Введение к работе
Актуальность темы. К уравнениям на стратифицированных множествах приходят в результате изучения физических систем составного типа; стратифицированное множество является геометрической моделью такой системы. Особенно интенсивно эта тематика разрабатывается последние два десятилетия. Однако, на наш взгляд, пока нельзя сказать, что она оформилась в самостоятельную теорию. Имеется несколько конкурирующих подходов к ее построению, но до последнего момента преобладал - на наш взгляд, не самый лучший из них - подход, условно называемый нами "векторным". Прежде чем говорить об этом подробно коснемся немного истории вопроса.
Вплоть до конца 70-х годов появлялись лишь отдельные, немногочисленные математические работы по системам составного типа. Первой из известных нам работ является работа Р. Куранта, датированная 1926 годом, посвященная изучению колебаний мембраны, к внутренней части которой прикреплена натянутая струна. Отметим также довоенные работы Л. Коллатца, в которых затрагивается в основном численный метод решения подобного рода задач. Более или менее систематическое исследование упомянутых систем начинается в конце 70-х годов в работах сразу нескольких авторов; как наиболее близкие нам, отметим здесь работы G. Lumer'a; для него отправной физической задачей явилась задача о диффузии в системе каналов, соединенных в виде геометрического графа. Возникающее при этом эволюционное уравнение изучалось им в рамках теории полугрупп операторов, действующих в "ветвящихся" ("ramified") пространствах функций. Позднее это направление развивалось S. Nicaise'oM и J. von Below. Одновременно с Ьитег'ом Ю.В. Покорный начал изучение колебаний упругих систем, составленных из конечного числа струн, связанных в виде геометрического графа. С самого начала оба указанных автора придерживались разных технологий. Первый из них придерживался упомянутого выше "векторного" подхода,
который неплохо зарекомендовал себя в вопросах разрешимости краевых задач, асимптотики спектра и других (количественных) вопросах. Второй же, в основном, интересовался качественными вопросами, где "векторный" подход, к сожалению, в основном, затемнял суть дела. В рамках "векторного" подхода были, в итоге, получены результаты, когда fi - многообразие, "перегороженное" конечным числом подмногообразий меньшей размерности. Общий случай стратифицированного множества (множества, составленного из многообразий, достаточно регулярно примыкающих друг к другу, объединение которых не обязано быть многообразием) изучен не был.
Попытка преодоления трудностей, обусловленных применением "векторного" подхода, привела к разработке так называемого "синтетического" подхода, предварительные контуры которого просматривались уже в работах Ю.В. Покорного и его учеников.
Коротко остановимся на характеристике упомянутых выше подходов. В качестве иллюстрации будем использовать задачу о малых деформациях системы, составленной из струн, связанных в виде геометрического графа, отдельные ячейки которого затянуты мембранами. Функция и, описывающая перемещение этой системы под действием /, описывается следующим набором уравнений:
-Ли - / (1)
-
-<г - < = /,- (3)
-Е(«*й = /. (4)
где (1) относится к точкам мембран, (2) - к точкам струн, не примыкающих к мембране, (3) - к точкам струн, окаймляющих мембрану, уравнение (4) описывает перемещение точек, в которых струны примыкают друг к другу.
Заметим, во-первых, что уравнения (1)-(2) относятся к элементам системы, не примыкающим своими внутренностями к другим элементам (такие элементы будем называть свободными), эти уравнения совпадают с классическим уравнением Пуассона. Остальные соотношения относятся к элементам (будем называть их перегородками), располагающимся между свободными элементами. В связи с этим естественно рассмотреть оператор Д, условно называемый лапласианом, действующий в пространстве C2(Q) — ПС2(а&)> гДе произведение берется по всем свободным сы [к - размерность элемента). При рассмотрении уравнения — Аи — f соотношения (3)-(4) естественно включить в определение решения, что эквивалентно выделению в пространстве С2(П) некого линейного многообразия М. Тем самым набор уравнений (1)-(4) оказывается формально эквивалентным уравнению Пуассона
-Аи = / на М. (5)
Это и есть упомянутый "векторный" подход. Добавим еще, что, как правило, рассматривался случай, когда правые части в соотношениях (3)-(4) равны нулю. В этом случае они назывались условиями трансмиссии.
Суть "синтетического" подхода состоит в том, что все соотношения (1)-(4) считаются "равноправными"; между прочим, с физической точки зрения, они выражают одно и то же - локальное равновесие системы. Различие же в их записи обусловлено неполным соответствием применяемого математического аппарата физической постановке. В недавних работах Ю.В. Покорного, О.М. Пенкина и А.А. Гаврилова показано, что набор соотношений (1)-(4) не только формально эквивалентен уравнению (5), но и что оператор Л допускает классическую трактовку; он может быть представлен в виде div(grad и), где дивергенция может быть определена как плотность потока касательного векторного поля на П по специальной (стратифицированной) мере. Преимущество "синтетического" подхода видно уже на примере принципа максимума. В самом деле, пусть и - решение уравнения Аи = 0. Аналогия с классическим случа-
ем подсказывает, что функция и (и ^ const) не должна иметь внутри А локальных максимумов. Однако, при "векторном" подходе это утверждение может относиться только лишь к свободным элементам. Условия трансмиссии на перегородках фактически приобретают статус "внутренних" краевых условий, хотя из физических соображений ясно, что максимум не может быть и в них. "Синтетический" же подход позволил не только обнаружить правильную формулировку принципа максимума, но и привести доказательство, близкое к классическому.
Имеется еще один класс задач, близкий к рассматриваемым нами. Он связан с так называемыми сильно неоднородными средами. Примером является мембрана с перфорацией. Наиболее подходящим методом изучения таких систем, как показали работы В.В. Жикова, О.А. Олей-ник, Г.А. Иосифьян, А.С. Шамаева и др., является метод усреднения в предположении, что перфорации распределены периодическим или почти периодическим образом. Отметим, однако, что в целом мембрана с перфорацией с геометрической точки зрения все же является многообразием. Стратифицированное же множество не предполагает наличие структуры многообразия.
Наконец, отметим здесь работы С.Л. Соболева и Б.Ю. Стернина. В этих работах стратифицированную структуру имеет граница области; на разных участках границы задаются различные граничные значения. В настоящее время эта тематика имеет продолжение в работах С.А. Назарова и Б.А. Пламеневского. В их работе область может, например, иметь вид бесконечного ребристого конуса, на внутренности которого задан эллиптический оператор. Как и в предыдущем случае, та часть множества, на которой рассматривается эллиптический оператор, является многообразием. .
На наш взгляд, "синтетический" подход может стать базой для построения общей теории уравнений на стратифицированных множествах. По крайней мере, часть полученных на его основе результатов имеет по-
чти окончательный вид.
Данная работа посвящена, главным образом, изложению результатов о качественных свойствах решений эллиптических неравенств. Однако, часть работы уточняет и обобщает полученные ранее результаты других авторов о разрешимости краевых задач на стратифицированных множествах.
Цель работы. Исследовать разрешимость задачи Дирихле для эллиптических уравнений дивергентного типа с переменными коэффициентами на прочных стратифицированных множествах Q в пространствах
Соболевского типа Яр(П,р, ?) Изучить некоторые качественные свойства решений эллиптических неравенств Lqu > 0 такие, как слабый и сильный принцип максимума, лемма Бохнера и пр.
Методика исследований. Методика исследований основана на интерпретации сложных наборов дифференциальных уравнений в виде единого дифференциального уравнения. При этом применяется схема из абстрактной теории меры. Применяются методы классической теории дифференциальных уравнений в частных производных. При доказательстве слабой разрешимости задачи Дирихле используется стандартная вариационная схема, основанная на теореме Рисса о представлении функционала в гильбертовом пространстве.
Научная новизна. Все основные результаты являются новыми. Ключевые моменты этой работы, отличающие ее от работ, близких по тематике:
-
выделен, на наш взгляд, важнейший класс прочных стратифицированных множеств, для которого постановки краевых задач выглядят наиболее естественным образом;
-
получены результаты о разрешимости задачи Дирихле в пространствах соболевского типа, существенно уточняющие полученные ранее другими авторами;
-
доказан слабый принцип максимума в общем случае для эллиптического оператора на прочном стратифицированном множестве;
-
для двумерных стратифицированных множеств получен аналог леммы о нормальной производной и на его основе доказан сильный принцип максимума.
Практическая и теоретическая значимость. Основные результаты работы носят теоретический характер. Результаты могут быть применены в теории уравнений с частными производными.
Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [1]-[5] и являются новыми. Они докладывались и обсуждались на воронежских весенних математических школах "Современные методы в теории краевых задач"в 1997-2000 гг, на научной сессии ВГУ в 1999 гг, на XXII конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ в 2000 г, на семинаре по качественной теории краевых задач при Воронежском госуниверситете (руководитель - проф. Ю.В. Покорный) в 1998-2000 гг, на семинаре проф. Ю.И. Сапронова при Воронежском госуниверситете в 2000 г.
Структура и объем работы. Об организации текста. Диссертация состоит из введения, трех глав, объединяющих в общей сложности 20 пунктов, и списка литературы. Объем диссертации 91 стр. Библиография содержит 40 наименований. Текст иллюстрируют 16 рисунков.
