Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Критический случай двух нулевых корней
1.1 .Методы составления условий центра
1.2. Применение ЭВМ к проблеме центра
1.3.Решение проблемы центра в одном случае .28
1.4. Качественное исследование интегральных кривых одной системы в целом
2. Критический случай пары чисто мнимых и одного нулевого корня
2.1 .Существование периодических решений 42
2.2. Построение двухпараметрического семейства периодических решений 49
2.3.Существование голоморфных интегралов 53
2.4.Методы отыскания условий центра 58
2.5.Бифуркация периодических решений 72
2.6.Исследование системы (2.1), имеющей голоморфные интегралы 75
2.7.Исследование устойчивости в общем случае 87
Глава 3. Критический случай трех нулевых корней 97
3.1 .Исследование устойчивости 97
3.2. Периодические решения 103
Литература
- Применение ЭВМ к проблеме центра
- Качественное исследование интегральных кривых одной системы в целом
- Построение двухпараметрического семейства периодических решений
- Периодические решения
Введение к работе
Одной из основных задач качественной теории дифференциальных уравнений является изучение поведения в окрестности начала координат траекторий автономной системы дифференциальных уравнений где К -постоянная ненулевая матрица порядка \J Y\\ XQxo -аналитическая в точке о вектор-функция, C° = - °Vo.
Основополагающие результаты в этом направлении были получены А.Пуанкаре \so\ и A.M.Ляпуновым \27д .
Описание поведения решений системы (0.1) в окрестности начала координат сравнительно просто, если все собственные числа матрицы Ai имеют ненулевые действительные части. В этом случае, по теореме А.Пуанкаре \зб\, поведение траекторий системы (0.1) в некоторой окрестности начала координат топологически эквивалентно поведению траекторий системы.
Для случая, когда в системе (0.1) матрица г\ имеет К собственных чисел с нулевыми и П.-К. собственных чисел с отрицательными действительными частями, В.А.Шшссом \35д был предложен так называемый принцип сведения, согласно которому изучение устойчивости нулевого решения системы (0.1) сводится к изучению некоторой системы на к. -мерном инвариантном многообразии.
Если в системе (0.1) матрица К имеет \г. собственных чисел с нулевыми, т. собственных чисел с отрицательными и w-m-ч собственных чисел с положительными действительными частями, то, как показали А.Н.Шошитайшвили 57 и А.А.Рейнфельд \зт\, существует функция C V удовлетворяющая условию Липшица в некоторой окрестности точки \-0 , такая, что система (0.1) в некоторой.
Таким образом, в двух последних случаях задача исследования устойчивости нулевого решения системы (0.1) сведена к задаче исследования системы вида (0.1) меньшей размерности, у которой собственные числа матрицы А имеют лишь нулевые действительные части (критические случаи). Актуальность решения проблемы устойчивости движения в критических случаях следует уже из того, что любая задача об устойчивости консервативных систем приводится к исследованию системы дифференциальных уравнений, определяющее уравнение которой имеет нулевые и чисто мнимые корни.
Критические случаи достаточно хорошо изучены для двумерных систем. Изучение критического случая пары чисто мнишх корней было начато А.Пуанкаре \J36_J. Его результаты были значительно обобщены и углублены А.М.Ляпуновым j_27j. А.М.Ляпунов в этой работе решил вопрос об устойчивости нулевого решения и дал три способа исследования проблем центра и фокуса. Значительное продвижение вперед решение проблемы различения центра от фокуса для отдельных классов систем получило в работах М.И.Альмухамедова \_3-6], И.С. Куклеса [22-24] , Н.А.Сахарникова \44-45j, К.С.Сибирского \40\, А.П.Садовского [з8-4з], И.І.Широва \_54-56J, В.И.Володченкова \_16-18д и других. Но несмотря на большое число работ, посвященных ей, проблема различения центра и фокуса до сих пор решена только для отдельных частных случаев. Достаточно полная библиография этой проблеглы приведена в [46] (см.также \в\ ).
Первый из этих вопросов для системы (0.5) трактуется, например, Такенсом \ві\ » однако он рассматривает лишь простейшую ситуацию (случай коразмерности & в пространстве коэффициентов). Замкнутые траектории в окрестности О(р1о1о) там невозможны.
В четвертом параграфе при Ч-Ъ и выполнении условий центра 38 ] дано качественное исследование в целом интегральных кривых системы (0.4) в конечной части плоскости. Оказалось, что в этом случае качественная картина расположения траекторий имеет более сложный характер, чем при п.-2, . Приведены примеры, показывающие ошибочность утверждения одной теоремы Ф.И.Мулиной и Т.Н.Нурова І32].
Вторая глава посвящена критическому случаю пары чисто мнимых и одного нулевого корня. Первый параграф носит вспомогательный характер.
Во втором параграфе строится двухпараметрическое семейство периодических решений системы (0.5) при предположении
В третьем параграфе доказывается следующая
Два последующих параграфа посЕящены проблеме центра для системы (0.5) и вопросам бифуркации периодических решений. В §4 указаны пять способов составления условий центра и решена задача Пуанкаре для конкретной системы. В §5 результат Ю.Н.Бибикова [15] распространяется на систему (0.5) с малым параметром.
В двух последних параграфах этой главы доказаны теоремы, обеспечивающие устойчивость или неустойчивость нулевого решения системы (0.5). В §6 даны критерии устойчивости и неустойчивости нулевого решения системы (0.5) Е случае, когда или когда Э5.(рчо =0 » но система не имеет двухпараметрическо-го семейства периодических решений. Кроме того, предполагается выполненным одно из следующих условий, имеется голоморфный интеграл вида (0.12). В этих случаях задача устойчивости нулевого решения системы (0.5) решена полностью.
В §7 рассматривается случай, когда в системе (0.5)
В этом параграфе выделены классы систем вида (0.5), для которых устойчивость или неустойчивость нулевого решения следует из устойчивости или неустойчивости двумерных систем. В случае, когда начало координат для двумерной системы есть центр иї(рс її, ( 4 -1 Q(?v6rO) » g Q ™- - нечетно, то нулевое решение системы (0.5) может быть устойчивым и неустойчивым. В таких случаях указаны критерии устойчивости и неустойчивости нулевого решения системы (0.5).
Третья глава посвящена критическому случаю трех нулевых корней. В первом параграфе рассматривается система (0.7) при предположении (0.8) и доказаны теоремы, обеспечивающие устойчивость или неустойчивость нулевого решения. Во втором параграфе для системы (0.7) строится одно- или двухпараметрическое семейство периодических решений.
Основное содержание работы опубликовано в \18, 19, 49, 62-67J. По материалам диссертации сделаны доклады на семинаре кафедры дифференциальных уравнений Ленинградского госуниверситета, на семинаре кафедры дифференциальных уравнений и научных конференциях Якутского госуниверситета.
Применение ЭВМ к проблеме центра
Если выполнено первое условие, то поле направлений системы уравнений (3.1) симметрично относительно оси О , из чего следует, что начало координат будет центром. Если выполнено условие б), то по теореме 3.1 начало координат также будет центром. Замечание 3.1. Условия (3.8) и (3.9) отличны от условий, полученных в работах [8,38] для s =0 . Замечание 3.2. УСЛОЕИЯ (3.) и (3.9 ) меняются местами при Ъ 1. Замечание 3.3. При S A cL, некоторые условия из (3.10г) меняются местами. Замечание 3.4. Если по аналогии с тем, как это делает М.И.Аль-мухамедоЕ [51 , рассматривать коэффициенты Д-с , &;_ как координаты ТОЧКИ Е J\=4n+v -МерНОМ ЄЕКЛИДОЕОМ ПрОСТрЭНСТЕв Я НЭЗЫ вать "многообразием № " совокупность тех точек этого пространства, для которых соответствующая система (3.1) имеет в начале координат центр, то в любом из случаев .= 2. ,4 NTS О- Г0 . Анализируя теоремы 3.2-3.4, можно Еысказать следующую гипотезу Гипотеза. Начало координат системы уравнений (3.1) будет центром тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий: б) А -ч г-v - При Ь=0 аналогичная гипотеза была Еысказана А.П.СЭДОЕСКИМ [42І.
Качественное исследование интегральных кривых одной системы Е целом Рассмотрим систему дифференциальных уравнений = ъь« (4.1) где А , &- .-вещественные постоянные, Н. 1 -целое.
Известно [28J , что начало координат для системы (4.1) является особой точкой типа центр или фокус. Условия центра системы (4.1) при YI=1 были получены А.Ф.Андреевым \8_\, а качественное исследование интегральных кривых в целом этой системы на плоскости при наличии центра в начале координат было проведено А.Ф.Андреевым \s\ и Н.А.ЛукашеЕичем \_2б]. В частности, Н.А.Лукашевич доказал, что если система (4.1) имеет по крайней мере одну особую точку типа центр, то она интегрируется в элементарных функциях и не может иметь особых точек типа фокус или невырожденный узел. В круге Пуанкаре качественное исследование системы (4.1) при п=1 в случае, когда O(pvo) -центр, провели Ш.Р.Шарипов \ЬЗ\& И.В.Хайрут-динов [52].
А.П.Садовским \30\ было доказано, что начало координат для системы (4.1) при YI= 2. будет центром тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий: - SO, (4.2)
В этом параграфе, предполагая условия центра (4.2) и (4.3) выполненными, выясним качественную картину расположения интегральных кривых системы (4.1) при п- 2. в целом Е конечной части плоскости.
Пусть выполнено условие (4.2). Тогда общим интегралом системы (4.1) при л.= &, является Это позволяет утверждать, что Е данном случае система (4.1) при YI=SL может иметь особые точки лишь типа центр, седло или вырожденное седло. Учитывая (4.4), можно дать качественную картину расположения интегральных кривых в целом. Пусть теперь выполнено условие (4.3), тогда система уравнений (4.1) при У\.-&. примет вид Максимальное число особых точек равно одиннадцати:ЧР )» ДЕе с координатами К Со ,), где А О ; четыре с координатами где VJ и ещё четыре с координатами Корни характеристического уравнения в этих особых точках вычисляются по следующей формуле: - 34 если "Х о , или \т.= ± -Г , если - v= О (4.7) Если At . 0 и система , І. (4.8) не имеет действительных решений, то начало координат системы (4.5) будет единственной особой точкой типа центр. Теорема 4.1. Пусть выполнено условие (4.3), А с» и система уравнений (4.8) не имеет действительных решений. Тогда система уравнений (4.5) имеет,кроме 0\ь , две особые точки, которые могыт быть а)седлами; б)центрами; в)точками с одним гиперболическим, одним эллиптическим и двумя параболическими секторами Бендиксона каждая. Доказательство. Так как система уравнений (4.8) не имеет дей ствительных решений, то особыми точками будут \Q = \х. . Для исследования особой точки v-M. . в системе (4.5) сперва сделаем подстановку
Качественное исследование интегральных кривых одной системы в целом
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений следующего вида (ІД) где ос , L -соответственно К. и п. -мерные вектора, о -постоянная л_ п.Д -матрица, KlQtj -периодическая матрица с периодом \xr , a A( L ) , J\tv-x ) -Еектор-функции соответственно YZ. -го и vu -го порядков, компоненты которых представляют собою голоморфные функции переменных X. , . , не содержащие в своих разложениях членов ниже второго порядка. Коэффициенты в этих разложениях есть некоторые периодические функции периода w . Предположим, что матрица tb имеет собственные числа с отрицательными действительными частями. Заметим, что система уравнений вида (I.I) может встретиться при исследовании устойчивости движения, описываемого автономной системой дифференциальных уравнений, когда либо имеются чисто мнимые, либо нулевые корни характеристического уравнения.
В работе [27] для системы уравнений (I.I) при Vu= і разработан метод построения периодических решений, зависящих от одной произвольной постоянной. А Е работе [20] для автономной системы с аналитической правой частью в критическом случае т. пар чисто мнимых корней строится семейство ограниченных решений (аналогично семейству периодических решений у А.М.Ляпунова).
В этом параграфе строится семейство периодических решений, зависящее от К. параметров. Будем искать решения системы уравнений (I.I) в виде рядов следующего вида: = С (1.2) где Ъ. -единичная матрица, С -постоянный вектор-столбец с компонентами с , еа ,... , си, а С. -постоянный вектор-столбец порядка shPs , каждый компонент которого имеет вид где -всевозможные целые неотрицательные числа, удовлетворяющие условию, Psw -подлежащие определению прямоугольные периодические матрицы периода Лкг соответственно порядка \к Лд, п\ ДД . Если ряды (1.2) являются решением системы уравнений (I.I), то при подстановке их в систему (I.I) мы должны получить тождество. ПодстаЕляя ряды (1.2) в (I.I) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях о г , С а , ... , G , получим для определения \1ЬС ) следующие матричные системы уравнений: ад. АЛ. "2 »- (1.3) P S %Рг КМ4+ R, , "-б) где л, -принимает значения Ъ, h , ... , Здесь М\ , К, ( 1=2. ,,, -прямоугольные матрицы, зависящие от тех элементов матриц U , , Рс , для которых $ г_ , соответственно порядков - 44 \_VCXNKSJ, \_А- Ь\. Они получаются из разложения в рядывектор-функций Л хч), jQt x после подстановки рядов (1.2), 1-2. Уравнение (1.3) единственным образом определяет периодическую матрицу 0=-) при условии r (p =Q, где
Из первого уравнения (1.4) определяем матрицу \l : \1гС =НаСй -. (1.6) Допустим, что матрица VI -периодическая периода лхі Тогда Еторое уравнение системы (1.4) определяет единственным образом периодическую матрицу г периода : Ра &= ёь \ш\\г«+ Ы\ и. (1 7) Аналогично определяются все матрицы VI , Р . Предположим, что при любом натуральном 1L матрицы tt. , Р получаются периодические , причем из периодичности матрицы W.t следует периодичность матрицы \\ . Матрицы \i , г определяются следующими формулами: "fctf1 т, (1-8) Таким образом, показали, что ряды (1.2) формально удовлетворяют системе уравнений (1.1).
Для упрощения доказательства сходимости рядов (1.2) будем предпологать, что матрица о имеет канонический вид. - 45 Рассмотрим систему уравнений гида Ьч U, -V 0=с - О , (1.9) где b(xv (ъ ы) -мажорантные вектор-функции соответственно Xxj: " t О0: 4) » К- -матрица, составленная из модулей членов матрицы К , Ь -жорданов вид матрицы о , в котором собственные числа матрицы Ь заменены их действительными частями.
Действительно, обозначим через Ц. , Р матрицы, которые получены соответственно из матриц U. , Р. заменой их элементов высшими пределами их модулей в пределах от о до \А) , а через К. , . , -результаты замены в матрицах \L , R- . » 4 ЕЄЛИЧИН VLje_ , . матрицами
Построение двухпараметрического семейства периодических решений
Мы показали, что если система (2.6) имеет периодические решения (2.7), то существуют формальные ряды вида (3.1). Но эти ряды можно и получить из (2.7) заменой 2. , через "Х , \ , то формальные ряды (3.1) сходятся при достаточно малых \ос\ \ij\ \М
Теорема 3.1. Для того, чтобы решение системы (2.1), проходящее через любую точку достаточно малой окрестности начала координат, было периодическим, необходимо и достаточно, чтобы существовали голоморфные интегралы вида
Доказательство. Существование интегралов (3.1) Еытекает из существования периодических решений (2.7) для системы (2.6). Теперь докажем, что из существования интегралов (3.1) следует периодичность любого решения системы (2.1). Голоморфные функции "i Q - i обладают свойством: Qo o so , "$чС? Ї\ . C x.u .VPv Поэтому из системы (3.1), исключая , получим
При фиксированных Сл , Cz функция (3.7) определяет замкнутую интегральную кривую или состояние равновесия системы (2.1). Отсюда следует, что решение системы (2.1), проходящее через любую точку, периодическое. Теорема доказана. Замечание 3.1. Можно обобщить последнюю теорему для системы aV J ( . (3.8) где j4 , , І -голоморфные функции, разложения которых по целым положительным степеням Х7 1 д іг . . . к .начинается с членов не ниже второго порядка, X - положитель - 57 ное число и, кроме того
Теорема 3.2. Для того, чтобы решение системы (3.8), проходящее через любую точку достаточно малой окрестности начала координат, было периодическим, необходшло и достаточно, чтобы система (3.8) имела ifc-rl голоморфных интегралов Еида 2.4. Методы отыскания условий центра Рассмотрим систему дифференциальных уравнений (2.1) al X-x Gs » , (4.1) где ІС , , 3; -голоморфные функции, разложения которых по целым положительным степеням X ,4,-. начинаются с ЧЛЄНОЕ не ниже Еторого порядка, при выполнении следующего условия
Определение 4.1. Начало координат системы (4.1) называется центром, если через любую точку окрестности начала координат проходит периодическое решение системы (4.1). В 2.2, переходя Е системе (4.1) к цилиндрическим координатам tC= е-СЛЛ ., - = (4.2) и исключая &ut , мы получили систему (2.6), а решение этой системы, удовлетворяющее условию искали Е виде рядов (2.7). Было показано, что коэффициенты этих рядоЕ \л і V) &ш каждого очередного к. определяются формулами вида (2.10). Приравнивая в этих формулах постоянные чи . (д=Ni2.) нулю, получим беСКОНеЧНОе ЧИСЛО НеобХОДИМЫХ УСЛОЕИЙ наЛИЧИЯ Центра, СЕЯЗЫЕаюЩИХ коэффициенты рядоЕ Л , У , . Как и Е случае плоскости oi t. С$= &0 назовем постоянными A.M.Ляпунова. Второй метод отыскания необходимых условий центра может быть основан на построении интегралов системы (4.1), которые получаются обращением рядоЕ (2.7) - oo к_ . . (4.3) где \Г Ч1Сч С $- 2) -подлежащие определению функции от Для последовательного нахождения функций $" .» О-О чТ-Л 2/) из соотношений, + 1 . 4. 0, (4.4) получим рекуррентную систему дифференциальных уравнений Е которой Tvt-j. -С Л зависит лишь от тех С } , для которых S K , и кроме того, M te. L :С) 0ЛЗв4Д . Следовательно, функции vt-l Cv Сї !2 j последовательно определяются из системы (4.5); приравнивая нулю непериодические части этих функций, получим необходимые условия наличия центра для системы (4.1). Функции NT4 4 (.1=1.2) назовем функциями М.И.Альмухамедова. Аналогично \46j можно установить связь между функциями uw .t чс.
Пусть система (2.6) допускает двухпараметрическое семейство &Ъ -периодических решений. Подставляя выражения для Ъ , в (4.2), получим решение системы (4.1), которое будет также периодическим с периодом 2Х по отношению к вспомогательному пере - 60 менному
Покажем, что если снова перейти к переменной -fc. и Еыра-зить через неё эс , , а , то полученные таким путем функции времени также будут периодичесішми, но их период будет зависеть, и притом аналитически, от е , С2 . Для вычисления периода обращаемся к Еторому уравнению системы (2.5), определяющему Л$ как функцию t . Подставляя в него ряды (2.7) получим
Соотношение (4.9) показывает, что при изменении І: на постоянную величину Т величина изменяется на Z K , следовательно, х , v , Э; ЯЕЛЯЮТСЯ периодическими функциями Бремени "t с периодом і , зависящими от Сд , cz и удовлетворяющими начальному условию Полученное таким образом периодическое решение системы (4.1), содержащее две произвольные постоянные, не ЯЕЛЯЮТСЯ общим решением. Но учитывая, что система (4.1) автономная, можно получить общее решение, зависящее от трех произвольных постоянных, если Е указанном периодическом решении заменить "t на t k- , где VL -произвольная постоянная.
Периодические решения
Докажем следующую теорему. Теорема 6.1. Пусть для системы (6.1) имеется голоморфный интеграл, уДОВЛеТВОрЯЮЩИЙ УСЛОВИЮ (6.2), й (0 , =0 + ,,.,0 0. Тогда нулевое решение системы (6.1) устойчиво тогда и только тогда, когда VYL нечетно, СХ 0 .
Доказательство. А.М.Ляпуновым [27]] показано, что при решении задачи об устойчивости по отношению к величинам з. » переменная может играть такую же роль, как и Ъ . Примем за новую переменную (ЕМЄСТО "t ). Пусть т. -нечетно, . Тогда найдутся такие числа vc о , си о и О , что в областях
Отсюда в области (6.6) траектории с возрастанием времени Пересе кают плоскости 4 Е сторону начала координат. Так как любое решение не покидает одну из поверхностей (6.2), то г»Сс-Л ) всегда ограничена и (c.4 — о при Сх— о . Отсюда следует устойчивость нулевого решения системы (6.1).
Пусть теперь YYL -нечетно, о или YYV. -четно. Тогда из (6.5) следует, что для любых достаточно малых о" о существует решение ос=о , -о - . СоЛ , покидающее область \ Sc\ t при i: "to . Отсюда следует неустойчивость нулевого решения системы (6.1).
Замечание 6.1. Если т. -нечетно, то на каждой поверхности (6.2) существует периодическое решение.
Действительно, если 0 » то решение, начинающееся Енутри области (6.6), не покинет область 11си лежит при всех о на одной из поверхностей (6.2). Тогда это решение ограничено и имеет \хУ -предельную точку. Если решение отлично от оси О , то -предельная точка лежит на поверхности (6.2). Ясно, что через эту предельную точку проходит периодическое решение. Если Q o , то рассуждая аналогично, как в случае G » но при \ 0 , можем доказать существование периодического решения.
Пусть теперь оо Покажем, что функция 3:( .) удовлетворяет условиям: Л л 0И . Л к, (6.7) С этой целью рассмотрим уравнение - 78 Будем искать решение этого уравнения в ЕИДЄ оо OQ I где г _ -однородный многочлен п. -го порядка. Для определения РА получим уравнение = 3 н . . tfJ (6.8) где R-n. зависит от тех R, 5 для которых v\.- n.,\. t и является однородной формой п. -го порядка, если р есть однородные формы от "зс , н . Если п. нечетно, то уравнение (6.8) Есегда имеет решение в виде однородного многочлена. Если же Y\- четно, то Есегда существует постоянное Q такое, что уравнение % (6.9) имеет решение Е виде однородного многочлена п. -го порядка. Так как мы Еначале предполагали существование лишь интеграла (6.2), то найдутся такие числа к. , w. , что уравнение (6.8) будет иметь решение Е виде однородного многочлена при Есех УІ &.К. , г. -любом и W=/K , I_ WL , а о»« определяется из уравнения (6.9). Будем считать, что остальные Рл равны нулю. Тогда с помощью преобразования получим систему вида (6.1) с требуемым свойством.
Покажем, что ряд 4 ( сходится в достаточно малой окрестности начала координат. Представим формальный ряд т Оас , Е ЕИДЄ:
Так как Ск есть однородный многочлен относительно х. , м с коэффициентами, голоморфными относительно Зс , то Q также будет однородным относительно зс , Ч с коэффициентами, зависящими от 3: . Для определения этих коэффициентов получим систему алгебраических уравнений, которая в силу предположения имеет решение и оно будет сходящимся рядом относительно ""3; . Докажем следующие теоремы.
Теорема 6.2. Пусть система (6.1) имеет голоморфный интеграл (6.2) и функция 3cQx ;4) обладает свойством (6.7), где S, o или Q ( » ,,nrl- -четно. Тогда нулевое решение системы (6.1) неустойчиво.
