Введение к работе
Работа посвящена исследования решений граничних задач для уравнений Блцадза и эллиптического типа третьего порядка б ограниченной плоской области о общими линейными граничними условиями. При этом доказана фродгольмовость граничных задач.для уравнения Бицадзо и для уравнения третьего порядка с помощью зибора граничных условий.
Актуальность работы. Как в' курсе уравнений математической физики , так и уравнений с частными производными, з основпом, рассматриваются задачи /ля уравнений, принадлежащих классической типовой классификации. Тогда собственно, если уравнение' рассматриваемой задачи не дринадлеяит к известной типово? классификации, то намного затругзяется исследование задач для таких уравнений. Но иногда классическио задачи, даже для урзЕнендй яли систем уравнений, прянадлвкащих известной классификации, оказывается некорректно доставленными. Развитию теории и методов решения подобиях задач посвяаеш немало работ отечественных и зарубежных авторов. Из них особенно mosho отметить работы Біщадзе А.В., Самарского А.А., Гахова Ф.Д., Двзина А.А., Дкураева А. ,Дхураев-ч Т.Д. Саяахатдинова Н.С., Алиева Н.А., Ахиева С.С., Ио; лщерова Б.А. и дро, гдо исследованы нелокальные п другие краевые задачи для уравнений типовой классификации, а таїгае для уравнен"8 не прянадло-ла^ах типовой классификации.
Известо, что граничные задачи для уравнений Бяцядзе и ашшп-тдчесяого типа третьего порядка, яороздеянък соответственно квадратом е кубом оператора Кошя-Ряшна имеют приложения в различи, .с областях практика, в том числе в бесконечно малых изгибаниях поверхностей, бозмоментной теории оболочек п др. Кро: э того, леслэ-доЕ-е;;!'''.' c::o'i'-v'va мстадио-мсногспнсй функции прикопит к гразичзоіі
- 4 -задаче для уравнения Бицадзе.
Отката;, что задача Дирихле для уравнения Бицадзе на хорошо поставлена, то есть порожденный этой задачей оператор тлеет бесконечномерное ядро. ІЗ связи с этим возникает вопрос нахождения пригчлешх граничних условий для этого уравнения, іри которых соответствующая граничная задача оказывается фредильмовой. Аналогичны'' вопрос зозникаот и.для уравнения эллиптического типа третьего порядка.
Даііііая диссертационная работа посвящена иыеш о исследованию этих вопросов для уравнений Бицадзе я эллиптического типа третьего порядка. Отметим, что ранее задача Дирихле уш уравнения' Бицадзе в круговой области была исслодозана в роботе Бицадзе. Однако в настоящей диссертационной работе для э,:ого уравнения исследуется граначкая задача с общими линейны/1 граничными условиями в ограниченной плоской области. Кроме того, отметим, что подобные вопросы для других уравнений ранее были исследованы в ра-"ботах Алиева Н.А., Ахмедова Р.Г., Багирпза Г.А., Гулиева' А.С., Сулейшноза И.О., Салмаиова Ю.М. и др.
. Из перечисленных работ известно, что шив названные вопросы для уравнений, порожденных оператором Коши-Ришна сравнительно мало изучены. Поэтому тема исследования данной диссертационной работы несомненно является актуальной и она представляет как теоретический, так и практический интересы.
Цель работы. Доказать фредгольмовооть граничных задач, как для уравнения Бицадзе (квадрат оператора Коши-Ришна), так и для уравнения третьего порядка (куб оператора Копш-Ри»ана) целесообразным выбором граничных усжтий.
Методы исследования. В работе применяются методы из теории потонцаалов, где в отличие от классических работ, ргиіеїж vj*-і:е"ілой задачі ищется в ейдэ, диктуемом второ і: irov у.,-,о;'. Г'ї :..<
-5-.
Например, для уравнения Лапласа независимо от вида граничных условий решение граничной задачи ищется в виде суммы потенциалов простого к- двойного слоев.
Научная новизна. В классических работ'х (даже во многих со-врб!.:енкыл работах), исходя из веда граничных условий, подбирается соответствующий потенциал. Такой выбор во многих случаях, напри, .ар, при исследовании.решений задач с наклонными производными для уравнения Яалласа приводит к- интегральному уравнению <редголь-ма первого рода, если для некоторого множества точек цроведенный наклон окажется касательным. Известно, что такие интегральные уравнения не всегда поддаются исследованию.
Независимо от вида граничных условий решение рассматриваемых задач ищется в едином виде, диктуемом второй форцуло.. Грина. Здесь кет необходимости заботиться о скачке потенциалов, так как скачок всегда существует: ила за счет потенциала простого слоя, или за счет потенциала двойного слоя, или не за счет обоях потенциалов. Полученная неопределенность при использовании грангтаас условий устраняется с помощьо выявленных необходимых условие.
Далее своеобразным пу/ем устраняется сингулярность входящая -в необходимые условия, а затем полученнне регулярные соотношения совместно с граничными условиями приводят к фредгольмовостя поставленных задач.
Приложения. Полученные в работе результаты могут быть применены к различным задачам современной математической физика, уравнений с частными производными, теории функций комплексной роременной и теории аналитических- функций.
... г
Апробация -работы. Основные результаты работы докладывались п обсувдались на семяіарах академика Гасымова Н.Г. .профессора Кскендерога А.Д., профессора Ахяевд С.С.доцетаа Алиева Н.А.
в ЕГУ им.Ы.Л.Расулзаде, на республиканской конференции аспирантов педагогически: ВУЗов Азербайджана.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в райотах [I] - [3] .
Структура и обьем диссертации. Диссертгция изложена на 94 страницах машинописного текста, состоят из взедиіня, двух глав а слиска гтгйратуры. Библиография содержат 57 наименований рабэт отечественных л зарубежных авторов. Первая глава состоит из четырех, а вторая глава пз мести параграфов.
Во'зведенпц дается С'зор работ, связашшх с результатша длссортацли.
Б первой главо исследуется решения граничных эчдач для урав-лония Бнцадзе.
5с второй главе рассмотрена акалогич"ак задача для уравнения эллиптического типа третьего порядка.
