Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ'УРАВНЕНИЙ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ ПРИ ПРОИЗВОДНЫХ В СЛУЧАЕ СМЕНЫ УСТОЙЧИВОСТИ ФОКУСА В ОДНОЙ ТОЧКЕ ПЛОСКОСТИ БЫСТРЫХ ДВИЖЕНИЙ 21
I.I. Асимптотика решений одной системы дифференциальных уравнений с малым параметром при производных в случае неустойчивости фокуса 21
1.2.Асимптотическое поведение решений одного класса систем дифференциальных уравнений с малым пара метром при производных 39
1.3. Асимптотика решений одного класса дифференциальных уравнений с малым параметром при производных в случае смены устойчивости фокуса 61
1.4.Асимптотические оценки для решений одной системы дифференциальных: уравнений с малым параметром при производных в случае неустойчивости фокуса 75
ГЛАВА 2. АСИМПТОТИКА РЕШЕНИИ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ ПРИ ПРОИЗВОДНЫХ В СЛУЧАЕ СМЕНЫ УСТОЙЧИВОСТИ ФОКУСА В ДВУХ ТОЧКАХ ПЛОСКОСТИ БЫСТРЫХ ДВИЖЕНИЙ 96
2.1. Исследование асимптотического проведения решений одной системы дифференциальных уравнений с малым параметром при производных в случае смены устойчивости положения равновесия в двух точках плоскости быстрых движений 96
2.2.Асимптотика решений системы (2.1.4) 115
2.3.Асимптотическое поведение решения одного класса дифференциальных уравнений с мальм параметром при производных в случае смены устойчивости фокуса в двух точках плоскости быстрых движений... 125
2.4.Асимптотика решений системы (2.3.3) 143
ГЛАВА 3. АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ НАЧАЛЬНОЙ И КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ В КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ ПРИПРОИЗВОДНЫХ 154
3.1. Асимптотика решений одного класса систем дифференциальных уравнений с малым параметром при производных в критическом случае 154
3.2. Краевая задача для одного класса дифференциальных уравнений с малым параметром при производных в случае частичной смены знаков действительных частей собственных чисел 164
3.3. Асимптотика решения краевой задачи 181
ГЛАВА 4. АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ ПРИ ПРОИЗВОДНЫХ В СЛУЧАЕ СМЕНЫ УСТОЙЧИВОСТИ ТОЧКИ ПОКОЯ В ПЛОСКОСТИ"БЫСТРЫХ ДВИЖЕНИЙ" 197
4.1. Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при производных в случае смены устойчивости точки покоя в плоскости "быстрых движений" 197
4.2. Асимптотика решений системы (4.1.5) 214
4.3. Примеры 220
ГЛАВА 5. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМ В СЛУЧАЕ СМЕНЫ, УСТОЙЧИВОСТИ ФОКУСА 235
5.1. Построение формального решения 238
5.2. Оценка остаточного члена 249
ЛИТЕРАТУРА 255
- Асимптотика решений одной системы дифференциальных уравнений с малым параметром при производных в случае неустойчивости фокуса
- Исследование асимптотического проведения решений одной системы дифференциальных уравнений с малым параметром при производных в случае смены устойчивости положения равновесия в двух точках плоскости быстрых движений
- Краевая задача для одного класса дифференциальных уравнений с малым параметром при производных в случае частичной смены знаков действительных частей собственных чисел
- Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при производных в случае смены устойчивости точки покоя в плоскости "быстрых движений"
Асимптотика решений одной системы дифференциальных уравнений с малым параметром при производных в случае неустойчивости фокуса
Сначала для простоты рассмотрим систему постоянное число.
Нетрудно показать, что фокус OCf t/} cz-0 системы (I.I.I) устойчив при / О и неустойчив при О. Следователь но, при переходе через 2/— фокус становится неустойчивым. Это обстоятельство является новым в теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной, впервые замеченным академиком Л.С.Понтрягиным. Введем новые неизвестные функции и возьмем решение уравнения (I.I.2) в виде у= , тогда вместо (1.1.1),(1.1.2) будем иметь систему уравнений =№ +W- (ІЛ 3)
Отсюда вытекает,что для f , достаточно близких к течке I, решение системы остается еще ограниченной величиной, а затем при Є- О быстро уходит в бесконечность от положения равновесия. В этом параграфе выясняется наиболее трудный асимптотический характер поведения решений около положения равновесия. При этом получена асимптотическая оценка решений системы (I.1.3) с любой степенью точности относительно параметра на промежутке.
Исследования показывают, что на сегменте [- 1,1J асимптотика решений системы (I.1.3) имеет разный характер на разном множестве точек сегмента [- 1,1J , которые были ранее неизвестными, а именно на [- I, 1-Е J решение системы ведет себя по другому, чем на ff-s. , 4] , где j Л і Эти исследования наводят на рассмотрение наиболее общих систем, которые исследуются автором в последующих параграфах и главах настоящей работы. Возникает вопрос, нельзя ли подобрать из наиболее общих систем дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной такие системы,поведения решений которых ведут себя так же,как рассматриваемая здесь модельная система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. Если это возможно, то какие это именно общие системы, какие дополнительные ограничения требуются налагать на известные нелинейные члены? В настоящей работе выясняются и исследуются эти проблемы.
Исследование асимптотического проведения решений одной системы дифференциальных уравнений с малым параметром при производных в случае смены устойчивости положения равновесия в двух точках плоскости быстрых движений
Этот и последующие параграфы посвящены исследованию асимптотического поведения решений некоторых классов систем дифференциальных уравнений с малым параметром при производных в случае смены устойчивости фокуса в двух точках плоскости быстрых движений. Следует отметить, что качественное поведение решений этих систем существенно отличается от поведения решений систем, рассмотренных в главе I.
Исследования показывают, что здесь появляются более сложные явления. В этом параграфе будет показано, что на разныхучастках сегмента ["-/5; і J решение ниже рассматриваемой систе мы ведет себя по разному, а именно на отрезке решение ограничено при -ъ»о і , начиная от -т= до 1 решение быстрее, чем \/ б 9 стремится к бесконечнос ти, а затем, начиная от единицы, входит в область устойчивости и тем самым является ограниченным.
Наблюдается случай, что даже в ограниченной области Г- » "О решение системы ведет себя по разному, а именно начиная от - /j до - , где - , остаточный член решения системы оценивается по целым степеням малого параметра , а начиная от - ? до --4= , вообще говоря, по дробным степеням, начиная от — -т=- до 4 , быстро стремится к бесконечности при - - Рассмотрим систему.
Краевая задача для одного класса дифференциальных уравнений с малым параметром при производных в случае частичной смены знаков действительных частей собственных чисел
В этом параграфе исследуется краевая задача для одного класса систем дифференциальных уравнений с малым параметром при производных. Доказывается теорема существования и един-ственнности краевой задачи, строится асимптотика с любой, степенью точности. Особенность рассматриваемой краевой задачи состоит в том, что часть собственных числе имеют положительные действительные части, а остальные меняют знаки действительных частей с отрицательных на положительные.
Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при производных в случае смены устойчивости точки покоя в плоскости "быстрых движений"
В отличие от предыдущих глав в этой главе проводится исследование асимптотического поведения решения и строится асимптотика решения с любой степенью точности систем дифференциальных уравнений с малым параметром при производных в общем случае, причем, для простоты, быстрая переменная считается трехмерной. В конце этой главы рассматриваются некоторые примеры.
В 4.1. исследуется асимптотическое поведение решений системы, которая имеет положение равновесия, устойчивость которого теряется при некотором значении у , но несмотря на это, решение системы в течение конечного промежутка времени остается вблизи неустойчивого положения равновесия. Здесь излагается асимптотическая теория системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
