Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Разрешимость линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка в пространствах Лебега 18
1.1 Постановка задачи, основные определения и вспомогательные утверждения . 18
1.2 О решениях однородной системы. 32
1.3 Разрешимость неоднородной системы. 37
ГЛАВА II. Ограниченные решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка 48
2.1 Основные определения и леммы 48
2.2 Линейные дифференциальные уравнения с ограниченными коэффициентами 57
2.3 Линейные дифференциальные коэффициентами 76
ГЛАВА III. Разрешимость линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в пространствах Лебега 86
3.1 О разрешимости дифференциальных уравнений в пространстве Lx (-00,+00) 86
3.2 О разделимости дифференциальных уравнений в пространстве (-00,+00) 98
3.3 Об обратном операторе 100
3.4 О разрешимости дифференциальных уравнений в пространстве 111
3.5 О разрешимости дифференциальных уравнений в пространствах 115
Литература 118
- Постановка задачи, основные определения и вспомогательные утверждения
- Линейные дифференциальные уравнения с ограниченными коэффициентами
- О разрешимости дифференциальных уравнений в пространстве Lx (-00,+00)
- О разрешимости дифференциальных уравнений в пространстве
Введение к работе
Диссертационная работа посвящена исследованию проблемы разрешимости линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядка в пространствах функций, суммируемых по Лебегу на всей оси. Исследованию этой проблемы посвящены классические и фундаментальные работы Эсклангона [41], Ж.Л. Массера [27], Фавара [40], С.Г. Крейна [21. 22], В.Б.Лидского [25], А.М.Молчанова [28], Э.М. Мухамадиева [29, 30, 31]. В этих работах изучены условия обратимости и нормальной разрешимости линейных дифференциальных операторов в пространствах ограниченных и суммируемых в квадрате функций на оси и полуоси.
Исследование линейных обыкновенных дифференциальных уравнений на бесконечных интервалах актуально тем, что, как правило, результаты, относящиеся к исследованию линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с ограниченными коэффициентами на конечных интервалах, такие как условия разрешимости и нормальной разрешимости, непосредственно не переносятся на случаи, когда коэффициенты неограниченны или область изменения аргумента неограниченна.
Свойства решений линейных дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициентами или с неограниченной областью изменения аргумента существенно зависит от поведения коэффициентов на бесконечности и вблизи точек неограниченности. Полное исследование этой зависимости применительно к конкретным задачам в конкретных функциональных пространствах еще далеко от своего завершения. В работах Г. Вейла [44], В.Б. Лидского [25], A.M. Молчанова [28], И.М. Глазмана [45], И.М. Рапопорта [46], исследованы свойства спектра самосопряженных операторов, порожденных дифференциальными выражениями в зависимости от поведения коэффициентов.
Особый интерес представляет вопрос о разрешимости линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в пространстве ограниченных на всей оси функций и в пространстве суммируемых в некоторой степени на всей оси функций. В работах Ж.Л. Массера, Фавара, Э.М. Мухамадиева изучены условия разрешимости и нормальной разрешимости линейных дифференциальных уравнений с ограниченными коэффициентами в пространстве ограниченных на всей оси функций. В этом случае важную роль играют так называемые предельные уравнения, порождаемые самими уравнениями.
В работах Лабиба [23, 24] исследованы условия существования ограниченных на всей оси решений для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, когда коэффициенты являются многочленами по независимой переменной. Представляет интерес исследовать условия разрешимости линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициентами (необязательно многочлены) в пространствах ограниченных и суммируемых на всей оси функций.
Дополнительные свойства решений дифференциальных уравнений тесно связаны со свойством разделимости соответствующих дифференциальных операторов в функциональных пространствах. Систематическое изучение свойства разделимости дифференциальных операторов в функциональных пространствах берет свое начало от работ В.Н. Эверитта и М. Гирца [43]. В дальнейшем, эта теория развита в работах Ф.В. Аткинсона [1], М.О. Отелбаева [34, 35], К.Х. Бойматова [2, 3] и ряда других авторов. Имеющиеся исследования по теории разделимости дифференциальных операторов в функциональных пространствах в основном опираются на современные методы функционального анализа. В связи с этим представляет научный интерес исследование поведения решений линейного обыкновенного дифференциального уравнения в зависимости от поведения коэффициентов на бесконечности, особенно в случае неограниченных коэффициентов, и на основе этого изучать условия обратимости и разделимости соответствующего дифференциального оператора в функциональных пространствах.
Настоящая диссертационная работа состоит из трех глав. Первая глава посвящена исследованию вопроса о разрешимости систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициентами в пространствах Лебега. Полученные результаты обобщают и дополняют результаты работ Лабиба [23, 24], где исследованы условия разрешимости систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами в пространстве ограниченных на всей оси функций. Во второй главе, изучается линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с ограниченными коэффициентами. С помощью предельных уравнений, порождаемых самим уравнением, исследованы условия нормальной и однозначной разрешимости уравнения в пространстве существенно ограниченных на всей оси функций. Полученные результаты применяются при исследовании свойства разделимости линейных обыкновенных дифференциальных операторов второго порядка с неограниченными коэффициентами в пространствах Лебега.
Постановка задачи, основные определения и вспомогательные утверждения
Теперь, непосредственным вычислением, легко убедиться, что вектор-функция x(t) удовлетворяет системе (3.1).Единственность решения следует из леммы 2.2. Теорема 3.1 доказана.
Рассмотрим интегральное уравнение где GB(t,s) определенная в параграфе 1.2 матрица-функция и F{t,x{t)) = B,{t)x{t) + f(t). Имеет место следующая Теорема 3.2. Пусть матрица BQ удовлетворяет условию (2.3) и a(t) є А в случае т = 0, a{t) є An в случае т = п и a(t) є А Г\ An в случае \ т п-\. Тогда разрешимость системы (1.1) в пространстве L (-оо,+оо) эквивалентна разрешимости интегрального уравнения (3.5) в пространстве L„(—оо,+со). Доказательство. Пусть х0(0 решение системы (2.1), принадлежащее пространству L (—оо,+оо). Тогда xQ(t) удовлетворяет уравнению (3.6) x = B0a(t)x + F(t,x0(t)), где F(t,x0 (t)) = В] (t)x0 (t) + f(t) принадлежит пространству Lp.a (-00,+00). Следовательно, в силу теоремы 3.1, x0(t) является единственным решением уравнения (3.6), принадлежащее пространству L (-со,+со) и представляется в виде т.е. удовлетворяет уравнению (3.5). Пусть теперь х0(0 удовлетворяет интегральному уравнению (3.5) и принадлежит пространству L (-оо,+со). Тогда, в силу (1.3), вектор-функция F(t,x0(t)) принадлежит пространству L (-со,+оо). Поэтому система (3.6), в силу теоремы 3.1, имеет единственное решение x(t), принадлежащее пространству L (-оо,+оо), которое имеет вид Отсюда следует, что x(t) = x0(t), т.е. xQ(t) является решением системы (1.1). Теорема 3.2 доказана. Введя обозначения, + запишем интегральное уравнение (3.5) в операторном виде Так как f(t) є L (-со,+оо), то в силу теоремы 3.1, g{t) є L (-00,+00). Покажем, что оператор действует в пространстве L (-со,+оо), 1 р оо . Действительно, пусть х(/) є Z, (-со,+со). Тогда в силу условия (1.3) функция B\{t)x{t) принадлежит пространству Z, (-со,+оо). Поэтому в силу теоремы 3.1 (Tx)(t) принадлежит пространству L (—со,+оо). Из оценок, полученных при доказательстве теоремы 3.1 следует, что оператор jf непрерывно действует в 1р(-со,+со). Более того, имеет место следующая Теорема 3.3. Пусть выполнены условия теоремы 3.1. Тогда оператор jp L (-00,+00) —» L (-00,+00) вполне непрерывен.. Доказательство. Пусть Ф - единичный шар в пространстве L (-со,+со). В силу непрерывности оператора К, множество КФ = {хеЬр(-а),+ао): 3/еФ, x = Kf ) ограниченно в пространстве L (-со,+оо), 1 р со. Для простоты ограничимся рассмотрением случая т = п. Случаи т = О и 1 т п - 1 рассматриваются аналогично. Для х є КФ имеем Как при доказательстве теоремы 3.1, используя лемму 2.1 для функции \x(t)\ получим оценку Пусть 1 р со. Воспользуясь неравенством Гельдера, имеем Теперь фиксируем число Т О. Из неравенства (3.9) следует, что семейство функций КФ равномерно ограниченно на [— Т; Т\. С другой стороны, для х є КФ существует функция /еФ такая, что (3.11) x = BQa{t)x + B {t)f{t). Из равенства (3.11) следует, что семейство функций {х :хеКФ} на отрезке [- Т; Т\ равномерно ограниченно по норме пространства L [- Т; Т\, откуда, в частности, следует равностепенная непрерывность семейства функций КФ. Следовательно, в силу теоремы Арцеля из множества КФ можно выделить равномерно сходящуюся на отрезке [- Т;Т\ последовательность функций хп(ї). В силу произвольности Т, можно считать, что последовательность хп (t) равномерно сходится на каждом конечном отрезке к некоторой функции х0 (0 определенной на всей оси.
Линейные дифференциальные уравнения с ограниченными коэффициентами
Сначала по лемме 1.3 сконструируем последовательность h k вдоль которой функция b (t) является пределом функции b(t) в смысле слабой сходимости в L2[—Т;Т]. Затем из этой последовательности в силу той же леммы выберем подпоследовательность, вдоль которой функция а получается как предельная функция из функции a(t) в смысле слабой сходимости в L2[ T;T]. Поэтому (а,Ь) є H(a,b), что и требовалось доказать. В дальнейшем нами используется следующая лемма. Лемма 1.4. Пусть b(t) О и множество Н(Ь) не содержит ноль. Тогда однородное уравнение (1.8) не имеет ненулевых ограниченных решений. Доказательство. Пусть x0(t) ненулевое ограниченное решение уравнения (1.8). Так как b(t) ненулевая функция из / (-00,+00), то Очевидно, либо М 0, либо т 0. Пусть М 0. Тогда существует точка t0 такая, что 0 х0 (t0) М . Рассмотрим множество E = {t:x0(t) x0(t0)} В силу выбора точки tQ и непрерывности функции x0(t), множество Е непусто и открыто. Пусть (а,/3) составляющий интервал этого множества. Возможны следующие случаи: 1) -оо а /? +оо, 2) t0 а /3 = +оо, 3)-oo = a /? f0. Пусть для интервала (#,/?) имеет место случай 1). Тогда х0(а) = x0(j3) = xQ(tQ) и х 0(а) 0, х о(0) О. С другой стороны, разрешая уравнение (1.8) относительно x (t) имеем Из равенства (1.20) следует, что x Q(t) 0 при a t /3 и поэтому при t = /3 получим X Q(P) = 0. Следовательно, из (1.20) следует, что х 0(а) = 0, при a t p. Таким образом, x 0(t) = 0 на [а,{3] и поэтому xQ(t) = x0(a) при a t p, что противоречит выбору интервала {а,(3). Полученное противоречие доказывает, что случай 1) не возможен. Пусть для интервала {a, ft) имеет место случай 2). Тогда x0(t) = x0(a) и х 0(а) 0. Снова из представления (1.20) следует, что x 0(t) 0 при t a, следовательно x0(t) при / а не убывает. В силу леммы 2.1 функции x t) и x ft) существенно ограничены на всей оси. Поэтому последовательность [x0(t + к)} сходится к постоянной функции х = lim xQ(t), а последовательность {x 0(t + k)} к нулевой функции равномерно на каждом отрезке. Пусть a(t)u b{t) предельные функции последовательностей {a(t + к)} и \b(t + к)) в слабой топологии пространства L2[;T] для каждого Т 0. Тогда постоянная функция x(t) = х 0 является ненулевым ограниченным решением уравнения (1.9), откуда следует, что b(t) = 0 почти всюду. Это противоречит предположению леммы. Полученное противоречие доказывает, что случай 2) не возможен. Аналогично доказывается, что случай 3) также не возможен. Но это противоречит выбору множества Е. Лемма 1.4 доказана. Следствие 1.2. Пусть b(t) є Lx(—co,+co) и множество H(b) не содержит ноль и, кроме того, для любого Ъ ЕН(Ь) b(t) 0 почти всюду. Тогда все однородные уравнения (1.9) не имеют ненулевых ограниченных решений. Действительно, из следствия 1.1 следует, что коэффициенты уравнения (1.9) удовлетворяют всем требованиям леммы 1.4, откуда вытекает справедливость следствия 1.2. Следствие 1.3. Пусть b{t) 0 почти всюду и множество Н(Ь) не содержит ноль. Тогда все однородные уравнения (1.9) не имеют ненулевых ограниченных решений. Заметим, что условие b(t) О для любого t є (—оо,+оо) не достаточно для отсутствия ненулевых решений уравнения (1.8). Действительно ограниченная функция x{t) = tht = {el - е 1 ){el + е 1 у является решением уравнения (1.8) если a(t) = 4ht и b{t) = -2(1 h2t) 0 \/t єR.. В данном случае Н(Ь) = {о}. 2.2 Линейные дифференциальные уравнения с ограниченными коэффициентами В этом параграфе исследуется вопрос о нормальной разрешимости оператора в пространстве L (-00,+00). Оператор L рассматривается как оператор, действующий из пространства (-00,+00) в Z, (-оо,+оо) с областью определения L (-00,+00). Напомним, что оператор L: Е — F, где Е, F пространства Банаха, называется нормально разрешимым, если LE = LE. Изучается также вопрос об ограниченной обратимости оператора L: /, (-00,+00)- /,00(-00,+00). Оказывается, что при исследовании выше изложенных вопросов важную роль играют предельные уравнения (1.9), определенные в предыдущем параграфе.
О разрешимости дифференциальных уравнений в пространстве Lx (-00,+00)
В данном параграфе рассмотрим дифференциальное уравнение где q(t), g(t) заданные на всей оси функции и q{t) локально интегрируемая по Лебегу функция.
Определение. Говорят, что уравнение (3.1) обладает свойством разделимости в пространстве L (-оо,+оо), если из того, что функция g{t) принадлежит пространству LTO (-00,+00) следует, что для решения z(t) уравнения (3.1), принадлежащее пространству Ьж(-со,+со), функции q{t)z(t) и z"(t) также принадлежат пространству Ьж (—оо,+оо)
В силу леммы Эсклангона дифференциальное уравнение (3.1) с ограниченным на всей оси коэффициентом q{t) обладает свойством разделимости. Оказывается, достаточно широкий класс дифференциальных уравнений вида (3.1) с неограниченными коэффициентами также обладают свойством разделимости в пространстве /, (-00,+00) Если уравнение (3.1) обладает свойством разделимости, то наряду с решением z{f) пространству 1 ,(-00,+00) принадлежит его производная z\t). Более точные утверждения будут доказаны в дальнейшем.
Наряду с уравнением (3.1) рассмотрим соответствующее однородное уравнение Лемма 3.1. Пусть функция q(t) неотрицательна и локально интегрируема и не тождественно равна нулю на (—со,+со). Тогда однородное уравнение (3.2) не имеет ненулевых ограниченных на всей оси решений. Доказательство. Пусть z0(t) ненулевое ограниченное решение уравнения (3.2). Так как z0 (t) не эквивалентна нулю на (—оо,+оо), то г0 (0 0 и поэтому Очевидно, либо М 0, либо т О. Пусть для определённости М О. Тогда существует SQ, такой, что 0 ZQ(S0) М. Рассмотрим множество Е = {s:z0(s) ZQ(SQ)}. В силу непрерывности функции z0(t) множество Е открыто и в силу выбора sQ Е =0. Пусть (а, /?) составляющий интервал множества Е. Как и при доказательстве леммы 1.4 устанавливается, что случай - со а (3 +со не возможен. Пусть s0 а (3 = +со и z0 (a) = z0 (s0 ). Тогда существует число а0 а такое, что z Q (а) = О . Отсюда и из представления t z0 (t) = z0 (a0) + z 0 (aQ )(t -aQ)+ J (t - s)q(s)z0 (s)ds aQ следует, что г0(і)- +со при t—»+оо. Это противоречит ограниченности z0(t). Полученное противоречие доказывает, что случай s0 а /3 = +оо не возможен. Аналогично доказывается, что случай -со = а /3 s0 также невозможен. Таким образом, Е = 0, что противоречит определению множества Е. Лемма 3.1 доказана. Ниже будем предполагать, что функция q{t) имеет непрерывные производные q (t),q"(t) и удовлетворяет условиям: Пусть функция q(t) удовлетворяет условиям (3.3)-(3.5). Тогда уравнение (3.1) обладает свойством разделимости в пространстве Loo (-00,+00). Доказательство. Пусть g(t) принадлежит пространству ю (—со,+со) и z0(0 ограниченное решение уравнения (3.1). Выберем Я0 0 такое, что q{t) + Л-о 0 при всех / є (-оо,+оо). Очевидно, функция z0 (/) является единственным ограниченным решением уравнения где go(t) = g(t) - A,0z0(t). Теорема будет доказана, если покажем, что функция \q{t) + Л0 )z0 (t) ограничена. Рассмотрим функцию xQ (t) = (q( p(t)) + Я0 )z0 ( p(t)), где (p{t) определяется как неявная функция из уравнения Непосредственные вычисления показывают, что функция х0 (/) является решением уравнения (q( p(t)) + o)2 В силу выбора Я0 и условий (3.3) - (3.5) коэффициенты a(t), hit) уравнения (3.8) ограничены на всей оси. Из равенства 2AQq 2(s) (Я0 + q(s))2 q(s) q\s) Ms). Ao+V(s)J (A0+q(s))2 и условия (3.5) в силу \ p(t)\ — оо при / -» со следует справедливость неравенства (3.9) Ь0= ЇЇіпВД 0. Из (3.9) следует, что при 0 «s -b0 функция b{t) удовлетворяет условию (2.19). Кроме того, так как ограниченное решение x(t) однородного уравнения (3.10) x" + a(t)x + b(t)x = 0 по формуле z(t) х((р (0) порождает ограниченное решение Л0 + q(t) уравнения
О разрешимости дифференциальных уравнений в пространстве
Рассмотрим теперь дифференциальное уравнение (1.1) в /, (-00,+00) -пространстве измеримых и существенно ограниченных на всей оси функций. Прежде всего зададим область определения Д оператора Ажх = — х" + q(t)x как множество всех функций x(t), для которых x\t) абсолютно непрерывна на каждом конечном отрезке и функции x(t), - x"(t) + q(t)x(t) принадлежат пространству Ьх (-оо,+оо). Введем в рассмотрение также сопряженный оператор А\ f = -f" + q(t)f. Область определения D\ оператора состоит из функций fit) є LQQ (-оо,+оо), для которых существует функция git) є /да (-00,+00) такая, что имеет место неравенство и Al f = g, если f є Dj . Оказывается, условие разрешимости уравнения (1.1) в пространстве Zj(-co,+oo) является достаточным также для его разрешимости в пространстве Lx (-00,+00). Последнее, как будет доказана в следующем параграфе, в свою очередь, является достаточным для разрешимости уравнения (1.1) в пространствах L (-оо,+оо), 1 р со . Нам понадобится следующая лемма, устанавливающая связь между операторами А , Ах, действующими в пространствах Lx (-00,+00), Ьж (-00,+00). Лемма 4.1. Пусть функция q(t) локально интегрируема и ограничена снизу. Тогда оператор Ах сопряжен оператору А\ (4.1) А\=АЖ Доказательство. Заметим, что равенство (4.1) равносильно двум импликациям: Докажем первую импликацию. Пусть у є Dx . Тогда по определению D\ существует функция g(t) є Ьж (-оо,+оо), для которой имеет место равенство Покажем, что у є D и А у = g = Аху. Перепишем равенство (4.2) в виде Равенство (4.3), в частности, имеет место для любой дважды непрерывно дифференцируемой функции с компактным носителем. Пусть [а, Ь] произвольный отрезок. Предполагая x(t) дважды непрерывно дифференцируемой функцией с компактным носителем из [а, Ь], второе слагаемое левой части (4.3) интегрируем по частям v{a), v\a) - произвольные числа. Подставляя (4.4) в (4.3), получим Нетрудно проверить, что если функция z(t) с компактным носителем из [а,Ь] непрерывна и удовлетворяет условиям: является дважды непрерывно дифференцируемой и имеет компактный носитель из [a,b]. Следовательно, обозначая z{t) + x"(t), имеем для любой непрерывной функции z(t) с компактным носителем, удовлетворяющей условиям (4.5). Произвольную функцию z(t) с носителем из [а, Ь] можно представить в виде z(t) = ct + с2 + z(jt), где сх и с2 подобраны из условия Выбирая теперь v(a), v (a) таким образом, чтобы v(t) удовлетворяла условиям из (4.6) имеем для произвольной непрерывной функции z(t) с носителем из [а, Ь] Отсюда в силу леммы Дюбуа-Реймона следует, что y{t) - v{t) = О на [a, b]. Следовательно y(t), y (t) абсолютно непрерывны и - y"(t) +q(t)y(t) = g(t), в силу произвольности [а,Ь]. Таким образом A y = Axg, что и требовалось доказать. Докажем теперь вторую импликацию. Пусть у є D . Нужно показать, что существует функция g{t) є Lw (—00,+со), для которой имеет место равенство и у = g = Аху. Действительно, взяв в качестве функции g(t) функцию А у = -у" + qy є L (- ,+0), докажем, что имеет место (4.8). Обозначим z{t) = x (t)y(t) - x(t)y (t).
Похожие диссертации на К теории разрешимости линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в пространствах Лебега
