Введение к работе
Актуальность темы. Теория нелинейных уравнений, описывающих различные физические эффекты, является весьма важной и актуальной. Наиболее интересными задачами в этой теории являются вопросы о разрушении решений за конечное время, глобальное во времени существование решений и их асимптотика при больших временах. Сложность получения асимптотики связана, во-первых, с необходимостью первоначального доказательства существования решения в целом по времени, и во-вторых, с получением некоторого количества дополнительных априорных оценок, учитывающих тип нелинейности в задаче.
Интерес к периодическим задачам возникает по нескольким причинам. Такого рода задачи можно рассматривать, например, в случае, когда среда обладает периодической структурой: кристаллы, клеточная ткань, композитные материалы. Кроме того, асимптотика решений подобных задач имеет особенности, отличающие ее от асимптотики решений задачи Копій1'2.
В 2000 г. И.А.Шимарёвым совместно с его учениками П.И.Наумкиным и Е.И.Кайкиной была рассмотрена периодическая задача в одномерном по пространственной переменной случае для модельного уравнения с нелиней-ностями 2-го и 3-го порядков. Данное уравнение содержит в себе многие известные уравнения математической физики, например, уравнения Бюргерса, Кортевега-де Фриза, Уизема, Курамото-Сивашинского. И.А.Шишмарёвым и его учениками была разработана методика, позволяющая единым образом исследовать асимптотическое поведение периодических решений (в опреде-
^.I.Kaikina, P.I.Naumkin, I.A.Shishmarev Periodic problem for a model nonlinear evolution equation//
Advances in differential equations. - 2002. - Vol.7, N 5. - P.581-616.
2P.I.Naumkin, I.A.Shishmarev Nonlinear nonlocal equations in the theory of waves. / Amer. Math. Soc,
Vol.133. - Providence, RI 1994.
ленном смысле) подобных уравнений.
Другим известным классом нелинейных уравнений, интерес к которому впервые возник в 1937 году, является уравнение Колмогорова-Петровского-Пискунова (КПП). Данное уравнение возникает при описании нелинейных процессов типа «реакция-диффузия», имеющих различную природу: распространение доминантного гена по заселенной территории3, изотермическое распространение пламени4, химическая кинетика5.
В 1999 г. И.А.Шишмаревым была исследована6 задача Коши для уравнения КПП в многомерном по пространственной переменной случае. Была получена асимптотика при больших временах классического решения данного уравнения.
Помимо задачи Коши, для уравнения КПП естественно также исследовать периодическую задачу. Она появляется в случае, когда среда, в которой рассматривается процесс, обладает периодической структурой. Примером такой постановки является задача распространения нервных импульсов по клеточной ткани7'8.
Еще одним важным нелинейным уравнением, имеющим разнообразные приложения, является комплексное уравнение Ландау-Гинзбурга. Ему посвя-
3Колмогоров А.Н., Петровский И.Г., Пискунов Н.С. Исследование уравнения диффузии, соединенной
с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме// Бюл. МГУ,
Механика и математика. - 1937. - ТЛ, Вып.6. - С.1-26.
4Зельдович Я.Б., Баренблатт Г.И., Либрович В.Б., Махвиладзе Г.М. Математическая теория горения
и взрыва. - М.: Наука, 1980.
5N.Kopell, L.N.Howard Plane wave solutions to reaction-diffusion equations// Stud. Appl. Math. - 1973. -
Vol.52, N 4. - P.291-328.
6Шишмарев И.А. О временной асимптотике решений обобщенного уравнения Колмогорова-Петров-
ского-Пискунова// Докл. РАН. - 1999. - Т.365, №4. - С.461-464.
7A.L.Hodgkin, A.F.Huxley A quantitative description of membrane current and its application to conduction
and excitation in nerve// J. Physiol. - 1952. - Vol.117. - P.500-544.
8G.A.Carpenter Periodic solutions of nerve impulse equations// J. Math. Anal. Appl. - 1977. - Vol.58, N 1.
- P.152-173.
щено значительное количество работ, изучающих сверхпроводимость , динамику жидкости10, химическую кинетику11.
В 1995 году И.А.Шишмарёвым и М.Цуцуми была исследована12 задача Коши для уравнения Ландау-Гинзбурга в многомерном по пространственной переменной случае и получена асимптотика решения.
Помимо задачи Коши для данного уравнения так же, как и для уравнения КПП, можно рассматривать периодическую задачу.
Целью работы является, во-первых, обобщение результатов, полученных И.А.Шишмарёвым и его учениками для модельной периодической задачи с нелинейностями 2-го и 3-го порядков в одномерном по пространственной переменной случае, на n-мерный случай. Во-вторых, построение асимптотики решения периодической задачи для обобщенного уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова и уравнения Ландау-Гинзбурга в n-мерном по пространственной переменной случае.
Научная новизна. В диссертации впервые получена асимптотика решения периодической задачи для модельного уравнения с квадратичной и кубической нелинейностями в многомерном по пространственной переменной случае. Также впервые получена асимптотика решения периодической задачи для обобщенного уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова и уравнения Ландау-Гинзбурга в многомерном по пространственной переменной случае.
9Гинзбург В.Л., Ландау Л.Д. К теории сверхпроводимости// Жур. эксп. и теор. физ. - 1950. - Т.20,
Вып.12. - СЛ064-1082.
10А.С.Newell, J.A.Whitehead Finite bandwidth, finite amplitude convection// J. Fluid Mech. - 1969. - Vol.38,
Part 2. - P.279-303.
nY.Kuramoto, T.Yamada Turbulent state in chemical reactions// Prog. Theor. Phys. - 1976. - Vol.56, N 2.
- P. 679-681.
12Шишмарев И.А., Цуцуми M. Асимптотика при больших временах решений комплексного уравнения
Ландау-Гинзбурга// Мат. сборник. - 1995. - Т.190, №4. - С.95-114.
Практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер, однако ее результаты можно использовать при моделировании колебательных процессов в средах с периодической структурой.
Апробация работы. Основные результаты, изложенные в работе, докладывались на научном семинаре «Нелинейные дифференциальные уравнения» кафедры общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ, на научном семинаре кафедры математического моделирования НИУ МЭИ и на конференции «Ломоносовские чтения», секция вычислительной математики и кибернетики (апрель 2002 г., ноябрь 2011 г., апрель 2012 г.).
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в трех работах.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 26 наименований. Общий объем диссертации составляет 114 страниц.
