Введение к работе
- з -
Актуальность темы. Теория колебаний имеет большое те-" оретическое и прикладное значение. Известно, что в основе математических моделей многих явлений, имеющих место в сплошных, средах лежат уравнения в частных производных. Изучение колебательных процессов сводится к нахождению решений колебательного вида соответствующих дифференцальных уравнений.
UCIICBCnOJiOJrUIKIvtU'riii СиїЦЄН ТЄСрИИ иСрїїОДКЧЄСІСИХ рсшОНИИ CJ33"
бо нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений являются A.M. Ляпунов и А.Пуанкаре. Большой вклад в развитие теории периодических решений и ее применений внесли А.А. Андронов, Л.И. Мандельштам,Н.Д.Папалекси, применив методы Ляпунова и Пуанкаре к систематическому исследованию нелинейных колебаний в ряде конкретных физических систем.
Во многих задачах небесной механики, физики, техники встречаются процессы, в которых зависимость от времени не являются периодической,а выражается посредством тригонометрических сумм. В связи с этим возник интерес к исследования почти периодических решений дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений с почти периодическими коэффициентами.
Теория почти периодических колебаний начала развиваться в работах П.Г. Боля, Г.Бора,' С.Бохнера, Б.М.Левитана. Фундаментальные результаты в теории почти периодических колебаний установлены в работах Н.М.Крылова, Н.Н.Боголюбова, Ю.А.Митро-польского, А.М.Самойленко, В.Х.Харасахалз. и др.
Многочисленные исследования по проблеме существования периодических и почти периодических решений параболических урав- -нений проведены Л.А. Багировым.В.В. Ликовым, Н.Н.Кочиной, Д.У. Умбетжановым, М.А. Шубиным и др.
Почти периодіїческие по временной и пространственной переменным решения краевых задач для линейных параболических и гиперболических уравнений изучались в работах Д.У. Умбетжанова, где установлены существование, единственность, устойчивость и аналитически вид этих решений. Краевые задачи для полипараболического уравнения рассматривались в работах М.О. Орынбасаро-ва.
В&тщьм и интересным модельным уравнением для описания нелинейных эффектов в диспергирующих средах является уравнение Уизема. Это уравнение встречается при описании поверхностных волн на воде, магнитозвузовых волн, в гидродинамике и других разделах физики. Имеется немало работ, исследующих это уравнение: П.И.Наумкин, И.А.Шипшарев, М.И. Иманалиев и др.
Таким образом, вопросы построения и исследования почти периодических решений различных классов дифференциальных уравнений являются важными и актуальными.
Целью-работы является исследование достаточных условий существования, единственности почти периодического решения для полипараболического уравнения и его аналитического представления и выяснение коэффициентных достаточных условий существования и единственности почти периодического решения уравнения типа Уизема, уравнения типа Уизема-Бюргерса.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Вопрос о почти периодических по всем переменным решениях полипарабодических уравнений, уравнений типа Уизема. Уизема-Бюргерса ставится впервые и реиается пололительно в классе гладких ограниченных почти периодических функций.
Для построения почти периодического решения уравнения ти-
па Уизема применен метод последовательных приближений в сочетании с методом характерисик. Почти периодическое решение полипараболического уравнения с помощью .функции Грина вспомогательной задачи Коши и ее свойства типа свертки.
Ценность работы. Результаты работы представляют прежде всего теоритический интерес и могут быть использованы при дальнейших исследованиях нелинейных уравнений и уравнений параболического типа. Результаты работы могут быть использованы в ряде прикладных задач, описываемых этими-уравнениями,
На защиту автор выносит следующие результаты:
доказаны теоремы существования, единственности и устойчивости почти периодического решения полипэраболического уравнения, установлен аналитический вид этого решения;
доказана теорема существования и единственности почти периодического по временной и пространственной переменным решения уравнения типа Уизема;
доказана теорема существования и единственности почти периодического решения уравнения типа Уизема-Вюргерса;
получены в явном виде коэффициенте критерии, обеспечивающие разрешимость этих задач.
Связь темы диссертации с планами отраслей науки. Диссер-тационная работа выполнена в соответствии с темой фундаментальных исследований КаэГНУ йм.Аль-Фаргби "Почти периодические решения дифференциальные уравнений".
Апробация работы. Основные результаты диссертации дояладн-вались и обслуживались на научных семинарах по дифференциальным уравнениям и функциональном пространствам член-корр.' HAH РХ Д.У. Умбетханова; по корректным задачам академика ЙА РК
Ш. С. Смагулова, по уравнениям математической физики профессора СИ. Темирбулатова, по дифференциальным уравнениям член-корр. HAH РК К.А.Касымова.
Публикациии.Основные результаты диссертации опубликованы в четырех работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, разделенных на параграфы и списка литературы из 50 наименований. Обьем диссертации 93 страницы.
