Введение к работе
Актуальность темы.
Исследование многих математических моделей в теории тепломассо-переноса часто сводится к решению нестационарных задач для дифференциальных уравнений с частными производными параболического типа. Например х, при х ^ 0, ^ 0 ищется ограниченное решение уравнения
du(t,x) d2u(t,x) (
dt = дх2 ' [ '
удовлетворяющее начально-краевым условиям
и(0, х) = О,
u(t,0) = g(t).
При этом важным является вопрос о вычислении производной ^;|ж=0, характеризующий поток на границе раздела сред.
Задачам такого рода посвящены многочисленные исследования Ю.И. Бабенко, А.В. Лыкова, В.П. Маслова, В.Г. Данилова, К.А. Волосова 2. Для некоторых частных случаев в монографии А.Д. Полянина, А.В. Вязьмина, А.И. Журова, ДА. Казенина 3 выписываются точные их решения в случае, когда А некоторый дифференциальный оператор. В работе Бабенко Ю.И. для решения подобных задач используется метод дробного интегродифференцирования. Здесь соответствующее решение ищется в виде рядов по дробным производным и интегралам граничной функции g{t).
Однако эти исследования дают ответ на вопрос существования и представления решений, но не рассматривают в рамках корректной разрешимости задач по Адамару вопросов их устойчивости по начальным данным, которые являются основными, например, при численной реализации соответствующих алгоритмов.
бабенко Ю.И. Тепломассообмен, методы расчета тепловых и диффузионных потоков. Л.: Химия, 1986 144 с.
2Маслов В.П. Математическое моделирование процессов тепломассопереноса/ В.П. Маслов, В.Г. Данилов, К.А. Волосов, М.:Наука, 1987. 352 с.
3Полянин А.Д. Справочник по точным решениям уравнений тепломассопереноса, А.Д. Полянин, А.В. Вязьмин, А.И. Журов, Д.А. Казенин.— М.: Факториал, 1998. 368 с.
Учитывая, что многие из этих задач можно свести к эллиптическому случаю, когда находится решение уравнения
d2u(t) л , . m
-^- = Au(t),0 ^t^T
с соответствующими граничными условиями при t = 0nt = T
\\U{t)\\
Это условие обеспечивает наличие квадратного корня А^: в терминах которого даются определения решений и формируются соответствующие критерии корректной разрешимости этих задач и указываются представления их решений.
В частности, в случае задачи Дирихле, когда решение уравнения (2) удовлетворяет условиям ограниченности при t —> оо и
и(0) = д,
решение имеет вид
u(t) = Ui(t)g,
где Ui(t) - сильно непрерывная полугруппа класса Со, производящим оператором (генератором) которой является оператор —(А)2. Отсюда немедленно следует равенство
^|t=o = jtm(t)g\t=0 = -(A)^m(t)\t=og = -А*д.
Таким образом, для определения скорости тепломассопотока на границе раздела сред достаточно знать оператор А^.
Например, в случае, когда оператор А задается дифференциальным выражением L = -^ и областью определения D(A) = {(f Є С[о;т], v?(0) =
4Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве/ С.Г. Крейн.-М.: Наука, 1967.-464 с.
0,(/9 Є С[о;т]}, где С[о;т] - пространство непрерывных на [0,Т] функций с
равномерной метрикой, то оператор А? = -\ является правой дробной производной Римана-Лиувилля.
В диссертации для операторов А, таких, что —А является генератором полугруппы U{t) класса Со, с условием (3) приводятся точные оценки на резольвенты их дробных степеней и показывается равномерно корректная разрешимость краевых задач для уравнения (2) с этим классом операторов.
Цель работы и основные задачи. Расширение класса корректно разрешимых задач, возникающих в теории тепломассопереноса с использованием общих методов исследования теории дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. С этой целью используется метод С.Г. Крейна, опирающийся на теорию дробных степеней операторов и теорию сильно непрерывных полугрупп, существенно расширяющий возможности известных методов, в частности метод дробного интегродифферен-цирования Ю.И. Бабенко.
Методы исследования. В диссертации используются методы теории функций и функционального анализа, методы теории дифференциальных и интегральных уравнений.
Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.
В случае полугрупп, удовлетворяющих оценке (3), получены точные оценки для резольвент дробных степеней их генераторов.
Результаты С.Г. Крейна, полученные для краевых задач уравнения (2) с сильно позитивным оператором, перенесены на случай уравнений с генератором равномерно ограниченной полугруппы.
Построены квадратные корни из операторов, заданных дифференциальным выражением — -^f,0<
На примере корректной разрешимости задачи Неймана для уравнения (2) показана необходимость существования ограниченного обратного у оператора А: предполагаемое общими условиями С.Г. Крейна.
Получены представления решений краевых задач для уравнения
(2) через Co-операторные многочлены Чебышева 1-го и 2-го рода.
Получено представление Co-операторных многочленов Чебышева через операторную функцию fJ,(A) = А — л/А1 — 1, где — Л-генератор Co-полу группы, удовлетворяющей оценке (3).
Получено интегральное представление функции fi(A) через полугруппу с генератором —А и скалярную функцию Мейера нулевого порядка.
Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Результаты, представленные в диссертации, могут найти применение в исследованиях разнообразных моделей тепломассо-переноса.
Апробация работы. Материал диссертации докладывался на Воронежской зимней математической школе (2008 г.), на конференции "Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения" (С-Петербург 2009 г.), на семинаре по нелинейному анализу в НИИ математики ВГУ (рук. — проф. Ю.И. Сапронов) и на семинаре ВГУ по математическому моделированию (рук. — проф. В.А. Костин).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 10 работах. В совместных публикациях [1], [9], [10] соавтору принадлежит постановка задач. Из совместных работ [3], [7] в диссертацию вошли результаты принадлежащие лично автору. Работа [9] соответствует списку ВАК для кандидатских диссертаций.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на параграфы, и списка цитируемой литературы из 46 наименований. Общий объем диссертации — 102 стр.
