Содержание к диссертации
Введение
1 Классификация интегрируемых краевых условий 19
1.1 Определение интегрируемого краевого условия 19
1.2 Интегрируемые краевые условия 22
1.3 Интегрируемое краевое условие для уравнения Буссинеска 44
2 Симметрии и интегралы движения интегрируемых начально-краевых задач 52
2.1 Высшие симметрии краевой задачи для уравнения Бусси неска 52
2.2 Интегралы движения уравнения Кортевега-де-Фриза на полуоси 58
3 Частные решения интегрируемой краевой задачи для уравнения буссинеска 62
4 Интегрируемые редукции для бесконечных цепочек уравнений 65
4.1 Постановка задачи 65
4.2 Периодическая цепочка Тоды 66
4.3 Краевые условия, совместные с симметриями периодической цепочки Тоды 67
4.4 Интегрируемое краевое условие для бесконечной цепочки Тоды 70
4.5 Дискретная модель Ландау-Л ифшица 73
Список литературы
- Интегрируемые краевые условия
- Интегрируемое краевое условие для уравнения Буссинеска
- Интегралы движения уравнения Кортевега-де-Фриза на полуоси
- Краевые условия, совместные с симметриями периодической цепочки Тоды
Введение к работе
В последнее время большой интерес вызывают нелинейные уравнения в частных производных, интегрируемые методом обратной задачи рассеяния (МОЗР) [1]. В данном методе существенную роль играет представление интегрируемого уравнения
ut = G(u,ux,uxx,...,un), (1)
как условия совместности двух .линейных систем уравнений в частных производных первого порядка вида
Yx = U{x,t,\)Y, (2)
Yt = V(x,t,\)Y, (3)
с матричными коэффициентами U и V, зависящими от функций и, их,... и от комплексного параметра Л. Идея использовать обратную задачу квантовой теории рассеяния для решения нелинейных уравнений в частных производных восходит к классической работе Гарднера, Грина, Крускала и Миуры "Метод для решения уравнения Кортевега-де-Фриза", опубликованной в 1967 году [2]. В становлении метода обратной задачи рассеяния важную роль сыграли следующие две работы: П.Лакса "Интегралы нелинейных эволюционных уравнений и уединенные волны", опубликованной в 1968 году [3], в которой были формализованы результаты работы [2] и введено понятие L — А пары Лакса, и работа В.Е.Захарова и А.Б.Шабата "Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах" 1971 года [4], в которой были найдены новые примеры интегрируемых уравнений. В результате стало ясно, что понятие L — А пары не является специальным свойством уравнения Кортевега-де-Фриза, а применимо также и
к нелинейному уравнению Шредингера. Тем самым были открыты перспективы для применения метода и к другим уравнениям.
Характерным признаком уравнений, интегрируемых при помощи МОЗР, является наличие бесконечного множества явных решений (это солитонные, конечно-зонные и другие автомодельные решения). Выяснилось также, что интегрируемые уравнения обладают бесконечным числом локальных законов сохранения и высших симметрии.
С появлением все новых и новых примеров интегрируемых МОЗР систем возник вопрос: как выяснить, применим ли метод обратной задачи рассеяния к тому или иному уравнению? Симметрийный подход, заложенный еще в работах Э.Нетер, позволил выработать алгебраический критерий интегрируемости. В работах А.Б.Шабата, Н.Х.Ибрагимова, А.В.Жибера, В.В.Соколова, Р.И.Ямилова, С.И.Свинолупова, А.В.Михайлова и др. была решена задача полного описания классов интегрируемых уравнений типа Кортевега-де Фриза, нелинейного уравнения Шредингера, цепочки Вольтерра и др. В основу классификации был положен признак наличия симметрии сколь угодно высокого порядка.
Традиционно в методе обратной задачи рассматривались либо задача Коши для уравнения (1) в классе быстроубывающих при|#| —> со функций, либо периодическая по х задача. Однако, как правило, физические модели должны учитывать влияние некоторых пограничных взаимодействий. Математически это выражается в виде наложения на нелинейное уравнение (1) краевого условия в точке а; = хо вида
Pa(t,u,ux,...,um)\x=Xo = 0, а = 1,...,&. (4)
Однако, как показывает теперь уже многолетняя история развития теории интегрируемости, граничные задачи не очень успешно решаются при помощи метода обратной задачи рассеяния. Выяснилось, что лишь
для краевых условий весьма специального вида начально-краевые задачи для интегрируемых уравнений можно эффективно решать при помощи МОЗР. Сравнительно недавно была продемонстрирована возможность аналитического решения новых интересных краевых задач:
уравнение Шредингера на полуоси [5], [б], [7].
Уравнение sin-Gordon на полуоси [8].
Уравнение КдФ на полуоси [9] и др.
С появлением новых примеров возникла задача выделения именно тех краевых условий, при которых соответствующая начально-краевая задача может быть решена при помощи метода обратной задачи рассеяния. Естественно называть такие краевые условия интегрируемыми. Первой работой в этом направлении является работа Е.К.Склянина [10]. В ней предложен метод поиска интегрируемых граничных условий и найдены новые примеры. В основу метода кладется совместимость граничного условия с гамильтоновой структурой уравнения. Используется понятие классической и квантовой г - матрицы. Стоит упомянуть наблюдение А.И.Бобенко, состоящее в том, что интегрируемое граничное условие, как правило, можно записать в виде условия треугольности V-оператора в уравнении по t для вспомогательной линейной задачи ([8]). Это обстоятельство трудно использовать для построения общего решения краевой задачи, однако в том случае, когда решение вспомогательной линейной задачи известно явно (это имеет место, например, в теории конечнозонно-го интегрирования), этот подход позволяет эффективно выделить частные решения краевой задачи.
В работе И.Т.Хабибуллина [11] интегрируемые краевые условия исследовались с помощью высших симметрии уравнения (1). Пусть в точке х = xq задано краевое условие (4), и
ит = д(и, их,..., ит) (5)
- высшая симметрия уравнения (1). Продифференцировав соотношение (1) по переменной т, получим соотношение вида
г=0 Щ
где производные по г следует заменить в силу уравнения (5).
Определение ОД ([11]-) Граничная задача (1), (4) называется совместимой с симметрией (5), если соотношение (6) выполняется тождественно в силу (4) и его дифференциальных следствий, получающихся при дифференцировании по переменной t в силу самого уравнения (1).
Оказывается, что известные классы интегрируемых граничных условий совместны с бесконечным количеством высших симметрии. Так, например, у уравнения КдФ
щ = иххх - 6иих, (7)
имеется интегрируемое краевое условие вида
и\х=о = а, ихх\х=о = Ъ, (8)
которое совместно с бесконечным количеством высших симметрии вида
«г = /9 - 6fc/5 + 6/c2/l, UT = /is - lOfc/ц + 30k2/7>
ит = /21 - Ukf17 + 70А;2/із - 770/c4/5 + 868fc5/i,...
где к = За2 + b и utj = fj высшие потоки j-ro порядка.
В работе [12] данный симметрийный тест перенесен на бесконечные цепочки уравнений. На примере уравнения Тоды
qxy{n) = eq(n+1)-qin) - eqin)-q(n-l), -00 < n < +00, (9)
построены обрывы вида g(l) = #(#(0),^(0), #,,(0), #(-1)), совместные с симметриями второго и третьего порядка вида
qtl(n) = b1(n) + bl(n-l) + qx(n)2, (Ю)
qt(n) = b2(n -2)+ b2(n -1) + b2(n) + bi(n)[2qx(n) +
+qx{n + 1)] + bi(n - l)[2gx(n) + qx(n - 1)] + qx(nf, (11)
где bi(n), b2(n) - нелокальные функции. При этом интегрируемые условия для Тоды имеют вид
е = 0, 62,у(0) = 0.
(1) = const., Ь2(0) = 0;
q(l) = -q(0) + const., 62(0) = Щ^- + Ьі(0)дя(0);
(4)^) = е^і) + іА!|,
h(0) = 6М(0) - 6i(0)gx(l) + {aeq{Q) _ е_т? - aeq{0) _ е_ф) ;
(5) е"^"1) - 0 , 6і(0) = qxx(0) + const.
Данные обрывы сводят интегрируемую бесконечную цепочку уравнений Тоды к полубесконечной, опять таки интегрируемой ([12]). С другой стороны, интерес представляет задача нахождения интегрируемых "обрывов" цепочки уравнений по пространственным переменным. В работе [25] для периодического уравнения Тоды в лабораторных координатах t = х + у, z — x — у, в которых оно примет вид
qtt(n) = qzz(n) + е<^+1Ь^) - ея(п)-я(п-і) ? (12)
q(n + N) = q(n)t построено краевое условие в точке z = 0 вида
ft(ra)U=o = A»e 2 -Рп-іе 2 , (13)
где все числа (5п удовлетворяют равенству / = 1, либо все (Зп равны нулю.
Условие (13) в точке z = 0 разбивает задачу для уравнения (12) на всей оси — оо < z < +оо на две: на полуоси 2>0hz<0. В настоящем исследовании доказано, что данное краевое условие совместно с симметрией второго порядка бесконечной цепочки Тоды (12).
Научная новизна работы заключается в следующем. Предложен новый эффективный метод классификации интегрируемых краевых условий для нелинейных уравнений в частных производных. При этом оказывается, он дает, во первых, краевые условия, совпадающие с ранее известными, и, во вторых, позволяет получить новые результаты. При помощи этого метода найдено новое интегрируемое краевое условие для уравнения Буссинеска. Предъявлен бесконечный набор высших симметрии, совместимых с этим краевым условием. Построены классы частных решений краевой задачи для уравнения Буссинеска.
Работа носит теоретический характер. Автору представляется, что имеется в перспективе возможность применения полученных результатов в качестве основы для дальнейших исследований. Например, интерес представляет задача применения техники МОЗР к уравнению Буссинеска с интегрируемым краевым условием на полуоси.
Текст диссертации состоит из введения, 11 параграфов, разбитых на 4 главы, и списка литературы.
В первой главе рассматривается задача классификации краевых условий для интегрируемых эволюционных уравнений вида (1), представи-мых в виде условия совместности системы уравнений (2), (3). Ищутся краевые условия в точке хо = 0 вида (4), при которых задача (1), (4) является интегрируемой. Для этого используется новый подход, разработанный в совместной работе автора с научным руководителем [16], использующий только второе уравнение Лаксовой пары (3). Рассмотрим
следующее уравнение на неизвестную матричную функцию Z(t,X) вида
jtZ(t,\) = V{Ott,\)Z(t,\). (14)
В основу данного подхода поиска интегрируемых краевых условий положено следующее определение:
Определение 1.1 Краевое условие (4) назовем интегрируемым, если существуют матричная функция F ~ F(t,u(0,t),ux(0,t),...,X), det(F) ф 0, и скалярная функция h = h(X), такие, для любого решения Z(t, А) уравнения (14) новая функция
Zl(t,X) = FZ{t,h{X)) (15)
снова является решением уравнения (14) (но функции Y(x, t, А) и F(t,u(x,i),ux(x,t),...,X)Y(x,t,h(X)) не являются одновременно решениями уравнения (3) при произвольных значенияхu{x,t), ux(x,t),...).
Предложение в скобках исключает уже имеющиеся инволюции Лак-совой пары. Другими словами, при наложении интегрируемого краевого условия уравнение (3) при х = 0 приобретает дополнительную точечную симметрию.
Отметим, что из условия (15) следует выполнение равенства
jtZ-1{t1X)Z1(t1X)\xs=o = 01 (16)
означающего, что элементы матрицы Z~l{t, X)Z\(t, А) есть производящие функции законов сохранения начально-краевой задачи (1), (4).
Как нетрудно показать, условие существования симметрии (15) эквивалентно существованию невырожденных матричных решений уравнения
Ft = V(0,t,X)F-FV{0,t,h(X)). (17)
Уравнение (17) является основным для определения интегрируемых граничных условий. Оно фактически содержит три неизвестные функции (граничное условие (4), скалярную функцию h (А) и матричную функцию F) и, имеет, вообще говоря, бесконечное множество решений. Однако, если зафиксировать набор аргументов функции F или функций Ра из краевого условия, то возникают дополнительные ограничения и искомые функции удается найти. На примере уравнений КдФ, sine-Gordon, Гарри Дима и мКдФ показано, что известные для этих уравнений интегрируемые краевые условия удовлетворяют определению 1.1, и доказано, что для конкретного класса краевых условий они единственны. Так, например, уравнение Гарри Дима
щ + иъиххх = 0, х > 0, t > 0, (18)
допускает в точке х = 0 два интегрируемых краевых условия. Первое из них имеет вид
и(0, t) = 0; их{0, t) = b,beR. (19)
Другое интегрируемое условие есть
а и d
«а:(0, *) = au, ихх(0, t) = — + -; a, d Є R. (20)
Уравнение Гарри Дима записывается как условие совместности системы уравнений (2), (3), с матрицами
_ / 0 1\ _ / их -2и\
~\- о)1 ~ Uxx + f -uj'
Следующей теоремой проверяется, что известные краевые условия удовлетворяют определению 1.1.
Теорема 1.3 При выполнении краевого условия (19) уравнение (Ц) в точке х = 0 допускает симметрию (15) с функциями
F = J + аеАШ ( J , а - const, h = X,
-d - 2А ± Vd2 - AXd - 12Л2
где постоянная а. не зависит от Ь. При выполнении краевого условия '(20-) уравнение (Ц) допускает симметрию (15) с функциями /Л
,Л =
F =
f (А - Л) h.
Данные интегрируемые краевые условия (19), (20) будут единственными интегрируемыми условиями (в смысле определения 1.1) в классе краевых условий вида
Ps(u, иХ} ихх)\х=0 = О, s = 1,..., к, (21)
где к равно одному или двум.
Далее в этой главе с помощью нового подхода получены новые результаты. Рассматривается задача поиска интегрируемых в смысле определения 1.1 краевых условий для уравнения Буссинеска
ии = -ґихххх + -(и2)хх, х>0, t>0.
(22)
Для решения этой задачи удобно переписать уравнение в виде системы
эволюционных уравнений
Щ = vx, vt = -иххх + -ииХ1 х>0, t>0. (23)
Последнюю систему можно записать как условие совместности уравнений (2), (3), с матрицами
U =
(24)
(25)
V = г
Оказывается, справедлива следующая Теорема 1.5 Уравнение Буссинеска (23) допускает в точке х = 0 интегрируемое краевое условие (в смысле определения 1.1), состоящее из
двух равенств вида:
v(p,t) = a, ux(0,t) = b, (26)
где a, b - произвольные вещественные константы. При выполнении (26) уравнение (Ц) при х = 0 имеет точечную симметрию (15), где h = —2аг — X, с диагональной матрицей преобразования F = diag(—X — ia-\-b/3, A + m + 6/З, —Л —ш + Ь/3). Оно будет единственным интегрируемым краевым условием в классе тех матриц F преобразования (15), которые зависят только от X и не зависят от времени t. Следствие 1.1 Уравнение Буссинеска (22) имеет интегрируемое краевое условие, которое состоит из двух равенств, вида
ux\x^Q — Ь, иххх + 8иих\х=о = 0. (27)
В заключение главы рассматривается уравнение Каупа-Буссинеска (КБ):
Щ — Uxx + (32иХххх — є{ихк)х, (28)
где 7Г = щ + 1/2єи2х.
Уравнение (28) может быть получено как условие совместности двух линейных уравнений (2), (3), с матрицами
U==\-X2-^-iXq + r ОУ'
y=f ІЧх -2i(3X-Pq\
\І9хх + (20Л + ^)р -\qx J1
P = Л2 + 4/P + ^ ~ Г' q = Ь21*' Г = ^Щ + 4^"
Теорема 1.6 Уравнение Каупа-Буссинеска (28) допускает в точке х =
О интегрируемое краевое условие (в смысле определения 1.1) вида:
є2
их\х=о = b= const, (32иххх - єщих - —их + их\х==0 = 0. (29)
При выполнении (29) уравнение (14) при х = 0 допускает точечную симметрию (15), с функциями
F = [ 2 , h = -Л.
Оно будет единственным интегрируемым краевым условием в классе тех матриц F преобразования (15), которые зависят только от А и не зависят от времени t.
Во второй главе проверяется, что полученное краевое условие для уравнения Буссинеска выдерживает симметрийный тест [11]. Сначала проверяется существование симметрии уравнения Буссинеска (23), совместной с краевым условием (26). Это (лемма2.1)
% = vxxx + 4uvx + 4uxv - 4аих,
1 о 32 2 (30)
vx = оиь + оихихх + 4гш3 + 4vvx + —и'их - 4avx.
о о
Далее строится матричный оператор рекурсии R\ высших симметрии для уравнения (23), действующий на набор динамических переменных / = (и, h, их, w)T, где h = ихх + 4ix2, w = v — а. Оказывается, верно следующее утверждение:
Теорема 2.1 Пусть 1То - симметрия, совместная с краевым условием (26). Тогда применение квадрата оператора рекурсии R\ к этой симметрии снова дает симметрию, совместную с (26).
Из этой теоремы следует, что неоднократным применением к симметрии (их, vx) квадрата оператора рекурсии Щ мы получим бесконечную иерархию симметрии, совместных с краевым условием (26).
Во втором параграфе данной главы изучаются интегралы движения-для уравнения КдФ на полуоси с интегрируемыми краевыми условиями
Щ = иххх - 6гшх, х > 0, t > 0, (31)
UU=0 — а? Uxx\x=0 = b, (32)
u\t=o = uo(x)t м0(ж)|х-+оо -> 0. (33)
Известно, что в случае всей оси — оо < х < +оо данное уравнение имеет бесконечное количество локальных законов сохранения с плотностями Хп(х), где функции Хп{х) определяются из реккурентного соотношения
Х\{х) = -щ Xn+i(x) = -j-Xn(x) + ^2xk(x)Xn-k(x), (34)
fc=l
и для всех номеров п выполнено — / Xn{x)dx = 0. На полуоси они,
^ J —ОО
вообще говоря, не сохраняются. Следующая теорема утверждает, что при b = За2 задача на полуоси для уравнения КдФ "унаследует"2/3 интегралов движения задачи на всей оси: Теорема 2.2 При b = За2 для всех номеров таких, что
п = 0 (mod 3),
/Ч-оо
выполняется равенство — / Xn(%)dx = 0.
Данная теорема доказана в соместной работе И.Т.Хабибуллина с В.Э.Адлером [21] в случае, когда а — Ъ = 0.
В третьей главе построены частные решения интегрируемой краевой задачи (22), (27). Доказано, что применением преобразования Беклун-да к решению начально-краевой задачи можно добиться, подбором коэффициента ПБ, того, чтобы новое решение снова удовлетворяло рассматриваемой краевой задаче. В качестве примера приведен класс рациональных решений уравнения Буссинеска, удовлетворяющих краевому условию (27) при 6 = 0.
В последней, четвертой главе для бесконечной цепочки Тоды (12) (N = оо) производится поиск краевых условий вида
qz(n)\z=0 = Fn{q{n + l),g(n),g(n - 1)), -оо < п < +оо, (35)
. 15
совместных с его симметриями. Доказан следующий результат. Рассмотрим симметрию второго порядка
Чт{п) = Tjfati+fti), (36)
где <з,/1 получена из симметрии q^ (10) заменой переменной х на у. Тогда
справедливо следующее утверждение:
Теорема 4.1 Симметрия (36) совместна с краевым условием
Яг(п)\г=0 = рпе 2 -/?„_іЄ 2 } (37)
где все числа /Зп удовлетворяют равенству (3^ = 1, либо все (Зп равны нулю. Оно будет единственным краевым условием, совместным с (37), в классе функций вида (35).
В последнем параграфе рассматривается задача поиска интегрируемых редукций для дискретной модели Ландау-Лифшица. Пусть даны многочлен четвертой степени
Р(и) = аиА + Ьи3 + си2 + du + е,
и функция
/» = Й + рЫ) - -——- + -Лг1
\Un+l —Un ип — Un-iJ 2
Модель Ландау-Лифшица представляет собой бесконечную цепочку уравнений вида
ипхх = /п- (."")
Для этого уравнения построены условия обрыва видачі = F(wo), совместные с его симметриями второго и третьего порядков. Обозначим q = w_i, и = щ. Тогда симметрии третьего порядка для этих номеров
имеют вид:
„... . 12их , Р'Ы). 12 , 9 „, ..
иТ = 2иххх + ихР"{и) Н^х + ~-) + -( ^{и2х + Р{и)),
и — q 2 [и — q)z
Чг = 2fal + qxP"(q) + Ш (fe +^-)+ j^2 {<& + P(q)).
Справедливо следующее утверждение:
Лемма 4.3 Связь вида q = F{u) совместна с симметрией третьего порядка (иТ, qT) в следующих случаях: 1) q = с, 2) q = —и + с, 3) (ciq + С2){с\и 4- С2) = —1. Здесь с, сі, С2 - произвольные константы.
На защиту выносятся следующие результаты:
предложен метод классификации интегрируемых краевых условий для нелинейных эволюционных уравнений в частных производных;
найдено интегрируемое краевое условие для уравнения Буссинеска; доказано, что оно совместно с высшими симметриями сколь угодно высокого порядка; построены частные решения соответствующей начально-краевой задачи;
доказана теорема о законах сохранения уравнения КдФ на полуоси с интегрируемыми краевыми условиями, в случае, когдаг4хх(0, t) — 3u2(0,) = const.
построены примеры краевых условий для бесконечной цепочки То-ды и для дискретного уравнения Ландау-Лифшица, совместных с высшими симметриями данных уравнений.
Основные результаты работы опубликованы в работах [16], [18], [109] -[114], из них работы [16], [18] выполнены совместно с научным руководителем, которому принадлежат постановка задачи и указание возможных путей решения.
Результаты, приводимые в диссертации, докладывались:
на международной конфередции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы"(Уфа, 2000 г.);
на международной конференции "Modern Group Analysis for the new millenium" (Уфа, 2000 г.);
на конференции "Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике" (Уфа, 30-31 октября 2003 г.);
на республиканской научно-практической конференции "Актуальные проблемы вузовской науки "(Нефтекамск, 2004 г.);
на семинаре кафедры математического анализа Стерлитамакского государственного педагогического института под руководством профессора К.Б.Сабитова (Стерлитамак, 2001 г.);
на семинаре кафедры математического и программного обеспечения вычислительных машин НФ БАШГУ (Нефтекамск, 2005 г.);
на семинаре института математики с ВЦ УНЦ РАН под руководством профессора Л.А. Кал'якина и профессора В.Ю. Новокшенова (Уфа, 2005 г.)
Интегрируемые краевые условия
Предложение в скобках исключает уже имеющиеся инволюции Лаксовой пары. Другими словами, при наложении интегрируемого краевого условия уравнение (41) при х = 0 приобретает дополнительную точечную симметрию. При этом из определения следует, что матрица F определена не однозначно, а с точностью до постоянного скалярного множителя, который может зависеть от Л. Этим свойством мы часто будем пользоваться в дальнейшем.
Во втором параграфе данной главы мы покажем, что найденные ранее интегрируемые краевые условия для уравнений КдФ, sine-Gordon, Гарри Дима и мКдФ удовлетворяют определению 1.1, поэтому его можно принять в качестве формального классификационного признака. В третьем параграфе приводятся новые примеры интегрируемых краевых условий для уравнений Буссинеска и Каупа-Буссинеска, полученные с его помощью. означающего, что элементы матрицыZ l(t, A)Zi(, А) есть производящие функции законов сохранения начально-краевой задачи (39), (42).
Раскрывая производную произведения в левой части уравнения (47) с помощью (48), после сокращения на Z(t,h(X)) получаем утверждение леммы. Лемма доказана.
Из леммы следует, что условие существования симметрии (44) эквивалентно существованию невырожденных матричных решений уравнения (46). Уравнение (46) является основным для определения интегрируемых граничных условий. Оно фактически содержит три неизвестные функции (граничное условие (42), скалярную функцию h(X) и матричную функцию F) и, имеет, вообще говоря, бесконечное множество решений. Однако, если зафиксировать набор аргументов функции F или функций Ра из краевого условия, то возникают дополнительные ограничения и искомые функции удается найти. На примере уравнений КдФ, sine-Gordon, Гарри Дима и мКдФ показано, что известные для этих уравнений интегрируемые краевые условия удовлетворяют определению 1.1, и доказано, что для конкретного класса краевых условий они единственны.
Из структуры уравнения (52) сразу следует, что функции /# могут зависеть явно только от переменной t и не содержат явной зависимости от функций и, их и т.д., поскольку, в противном случае, левая часть системы (52) будет содержать функции и г , , а правая часть их не содержит, в силу выбора вида краевых условий (51).
Удобно рассмотреть случаи, когда Я2 = 0 и Я2 0. Пусть Я2 = 0. Тогда из первого и третьего уравнений системы (56) следует, что/12 = 0, /и = І22- Вычитая из четвертого уравнения той же системы первое, получим hit - /nt = (4/i + 4Л + 4«)/ai = 0. (57)
Если /гі = 0, то из первого уравнения системы (52) /ш = 0, и F - постоянная матрица. Поэтому можно считать, чтоР - единичная матрица,
Далее, из второго уравнения (52) следует (h — Л)/ц = 0, и h — А. Если же /21 ф О, то из уравнения (57) следует, что h + А = —и. Левая часть последнего равенства не зависит от t, поэтому правая часть равна постоянной, и = Н = const, и Н\ = 0. Но тогда из третьего уравнения системы (55) /21 = 0, противоречие. Итак, в случае Н2 = 0 получаем, что симметрия (44) - тождественное преобразование. Если же #2 ф 0, тогда из второго уравнения системы (56) сразу получаем, что/и = /22 откуда из второго уравнения (55) следует /12 = 0. Теперь из последнего уравнения системы (56) и /21 = 0, матрица F снова оказывается единичной. Теперь из третьего уравнения (56) следует, что2/(Л—А)/іі = 0, и h = Л, получаем тождественную инволюцию. Итак, доказано, что в случае, когда уравнение (53) разрешимо относительно функции и, интегрируемые краевые условия отсутствуют.
Следовательно, на функцию и нет никаких условий, поэтому уравнения, системы (52) должны выполняться тождественно пои. Дифференцируя их по и, получим следующую систему уравнений:
Из первого уравнения (59) тогда/іг = 0, /21 = 0, а из второго уравнения /22 = /п. Далее, из третьего уравнения (h—X)fn = 0, и h = А. Поскольку из первого уравнения системы (52) следует, что /ш = 0, следовательно, F постоянная матрица, пропорциональная единичной. Поэтому можно считать, что F = I, h = Л, т.е. имеет место только тождественное преобразование и интегрируемых краевых условий нет. Итак, случай краевого условия из одного уравнения (53) полностью исследован
Интегрируемое краевое условие для уравнения Буссинеска
Возьмем вектор Y = (у,ух,Ухх)Т, тогда равенство (103) переходит в систему вида (40), (41), с матрицами
Наша цель - найти функции F(,A), /i(A) и краевое условие вида (42), при которых выполняется равенство (46). Мы ограничимся случаем, когда матричная функция F не зависит от времени t. Справедлив следующий результат:
Уравнение Буссинеска (102) допускает в точке х = 0 интегрируемое краевое условие (в.смысле определения 1.1), состоящее из двух равенств вида: где а, Ъ - произвольные вещественные константы. При выполнении (106) уравнение (41) при х = 0 имеет точечную симметрию (44); где h = —2ai — X, с диагональной матрицей преобразования F = diag(—X — ia-\-b/2 , X+га + 6/3, —Л — га + 6/3). Оно будет единственным интегрируемым краевым условием в классе тех матриц F преобразования (44) которые зависят только от X и не зависят от времени t.
Последнее равенство дает i3(h(X) — X)(h(X) + A + 2iv(0, t)) = 0. Предположим сначала, что нулю равна первая скобка, т.е. h(А) = А. Тогда из равенства (107) получаем, что матрицы V(0, , А) и F(X) перестановочны V(0,t,X)F(X) = F(X)V(0,t,X).
Отсюда заключаем, что F(X) = cl где с произвольная функция А, / - единичная матрица, т.е. симметрия (44) тривиальна. Следовательно, сделанное предположение неверно, и нулю равна вторая скобка, т.е. выполняется равенство /г(А)+А = —2iv(0, t). Так как в последнем равенстве функция слева зависит только от А, а справа от времени t, заключаем, что. г; (О,t) = a = const, а функция /i(A) = —Л — 2га. Далее, полагая F(X) = fij(X), г, j = 1,2,3, получаем из (46) цепь равенств
Предположим сначала, что интегрируемое краевое условие состоит из одного уравнения (109). Для дальнейшего анализа нужно снова выделить динамические (независимые) переменные. В левую часть системы входят функции щ их, ихх, vx. Функции и и vx зависимы: — и = vx.
Следовательно, динамическими переменными являются функции и, их, ихх. Теперь, дифференцируя первое уравнение системы (108) по переменным их и ихх, получаем, что функции fu и /із нули. Тогда из этого же уравнения следует, что и /зі ноль. С учетом этих равенств из второго, пятого и шестого уравнений системы (108) получаем, что функции/з2, /гз и /21 также нулевые. Далее, дифференцируя восьмое уравнение той же системы по переменной их, получаем, что функции /22 и /зз совпадают. При /22 ф 0, сокращая восьмое уравнение на /22, получаем, что Л + га = 0 для всех Л, что противоречит условию независимости спектрального параметра Л и полевых переменных. Тогда функция /22 равна нулю, F- нулевая матрица, т.е. уравнение Буссинеска не имеет интегрируемого краевого условия вида (109). Отсюда заключаем, что к условию (109) следует добавить еще одно краевое условие,,связывающее переменные и, их, ихх. Исследуем краевое условие вида ux(Q,t) = G{u,uxx,t). (ПО)
Условие (ПО) уменьшает число динамических переменных, входящих в матрицу V, на единицу. Теперь это функции и, ихх. Дифференцированием первого уравнения системы (108) поихх получаем /із = 0. Дифференцируя второе уравнение по переменной иу получаем, что fu = 0. Тогда из этого же уравнения следует, что и /з2 = 0. Возвращаясь к первому уравнению системы (108), заключаем, что функция/зі также нулевая. Теперь из пятого и шестого уравнений системы можно заключить, что и функции /23, /21 нулевые. Остались диагональные элементы матрицы F. Из третьего уравнения заключаем, что функции/ц и /зз совпадают. Из восьмого уравнения получаем равенство
Интегралы движения уравнения Кортевега-де-Фриза на полуоси
Рассмотрим начально-краевую задачу на полуоси для уравнения КдФ с интегрируемыми краевыми условиями ([9])
Будем считать, что начальная функция щ(х) является бесконечно гладкой, и что сама функция щ(х) и все ее производные убывают на бесконечности быстрее любой степени х. Как известно, соответствующая задача для уравнения КдФ на всей оси имеет бесконечное число полиномиальных интегралов движения. На полуоси они, вообще говоря, не сохраняются.
Напомним некоторые факты из теории интегрирования уравнения КдФ ([1]). Уравнение (136) есть условие совместности следующей пары линейных систем вида
Один класс решений, в силу специфики краевых условий (153), очевиден: это не зависящие от t решения обыкновенного дифференциального уравнения иххх + 8иих = 0. (154)
Оно легко преобразуется к уравнению первого порядка, разрешенному относительно производной: их = J--и3 + CiU + с2, где сі и С2 произвольные постоянные. Общее решение последнего урав з нения - эллиптическая функция Вейерштрасса и = — - р(±ж + а) (см. [22]), четная по переменной ж, а - постоянная интегрирования. Другие решения краевой задачи можно получить с помощью преобразования Бэклунда:
Ясно, что существует решение первого уравнения системы (159) вида г(/(0, t) = 0. Подставляя это решение во второе уравнение системы (159), получаем уравнение wxt = -[3wxxx - I2(w x - wx)wx - Q(w x - wx)w x - kwxt/2]. (161)
Обозначим w x(0,i) = ip{t) решение уравнения (161) с начальным условием w x(0,0) = а. Тогда пара функций w (0, t) = 0, w x(0, t) = ф(Ь) дают решение системы (159) с начальными условиями (160). Это означает, в силу единственности решения задачи Коши, что функция (ж, t) принимает значения WQ(0, t) = 0, wf0x(0, t) = ф(і). Теперь из второго уравнения системы (158) следует, 4iow 0xx(0i t) = —b. Теорема доказана.
Из доказанной теоремы следует, что неоднократным применением преобразования Бэклунда к любому решению уравнения (154) мы каждый раз при специальном выборе начального условия и коэффициента ПБ будем получать решение краевой задачи (152), (153). Пример таких решений - рациональные решения уравнения Буссинеска (152). Они получаются последовательным применением преобразования Бэклунда (155) к нулевому решению:
Из теоремы 3.1 следует, что у уравнения Буссинеска существует бесконечно много рациональных решений, удовлетворяющих краевым условиям (153) при Ъ = 0. Итак, классом решений, удовлетворяющих краевым условиям (153), будут рациональные решения уравнения Буссинеска.
Рассмотрим задачу нахождения краевого условия для уравнения (163) в точке z = О, совместного с бесконечным числом высших симметрии данного уравнения. Именно, имеется в виду следующее [13]. Пусть функции q(n) и ее производные связаны в точке z = 0 соотношением где под q подразумевается набор функцийq(n), —со п +оо. Другими словами, равенство (164) задает краевое условие в точке z = 0. Далее, пусть задана высшая симметрия уравнения (163) вида другая нелокальная функция и за с(п) обозначена функция c(n) = eg(n+i)-g(n) Симметрии бесконечной цепочки Тоды (162) невозможно выписать в явном виде (через функцию q), поэтому задача поиска совместных краевых условий сопряжена с определенными трудностями. Полезно для предварительного исследования рассмотреть случай периодической цепочки, полагая q(n + N) = q(n), N 2 целое число, т.е. рассмотрев уравнение
Краевые условия, совместные с симметриями периодической цепочки Тоды
Представляет интерес задача отыскания частных решений краевой задачи ии = - ихххх + -(и2)хх, х 0, t 0. (152) zx=o = b, иххх + 8иих\х=о = 0. (153) Один класс решений, в силу специфики краевых условий (153), очевиден: это не зависящие от t решения обыкновенного дифференциального уравнения иххх + 8иих = 0. (154)
Оно легко преобразуется к уравнению первого порядка, разрешенному относительно производной: их = J--и3 + CiU + с2, где сі и С2 произвольные постоянные. Общее решение последнего урав з нения - эллиптическая функция Вейерштрасса и = — - р(±ж + а) (см. [22]), четная по переменной ж, а - постоянная интегрирования. Другие решения краевой задачи можно получить с помощью преобразования Бэклунда: kw t-2w xx-4wxx + I2{w -w)wx + 4(u/-w)3 4-А = 0 kwt + 4w xx + 2wxx + 12(w - w)w x + 4(«/ - wf + A = 0, где к2 = — 36, u = -wx, А- произвольная константа.
Отметим, что при этом функциям(х,t) будет удовлетворять следующему уравнению wtt = 4wxwxx + -wxxxx. (156) Интегрируемые краевые условия (153) для функции w(x, t) примут вид w(0,t) = 0,wxx{0,t) = -b. Следующая теорема полезна для построения решений краевой задачи (152), (153).
Теорема 3.1 Пусть w(x,t) -решение уравнения (156) с краевыми условиями w{0,t)=0,wxx(fi,t) = b; (157) w 0(x,t) -решение, полученное преобразованием Бэклунда (155) функции w(x,t) при X = 2Ь, удовлетворяющее начальному условию w 0(0,0) = 0. Тогда решение w 0{x,t) также удовлетворяет краевым условиям вида (157) 4(0,0 = 0, w 0xx(0,t) = bb 6i = -b. Доказательство. Запишем преобразование Бэклунда (155) в удобном для наших целей виде kw t - 3wxx + 6(и/ - w)(2wx + .11Q + 6(w/ - w)3 4- kwt/2 + A = 0 4w xx + 12 (w/ - w)w x + 4(w - wf Л- kwt + 2wxx + Л = 0. (158)
Пусть производная пох функции w 0(x, t) принимает в точке х = 0, у = 0 значение w 0x(Q, 0) = а. Дифференцируя первое уравнение системы (158) по я и полагая х — 0, получаем следующую систему уравнений 1 3 w t = - [3wxx-6{w -w){2wx + wx)-6(w -wf-kwt/2--\} «4 = jfiWxxx 6( )(2 + + 3( - w)2) - + (159) & з + 6(«/ - w)(-wt - -wxx + 3(w - и/)и + (и/ - w)3)], с начальными условиями и/(0,0) = 0, w x{0,0) = а. (160) Ясно, что существует решение первого уравнения системы (159) вида г(/(0, t) = 0. Подставляя это решение во второе уравнение системы (159), получаем уравнение wxt = -[3wxxx - I2(w x - wx)wx - Q(w x - wx)w x - kwxt/2]. (161)
Обозначим w x(0,i) = ip{t) решение уравнения (161) с начальным условием w x(0,0) = а. Тогда пара функций w (0, t) = 0, w x(0, t) = ф(Ь) дают решение системы (159) с начальными условиями (160). Это означает, в силу единственности решения задачи Коши, что функция (ж, t) принимает значения WQ(0, t) = 0, wf0x(0, t) = ф(і). Теперь из второго уравнения системы (158) следует, 4iow 0xx(0i t) = —b. Теорема доказана.
Из доказанной теоремы следует, что неоднократным применением преобразования Бэклунда к любому решению уравнения (154) мы каждый раз при специальном выборе начального условия и коэффициента ПБ будем получать решение краевой задачи (152), (153). Пример таких решений - рациональные решения уравнения Буссинеска (152). Они получаются последовательным применением преобразования Бэклунда (155) к нулевому решению:
Из теоремы 3.1 следует, что у уравнения Буссинеска существует бесконечно много рациональных решений, удовлетворяющих краевым условиям (153) при Ъ = 0. Итак, классом решений, удовлетворяющих краевым условиям (153), будут рациональные решения уравнения Буссинеска
Рассмотрим задачу нахождения краевого условия для уравнения (163) в точке z = О, совместного с бесконечным числом высших симметрии данного уравнения. Именно, имеется в виду следующее [13]. Пусть функции q(n) и ее производные связаны в точке z = 0 соотношением где под q подразумевается набор функцийq(n), —со п +оо. Другими словами, равенство (164) задает краевое условие в точке z = 0. Далее, пусть задана высшая симметрия уравнения (163) вида
Определение 4.1 Краевое условие (164) будем называть совместимым с высшей симметрией (165), если справедливо равенство в точке z = 0 при наложении дифференциальной связи (164) на функцию q и ее производные. В данной главе мы ограничимся поиском совместных краевых условий вида другая нелокальная функция и за с(п) обозначена функция c(n) = eg(n+i)-g(n) Симметрии бесконечной цепочки Тоды (162) невозможно выписать в явном виде (через функцию q), поэтому задача поиска совместных краевых условий сопряжена с определенными трудностями.)
