Введение к работе
Актуальность темы. Сингулярно возмущенные уравнения исследовались многими авторами. Наибольший вклад в их изучение был внесен А.Н. Тихоновым, А.Б. Васильевой, В.Ф. Бутузовым, В.П. Масловым, A.M. Ильиным, С.А. Ломовым, В.Ф. Сафоновым, Ю.А. Митропольским, А.Н. Филатовым, М.М. Хапаевым, И.С. Ломовым, Н.Н. Нефёдовым, А.В. Нестеровым, Ю.А. Коняевым и другими. Широкий класс таких уравнений - сингулярно возмущенные интегральные и интегродифференциальные системы - уже продолжительное время являются объектом исследований М.И. Има-налиева и его учеников. Ими в основном завершена работа по созданию эффективных алгоритмов асимптотического интегрирования уравнений с медленно изменяющимися ядрами. Однако многочисленные задачи механики, физики и других прикладных наук приводят к системам с быстро изменяющимися ядрами. Теория таких систем ранее не разрабатывалась. В настоящей работе представлены интегродифференциальные уравнения с быстро изменяющимися ядрами, в которых роль быстрых переменных играют экспоненты. Оказалось, что эти переменные существенно влияют на формирование сингулярностей в решениях рассматриваемых задач. Кроме того, отсутствие в этих задачах линейного оператора дифференциальной части делает описание сингулярностей проблематичной. Решение этого вопроса и последующая разработка алгоритмов асимптотического интегрирования, а также исследование предельного перехода в таких задачах актуальны как в теоретическом, так и прикладном плане.
Целью настоящей работы является исследование сингулярно возмущенных интегродифференциальных уравнений с нулевым оператором дифференциальной части, развитие для них соответствующих алгоритмов метода регуляризации и обоснование этих алгоритмов на основе разрабатываемой в диссертации теории разрешимости систем интегродифференциальных уравнений в частных производных с неполными (точнее: точечными) начальными данными. При этом линейные системы рассматриваются в случае интегральных операторов с медленно или быстро изменяющимися ядрами, нелинейные уравнения исследуются в случае интегральных операторов с быстро изменяющимися ядрами.
Научная новизна. В работе впервые исследуются сингулярно возмущенные интегродифференциальные уравнения с нулевой дифференциальной частью, для всех рассмотренных в диссертации задач разработаны алгоритмы построения регуляризованных (по Ломову) асимптотических решений. При этом получены следующие результаты:
построена эквивалентная интегродифференциальная система, спектр предельного оператора которой описывает все сингулярности в решении исходного интегродифференциального уравнения;
произведена регуляризация интегрального члена и построено его расширение в классе функций, асимптотически инвариантном относительно интегрального оператора;
произведена полная регуляризация эквивалентной интегродиффе-ренциальной системы и изучена её нормальная и однозначная разрешимость соответствующих итерационных задач;
доказана теорема об асимптотической сходимости формальных решений к точным на основе полученного в работе результата о корректной разрешимости сингулярно возмущенной интегродифференциальной системы в условиях, не исключающих наличие чисто мнимых точек спектра предельного оператора;
для всех рассматриваемых в работе задач изучен предельный переход (при є —> +0), выделен соответствующий асимптотический предельный режим, а при наличии чисто мнимых точек спектра указана функция, к которой при определенных условиях стремится (при є —> + 0) точное решение исходной задачи на всем рассматриваемом промежутке времени, включая и зону пограничного слоя (т.е. решена так называемая задача инициализации).
Теоретическая и практическая ценность. Настоящая диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут представлять интерес для специалистов из МИ РАН, ПОМИ РАН, НМУ, МГУ, МЭИ.
Апробация результатов диссертации. Основные результаты работы докладывались на семинаре МГУ по малому параметру (руководители: профессора А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов, Н.Н. Нефедов), на семинаре МЭИ по теории возмущений (рук. проф. В.Ф. Сафонов), на семинаре МЭИ по дифференциальным уравнениям (рук.: проф. Ю.А. Дубинский, проф. А.А. Амосов), в школах " Математические методы и приложения" (РГСУ, 2009 - 2012 г.г.), на Международной конференции по Математическому моделированию, Саратов 2008, на Зимней математической школе Воронеж, 2011.
Методы исследования. В диссертации используется метод регуляризация С.А. Ломова и его модификация, разработанная применительно к задачам с нулевым оператором дифференциальной части В.Ф. Сафоновым и автором настоящей работы.
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 6, печатных работах [1-6], из них 4 статьи в рецензируемых журналах, входящих в перечень ВАК. В статьях, написанных в соавторстве, научные вклады каждого участника равноценны.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка работ, включающего 143 наименования, и изложена на 145 стр.
