Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Предварительные сведения
1.1. Основные определения и некоторые сведения из функционального анализа 20
1.2. Элементы теории линейных абстрактных функционально-дифференциальных уравнений 27
1.3. Неявные операторы 3S
2. Теоремы существования
2.1. Квазилинейные операторные уравнения с необратимой линейной частью 42
2.2. Теоремы существования с условиями на границе области 47
2.3. Неявные операторы и теоремы существования 56
2.4. Абстрактные квазилинейные краевые задачи 65
2.5. Системы квазилинейных операторных уравнений 77
3. Краевые задачи для функционально-дифференциальных уравнений
3.1. Периодическая краевая задача для уравнения Льенара 89
3.2. Периодическая краевая задача для уравнения с отклоняющимся аргументом 103
3.3. Уравнения с малым параметром 118
3.4. Задача Коши для одного квазилинейного дифференциального уравнения первого порядка с необратимой линейной частью 130
3.5. Задачи Коши для уравнения нейтрального типа 136
Литература 141
- Основные определения и некоторые сведения из функционального анализа
- Квазилинейные операторные уравнения с необратимой линейной частью
- Периодическая краевая задача для уравнения Льенара
Введение к работе
Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованию краевых задач для квазилинейных функционально- дифференциальных уравнений (ФДУ). Такие задачи возникают в математических моделях механики, химии, физики, биологии, экономики и в других науках. Вопросам разрешимости краевых задач посвящены многочисленные работы отечественных и зарубежных исследователей, в том числе Н.В. Азбелева, И.Т. Кигурадзе, В.П. Максимова, Л.Ф. Рахматуллиной и др. Систематическое применение методов функционального анализа при исследовании ФДУ началось с основополагающих работ Н.В. Азбелева, В.П. Максимова и Л.Ф. Рахматуллиной.
В большинстве работ, посвященных условиям разрешимости квазилинейных краевых задач, предполагается, что соответствующая линейная краевая задача однозначно разрешима для всех пар правых частей. И в относительно небольшом количестве работ рассматриваются квазилинейные краевые задачи с необратимой линейной частью, это так называемые «резонансные» краевые задачи. Признаки разрешимости резонансных краевых задач получены в работах С.А. Вавилова, И.Г. Малкина, А.Р. Абдуллаева, А.А. Бойчука, А.Б. Бурмистровой, A. Cabada, S. Fucik, M. Furi, J. Mawhin, M. Martelli, L. Nirenberg, B. Przeradzki и др. авторов. В работах, посвященных условиям разрешимости резонансных краевых задач, наиболее распространены методы, основанные на преобразовании Ляпунова-Шмидта. Однако применение данных методов имеет ряд трудностей, в том числе само фактическое построение уравнения разветвления довольно сложно и громоздко. В связи с этим возникла проблема создания новых простых в применении универсальных методов для исследования на разрешимость резонансных краевых задач. К данным методам относится и метод, предложенный в диссертационной работе.
Цель работы. Получение новых достаточных условий разрешимости краевых задач для различных классов квазилинейных функционально-дифференциальных уравнений с необратимой линейной частью.
Методы исследования. Проблема существования решения краевой задачи сводится к проблеме разрешимости операторного уравнения. Используются методы теории краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений, теории линейных операторов и нелинейного функционального анализа. Также используется теорема о существовании неявного оператора и теоремы существования с условиями на границе. Кроме того, применяется аппарат, связанный с коэффициентом сюръективности.
Научная новизна. В работе предложен новый подход к исследованию на разрешимость квазилинейных краевых задач с необратимой линейной частью. Получены новые признаки разрешимости квазилинейных краевых задач для абстрактных функционально-дифференциальных уравнений с необратимой линейной частью и систем квазилинейных операторных уравнений. Найдены условия разрешимости некоторых классов квазилинейных краевых задач, в том числе:
- краевой задачи для уравнения с отклоняющимся аргументом;
- краевой задачи для уравнения Льенара;
- краевой задачи для уравнения с малым параметром;
- краевой задачи для уравнения нейтрального типа;
- краевой задачи для сингулярного дифференциального уравнения первого порядка.
Теоретическая и практическая ценность работы. Разработанная методика может быть использована для изучения новых классов краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений. Результаты работы могут применяться при исследовании конкретных краевых задач, возникающих в математических моделях реальных процессов.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Международной летней школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» в Казани (2003), на Международной конференции молодых ученых и студентов «Актуальные проблемы современной науки» в Самаре (2003), на Всероссийской научно-технической конференции «Современные проблемы математики и естествознания» в Нижнем Новгороде (2003), на Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» в Самаре (2003, 2004, 2006), на Областной научной конференции молодых ученых и аспирантов «Молодежная наука Прикамья» в Перми (2002), на научно-практической конференции «Педагогические идеи Е.А. Дышинского и современное математическое образование» в Перми (2004), на научно-исследовательском семинаре по функционально-дифференциальным уравнениям под руководства профессора Абдуллаева А.Р., на семинаре кафедры математического анализа Пермского государственного университета.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в двенадцати работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа изложена на 155 страницах. Библиографический список содержит 160 наименований.
Основные определения и некоторые сведения из функционального анализа
Пусть Х\ и Xi - линейные пространства. Линейное пространство X, образованное множеством всевозможных пар (х\, xi), где хі є Х\, Х2 є Xi, называется прямым произведением пространств Х\ и Хч, обозначается Х\ х Xi. Норму в пространстве X определим следующим образом:
Пространство X называется прямой (алгебраической) суммой линейных пространств Х\ и Xi, если Х\ и Xi линейные подпространства пространства X и любой элемент хеХ однозначно представим в виде х = х\ + xi, JCJ є Х\, ХієХі- При этом пишут
X - Х\ + Xi. Если X = Х\ + Xi и Х\, Xi - замкнутые подпространства банахова пространства X, то говорят о разложении X в прямую (топологическую) сумму замкнутых подпространств X\,XicX и пишут
X = XXX2. Если Х\ с X - замкнутое подпространство и существует подпространство Х2 с: X такое, что X = Ху Ф Х2, то Ху называется дополняемым в X. Известно, что конечномерное подпространство банахова пространства дополняемо.
Пусть L:X- Y - линейный оператор. Множество kerL = {xX:Lx = 0}, являющееся подпространством X, называется ядром линейного оператора L.
Множество всех значений оператора L будем обозначать через R{L) Z Y И называть его образом.
Линейный оператор L: Х\ х Х2 - Y определяется парой линейных операторов L\ : Х\ - У и L2 : Х2 - Y так, что
L(xhx2)= LM + L2x2, xi єXx,x2 є X2, где LyXi = L(xi,0), L2X2 = L(O,X2). Такой оператор будем обозначать L = {LhL2} Линейный оператор L: X - Y\ х Y2, определяется парой линейных операторов L\:X-Yi и Li:X- Y2 так, что LX = {LIX,L2X], хеХ.
Такой оператор будем обозначать і = [іі,І2].
Будем говорить, что оператор L: X - Y имеет обратный (обратим), если существует линейный оператор V:Y- X такой, что VL-Ix и LV = Iy. Оператор К называется обратным к L оператором и обозначается V = J7 .
Линейный оператор L:X- Y называется инъективным, если из равенства Lx = 0, следует, что л: = 0,тоесть ker = {#}.
Линейный оператор L: X - Y называется сюръектиеным, если его образ совпадает со всем пространством, то есть R{b) = Y.
Линейный ограниченный оператор L: X - Y будем называть непрерывно обратимым тогда, когда он осуществляет взаимно однозначное отображение пространств X, Y и оператор L ограничен, то есть такой оператор одновременно является инъективным, сюръективным и его обратный оператор ограничен. Линейный ограниченный непрерывно обратимый оператор J: X - Y иногда будем называть изоморфизмом, а пространствах и У называть изоморфными.
Если {x,f} - значение линейного ограниченного функционала f:X- R на элементе хеХ, то (у) - билинейная форма на произведении X X X .
Оператор L :Y - Х , связанный с оператором L:X- Y равенством {їх,у) = {x,L у), называется сопряженным к оператору L.
Линейный оператор Р, отображающий линейное пространство X на его подпространство Х\, называется проектором, если он оставляет элементы Xi без изменения, то есть Рх\ = х\ для любого . і є Х\. Любой проектор характеризуется тем, что Р -Р. Оператор Рс = 1-Р также является проектором и называется дополнительным для Р. Проектор Р: X - X ограничен только в случае, если X = ker Р Ф R(р).
Пусть L: X —» Y - линейный оператор и Р проектор на kerZ,, тогда X = XQ ФкегІ. «Сужение» оператора L на Х$ является обратимым на R{L). Пусть К„ будет его обратным, тогда LK„ =I:Y- Y, KpL = Pc,
Такой оператор Кр назовем обобщенно обратным для L соответствующим проектору Р. В дальнейшем, если рассматривается один проектор Р на ker, то будем обозначать обобщенно обратный оператор через К.
Квазилинейные операторные уравнения с необратимой линейной частью
В начале параграфа приведены теоремы о разрешимости квазилинейного операторного уравнения в случае, когда значения нелинейного оператора содержатся в образе линейного оператора. В следующем параграфе будут получены распространения данных теорем на общий случай. В конце приведена теорема о разрешимости квазилинейного уравнения для общего случая, которую мы используем в доказательстве некоторых теорем.
Рассмотрим квазилинейное операторное уравнение линейный оператор, оператор F: X -» У - вполне непрерывный, в общем случае нелинейный, и X, - банаховы пространства.
Как хорошо известно, первые теоремы о разрешимости уравнения (2.1.1) были доказаны Лере и Шау дером [116] в случае, когда L обратим и Ландесманом - Лазером [115], Мавэном [128] в случае, когда L фредгольмов.
Приведем известную теорему Лере - Шаудера, на которую ссылаются при доказательстве теорем существования квазилинейного операторного уравнения (2.1.1):
Теорема 2.1.1. (Лере - Шаудера) Пусть оператор N.X-їХ вполне непрерывен и П открытая, ограниченная окрестность нуля $Х. Тогда если dQ, ЛЄ( І)= ХФШХ тогда оператор ./V имеет, по крайней мере, одну неподвижную точку в Q.
В работе Зезза [159] теорема о разрешимости уравнения (2.1.1) была доказана в случае, когда оператор L - нетеров, а оператор F такой, что оператор стоящий в правой части уравнения x = Px + KFx (2.1.2) вполне непрерывен и его значения содержатся в образе оператора L. Здесь
Р проектор на - обобщенно обратный к L оператор, ассоциированный с проектором Р. Первым кто рассматривал разрешимость уравнения (2.1.2) вместо разрешимости уравнения (2.1.1) былМавэн[128].
Справедливо следующее утверждение о связи квазилинейного уравнения (2.1.1) и уравнения (2.1.2):
Лемма 2.1.1. Пусть A = {xeX:FxeR{L)}=F X(R(L)), тогда уравнение (2.1.1) эквивалентно уравнению x=Px + KFx для хєА.
Доказательство. Пусть хеХ является решением (2.1.1), следовательно, хєА и Lx = Fx, применяя, оператор К KLx = KFx из определения обобщенно обратного оператора, данного в пункте следует x = Px + KFx поэтому дг является решением уравнения (2.1.2). Обратно, пусть хеА является решением уравнения (2.1.2), тогда x = Px + KFx и применяя, оператор L Lx = LPx + LKFx из пункта 1.1.2 1.1 имеем Lx = Fx поэтому д: решение уравнения (2.1.1).
Обозначим оператор, стоящий в правой части уравнения (2.1.2) через N, то есть Nx = Px + KFx. Поскольку значения оператора F содержатся в образе оператора L, то оператор N является вполне непрерывным с областью определения D(N)= {xeX-.Fxe R{L)} = F"1 /-)).
Теорема 2.1.1 Лере - Шаудера о разрешимости уравнения (2.1.1) в редакции Зезза принимает следующий вид:
2.1.2. Для более общего случая приведем теорему из работы [2], где уравнение (2.1.1) рассматривается при следующих предположениях: оператор L нетеров, оператор F вполне непрерывен и квазиограничен с константой b(F).
Ниже под характеристикой оператора L - q\L), предполагается относительный коэффициент сюръективности оператора L, являющийся коэффициентом сюръективности для оператора LQ : X -» R(L) .
Теорема 2.1.5. Пусть существует непрерывный оператор Т: X -» X такой, что выполнены условия:
1) F(x + Тх) є R(l) для любого д: є X,
2) b(FXl + b(T))+\\L\\b\f cT) q{L).
Тогда уравнение (2.1.1) имеет хотя бы одно решение.
Замечание 2.1.2. Если F(X) ZR(L), то в качестве Т можно взять нулевой оператор и условие разрешимости для уравнения (2.1.1) примет вид: b\F) q{L). В случае обратимости оператора L условие 2) теоремы принимает вид: b{F)
Периодическая краевая задача для уравнения Льенара
Данный параграф посвящен исследованию на разрешимость периодической краевой задачи для уравнения Льенара. Для удобства параграф разбит на части. В начале параграфа получены условия существования периодического решения для уравнения Льенара и его частного случая, когда f(x,x)=fi(x)x. Затем, с помощью теоремы 2.2.1
существования с условиями на границе области, получены условия существования периодического решения для уравнения Ван-дер-Поля. В конце параграфа рассмотрен конкретный пример, описывающий свободные нелинейные колебания математического маятника.
Первые результаты, посвященные разрешимости периодической краевой задачи (3.1.1), были получены в работах Льенара А. [120], Граффи В. [107], Левинсона Н. и Смита O.K. [118]. В последнее время разрешимость периодической краевой задачи для уравнения Льенара исследовалась многими авторами, в том числе [39,97,125,136,140, 141].
Под решением понимается такой элемент пространства W«[0;l], который почти всюду удовлетворяет уравнению и краевым условиям задачи (3.1.1).
Пусть P: X - X проектор на ker L, определен равенством Рх = JC(O), тогда порождаемое проектором Р разложение пространства X имеет вид A = XokerX (то есть V хє Х,х = % + «, где _ єХ0, иєкегХ, Х0 = {л:єХл:(о) = 0}), a Q:Y Y проектор на образ R(L), определенный следующим образом: Qy=y-fy(s) s. о
Тогда существует хотя бы одно решение задачи (3.1.1).
Доказательство. Из условий 1), 3) и 4) по теореме 2.3.1 следует, что существует непрерывный оператор T:XQ- kerL и Т%-и который является решением уравнения \n(s,% + u,z)(ts = 0 откуда следует, что на шаре 5K(0)CXQ, где RZ—— mcy mk +1 + 4mkj F(/ + rX 0))c/f(l).
Теперь покажем, что если для любого % лежащего на сфере 7д (О) с Х радиуса R с центром .
