно ненулевое решение y(t) со значениями в шаре Uc задачи (2.13) такие, что Vh{yt 0 = const 0 при t 0 . (2.17) Так как. Л Є H[f,g,vQivi] =?- h0 е H[F,G,u0,ui] (пункт 5 1.2), существует такая последовательность tn 0, что В силу леммы 2.3 и принципа компактности Арцела - Асколи, семейство функций {yt(8),t 0} — предкомпакт в C[J]. Выделяя из последовательности ytn сходящуюся подпоследовательность и сохраняя для нее то же обозначение, получим С учетом предположения (2.17) и верхней оценки (2.5) Отсюда в силу определения функции u?(s) Є 1 имеем \\угп\\ 0 и, следовательно» \\х$\\ 0. Пусть x(t) = x(tyXo) — решение системы (2.1) с начальной функцией XQ Є C[J]. Покажем что Так как yn(t) = у{і + tn) — решение системы с начальной функцией ytn и [Fn,Gn) =$ (/,#) в H[F,Gyuo,ui], ytn =J XQ В C[J]t то В силу леммы 2.4 yn{t) :4 x[t) на каждом отрезке [0,T]. Отсюда с учетом УічП{$) UE следует (2.18). Далее, имеем

Устойчивость линейного почти периодического разностного оператора

В этом и следующем параграфах результаты ЗЛ распространены на ситуацию, когда требование (3.2) на матрицы Вк заменено существенно более слабым требованием устойчивости разностного оператора В этом случае также имеет место теорема существования и единственности (см. пункт 5 Введения). Ниже получено достаточное условие устойчивости оператора L в предположении, что запаздывания (ik рационально зависимы. Для простоты будем сразу предполагать: В этом случае система (ЗЛ) приводится удлинением фазового вектора и изменением масштаба времени к виду с почти периодическими матрицами AQ. ЛІ, В. Будем говорить, что разностный оператор L устойчив, если для решений системы L[xt] = 0 имеет место оценка где а, /3 — положительные постоянные, не зависящие от 0, по-Зафиксируем в Є J. Обозначив прейдем от системы L[xt] = 0 к дискретной системе Зафиксируем почти периодическую матрицу G(t) порядка TV, G = G, G Л/, Д = const 0, и построим функцию Разностная производная і вдоль траекторий системы (3.38) дается формулой Теорема 3.2. Пусть существует матрица G(t) с указанными выше свойствами такалf что 1\ Н(0уп) 0,6 Є J, n =0,1,2,... . 2. При каждом в J {Н(вуп)хПуХп) ф 0 на ненулевых решениях хп системы (3.38). Тогда оператор L устойчив. Заметим, что в теореме условие на разностную производную v существенно слабее условия Ляпунова v 0. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО оценки (3.37) достаточно провести для случая по = 0: из выполненной ниже процедуры построения констант а, /3 следует, что они останутся такими лее, если в (3.36) заменить почти периодическую матрицу B[t) любым ее сдвигом B(t + rio). Выполним в (3.38) замену хп -4 уп по формуле xn = G lyn, Тогда получим систему и формы Условия теоремы в новых терминах имеют вид (3.41) ЩІ) почти периодична; при каждом 9 Є J {(B +1Brt+i - Из формулы перехода xn = G lyn от системы (3.38) к системе (3.39) и неравенства G l{t) $С Д"1/ следует: для обоснования требуемой оценки (3.37) достаточно получить аналогичную оценку для решений системы (3.39). Из почти периодичности B(t) следует; Шп{6) почти периодична как функция от п Є Ъ равномерно по в Є J Это означает, что из любой последовательности сдвигов Шп+пк[в) можно выделить подпоследовательность, сходящуюся равномерно по (0, п) Є J х Z. Пусть Н — оболочка Вп(0) в указанном смысле.

Обозначим S — единичную сферу в С", В силу критерия Бохнера множество Е = J х Н х S — компакт в метрике где {Qk,Bkyzk) Є Е. Будем кратко обозначать произвольный элемент компакта Е буквой Х- Поставим в соответствие каждому X = (0,#п,2о) Є -Е решение zn = zn(X) задачи Коши функций wn : Е -+ [0,оо) по формуле Из неравенств (3.41) следуют соотношения Введем множества Нетрудно убедиться, что функция Ф : Е — N, определяемая формулой полунепрерывна сверху на компакте Е. поэтому ограничена сверху. Отсюда следует: существует такое г 1, что для любого X В Е М(Х) Л [0, г] т 0- Построим отображение JF : Е — R по формуле а) Покажем, что F{E) С [0,1). В самом деле, в случае wr(X) ф О для некоторого X Є Е ввиду (3,43) имеем W{{X) = 0 при і г? и имеет место представление Все множители в правой части 1 и, с учетом выбора константы г, хотя бы один из них меньше 1. б) В силу очевидной непрерывной зависимости решений задачи Коши (3.42) от коэффициентов и начальных данных отображение Т непрерывно на компакте Е. Из а), б) следует; F{E) — компакт в [0,1). Поэтому существует такая константа а 0, что sup.F(.E ) = е"а\ отсюда Пусть уп — ненулевое решение системы (3-39) при некотором в G З. Покажем, что верна оценка где т — построенная выше константа. Рассматривая систему (3.39) на отрезке [&г, [к + 1) ] и вводя обозначения Теорема доказана. Замечание 1- Если разностный оператор L в (3.36) устойчив, то для решений неоднородной системы L[xt] = tj{t) с правой частью: [0, со) — CN имеет место оценка 1йкйп (3.46) \х[в + по+п)\ ае-0п\х{8 + по)\+стах \ы(в + п0+к)Ъ в Є J, n гс0 0, с= JZJ=W где константы а; (5 те же, что и в (3.37). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО- Оценка (3-37) означает выполнение при в Є J, n no 0 неравенства Выражая рекуррентно значение решения системы L[xt] = w{t) в момент t = 9 + по 4- п через значение решения в момент to — 9 + по и значения tu(t) в моменты t — 0+ n0 + Ar, fc Є [1,п],и оценивая сверху полученное выражение для x(t) с учетом неравенства (3.47), получим требуемое. Замечание 2. В случае В —const для устойчивости разностного оператора (3.36) необходимо и достаточно, чтобы спектр Л лежал в круге (А 1. В случае, когда матрица B(t) периодическая с целым периодом Т 0, для устойчивости оператора (3.36) необходимо н достаточно, чтобы при любом в Є J спектр матрицы монодромии лежал в круге (Л 1- В случае постоянных матриц Вк в (3.35) и любых запаздываний а для устойчивости оператора (3.35) необходимо и достаточно, чтобы для любого набора чисел (tpi,. -. pn)i pk Є [0,2тг], собственные числа матрицы

Распространение результатов 3,1 на системы с устойчивым разностным оператором

Рассмотрим систему (3.36) с почти периодическими матрицами Ао, А\ В, не предполагая выполнения условия (3.2) на матрицу В. Построим функционал К( р, Ь) с матрицами (3.4) и матрицу F(t) по формулам (3.5), (3.7) при п = 1, аг = 1: Теорема 3.3. Пусть разностный оператор L в (ЗА8) устойчив и существует пара матриц Го, Fi с указанными свойствами такая, что матрица (3.50) и эрмитова форма (3.6) удовлетворяют условиям первой части теоремы 3.1. Тогда решение х = О системы (3,48) асимптотически устойчиво. Если, кроме того, константы Дь Д2, Р из (3.4) t то решение х = О слабо экспоненциально устойчиво. Доказательство опирается на леммы 3.5-3.6. Лемма 3,5- Если разностный оператор L в (3.48) устойчив и матрица F(t) в (3.50) неположительна, то для любого решения уравне ния ямеет место оденка ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ИЗ (3.49) следует При условии F(t) 0 для любого решения имеем поэтому из (3.54) при р = xt получим Отсюда с учетом (3.52) следует оценка В силу устойчивости оператора L в (3.48), замечания 1 к теореме 3.2 имеем откуда, с уметом (3,55), следует оценка (3,53). Лемма доказана. Лемма 3.6. Если разностный оператор L в (3.48) устойчив и матрица F(t) в (3.50) неположительна, то все решения уравнения (3.52) равномерно непрерывны на полуоси t 0. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу леммы 3.5 при условии F(t) = 0 для любого решения x(t) и любого 5 0 Покажем, что для любой последовательности 5{ \, 0 Из (3.52) с учетом (3,53) следует: при і 0 где Л/, t- — константы в (3.16). В силу устойчивости оператора L из (3.56) с учетом (3.58) последовательно получим x{t + 5i)-x{t)\ ae-0t\\xSi -х0\\+с(і0(М6і+і)\\хо\1 x(t + 5І) - x{t)\ a max \x{s + S{) - x0{s)\ + c/iQ(MSi + ;);r0. Ввиду равномерной непрерывности x(t) на [—1,0] отсюда следует (3,57). Лемма доказана Обозначим Н = Н(А}В)Г) оболочку почти периодической матрицы (Л,В,Г), где A = (AQ AI)) Г = (Г0,Гі). Поставим в соответствие каждой тройке h = (И, В, Т) Н систему и функционал Vft ( ,), где V ( ,i) и производная 14(a;j,) вычисляются по формулам (3.49), (3,6), (3.50) с заменой (Л,В,Г) на ( 4, #, Т). Для троек h Є Н выполняются указанные выше свойства тройки (Л, Б, Г), в частности, оператор Lh устойчив с теми же константами cv, (3 в (3-37), Утверждения лемм 3.3, 3.4 сохраняют силу, без существенных изменений в доказательстве, для системы (3.48) с устойчивым разностным оператором L. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 3,3, I. Из леммы 3.5 следует, что решение х = 0 системы (3,48) устойчиво по Ляпунову. Покажем, что при условиях первой части теоремы решение х = 0 асимптотически устойчиво: все решения-х ) — 0 при t -4 -fee. Предположение от противного означает: для некоторой ограниченной траектории x(t) системы (3,48) существует хотя бы одна ш-предельная точка г0 ф 0. В силу лемм 3-5, 3.6 и принципа компактности Арцела - Асколи имеем: существуют траектория x(t) и последовательность моментов времени tm "f со такие, что последовательность функций zm(9) = #(# +m) равномерно сходится на J к некоторой функции z(6) и при этом В силу почти периодичности матрицы B(t) можно без ограничения общности считать, что последовательность матриц B(tm) сходится к некоторой матрице BQ. Обозначим

Можно считать rm f oo при m - со. Зафиксируем m0,me Z+ такие, что В силу устойчивости разностного оператора L в (3.48), замечания 1 к теореме 3,2 и соотношений (3,63), (3.G4) имеет место оценка где Пусть UJ = 0: Hm u m = 0. Тогда для произвольно малого є 0 существует номер JV"i такой, что (учтено, что гто оо при то —і- со) и номер Лг2 -Ni такой, что при т N2 имеем #(т) е. Тем самым получено равенство lim х(іш) = 0, что противоречит (3X0). тп-юо Из соотношений (3.61), (3.62) с учетом и ф 0 следует: при достаточно больших т верно неравенство В силу левого неравенства (3.54) для функционала V( t) отсюда следует оценка отсюда с учетом условия V 0 вытекают последовательно неравенства Рассмотрим последовательность троек hm = (Am, ВтуТт) Є Н, получающуюся из тройки (А) В) Г) заменой t на t + , Выделяя сходящуюся подпоследовательность и сохраняя для нее те же обозначения, получим Пусть y(t) — решение системы (3.59) с коэффициентами Л, В из /і, отвечающее начальной функции ::(0), построенной выше. Так как функция xm{t) = x(t-\- tm) — решение системы, получаемой из (3.59) заменой (Л,В) на (Ат,Вт) из ЛТ1М отвечающее начальной функции т(0) то в силу (3,66), \\zm — г - 0 и леммы 3-3 имеем Пусть Vh{ p,t) — функционал, вычисляемый по формуле (3.49) с заменой (В, Г) на (В, Т) из /і. Имеем где am = Vh{yut) - V/im(z/ ,0 &m = Vhm[yt,t) - Vhrn[xt+itnit)7 cm = m +U ) Из определения функционала V/t ( , ) при любом h G Н следует: если кт-іквНи рт-фв C[J], то Ук ІФт ) -+ Vh( p t) при каждом t 6 R. Поэтому переход к пределу в (3.68) при тп - со с учетом (3.65)-(3.67) и равенства VhrAxt+tmyi) = V(xt+im,t+ tm) дает: Vk{ytt t) = Vo 0, что противоречит лемме 3.4, Первая часть утверждения теоремы доказана.

Похожие диссертации на Прямой метод Ляпунова для почти периодических систем функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа

Применение метода моментов для исследования свойств решений систем уравнений газодинамического типаРозанова, Ольга Сергеевна

Системы гиперболических уравнений типа Риккати и связанные с ними алгебры ЛиБормисов Антон Анатольевич

Краевые задачи для систем уравнений гиперболического типа третьего и четвертого порядкаЯковлева, Юлия Олеговна

О дифференциальных уравнениях систем гистерезисного типаНгуен Тхи Хиен

Задача Геллерстедта для одного класса систем уравнений смешанного типа Идрисов Ринат Галимович

Задача Трикоми для одного класса систем уравнений смешанного типа Мугафаров Марат Фавильевич

ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПАСкворцова Мария Александровна

Решение краевых задач для систем уравнений параболического и эллиптического типа при граничных условиях смешанного типаМамедов, Нияз Мустафа

Нелокальные задачи типа Дарбу для гиперболических уравнений и систем с двумя независимыми переменными Кирилич Владимир Михайлович

Управляемость многомерных систем, описываемых уравнениями в частных производных гиперболического типаЧудинов, Валерий Валентинович