Введение к работе
Актуальность темы. Основы теории дифференциальных игр двух игроков с противоположными интересами были заложены в работах Л.С.Понтрягина, Н.Н.Красовско-го, Ю.С.Осипова, Е.Ф.Мищенко, Ф.Л.Черноусько, А.И.Субботина, Б.Н.Пшеничного и их учеников. В настоящее время эти результаты используются при построении и анализе различных новых задач управления с неполной информацией. Например, некоторые понятия, методы и результаты теории дифференциальных игр были использованы в работах [1], [2] М.С.Никольского для исследования процессов управления с возможными нарушениями в динамике управляемой системы. Развивая идеи работ [1], [2], мы естественным образом приходим к дифференциальным играм преследования-убегания с возможными нарушениями в динамике (с возможным отключением управления преследователя). Такие дифференциальные игры представляют интерес для приложений, так как в результате их исследования можно получить практические рекомендации для построения "осторожного" управления преследователя, учитывающего возможность отключения управления догоняющего игрока на неизвестном заранее отрезке [в,в -f h], где h > 0 —величина, характеризующая длительность нарушения, а в > О —начальный момент нарушения.
Настоящая диссертация посвящена изучению линейных дифференциальных игр преследования с возможными нарушениями в динамике преследователя.
Игра описывается следующими уравнением и начальным
условием :
х = Ах - ag(t)u + v,
x{G) = x0, xeR'\ и ЄР, u6Q, [)
где х Є R" — п -мерному евклидову арифметическому пространству, А —матрица размерности п х n, Р л Q —непустые выпуклые компакты из R", и и v — управляющие векторы . Вектором и распоряжается догоняющий игрок, вектором v распоряжается убегающий игрок, c\g(t) —скалярная функция, моделирующая появление нарушения в процессе игры (1), определяемая следующим образом :
/0, іе[в,в + Н],
:-де в > О —начальный момент нарушения, h > 0 — шнетанта, характеризующая длительность нарушения, общая для всех функций c\o{t).
Для игры (1) будем рассматривать следующие два слу-іая:
I). Терминальное множество М есть непустое выпуклее замкнутое множество из R". Цель догоняющего игрока состоит в том, чтобы побыстрее вывести фазовую точку c(t) из хь на терминальное множество М. На счет информированности предположим, что догоняющему игроку известны уравнение (1), начальное состояние хо , константа h > О , множества Р, Q и М, при каждом ;>0 значение ao(t) и функция v(s) при s Є [0, і], которую мы обозначим через vt(-). Момент 9 > О заранее неизвестен.
II). Терминальное множество М есть непустой выпуклый компакт из R". Цель догоняющего игрока состоит в том, чтобы вывести фазовую точку x(t) из х'о на терминальное множество М в фиксированный момент времени Г > 0. На счет информированности будем предполагать, что догоняющему игроку известны уравнение (1), начальное состояние а-о, фазовое состояние x(t) при каждом t, константа h > 0 , множества Р, Q и М, функция v(s) при я Є [t,t + е], t > 0, где f>0 задается убегающим игроком произвольным образом, и <*o(t) при каждом / > 0. Момент в > 0 заранее неизвестен.
Соответственно этим обстоятельствам, будем заниматься следующими задачами, которые принято называть задачами качества:
1). Найти те начальные состояния, для которых догоняющий прп произвольной измеримой функции v(t) Є Q, t > 0 и произвольном в > 0 может гарантировать по доступной ему информации попадение соответствующего решения уравнения (1) на терминальное множество М за конечное время.
2). Найти те начальные состояния, для которых догоняющий при произвольной е -стратегии убегающего игрока и произвольном 0 > 0 может гарантировать по доступной ему информации попадение соответствующего решения уравнения (1) на терминальное множество М в точности в момент Т.
Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты:
- для линейных дифференциальных игр преследова-
ння с возможными нарушениями в динамике преследователя разработаны два эффективных метода решения задачи качества на базе альтернированного интеграла Л.С.Понтряпша;
для линейных дифференциальных игр преследования с возможными нарушениями в динамике преследователя разработан абстрактный метод решения задачи качества с фиксированным временем окончания игры на базе конструкций Л.С.Понтряпша и Б.Н.Пшеничного;
изучены два интересных класса линейных дифференциальных игр преследования с возможными нарушениями в динамике преследователя.
Цель работы. Разработка методов решения линейных дифференциальных игр преследования с возможными нарушениями в динамике преследователя. Получение достаточных условий для решения задачи качества 1), получение необходимых и достаточных условий для решения задачи качества 2).
Общая методика исследования. Для обоснования результатов, содержащихся в диссертационной работе, использованы результаты из теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории многозначных отображений, а также аппарат теории дифференциальных игр.
Теоретическая и практическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы для исследований задач теории управления при наличии возмущающих факторов и нарушении в динамике.
Практическая ценность работы заключается в возможности применения полученных результатов к решению задач,
возникающих в технике и экономике.
Апробация. Результаты работы докладывались на научных конференциях "Понтрягинские чтения-V" (Воронеж, 1994 г.), "New computer technologies in control systems" (Переславль-Залесский, 1994 г.), на семинарах под руководством профессоров М.С.Никольского, В.И.Благодатских и Н. Л. Григоренко.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [9]-[12].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и двух глав. Объем работы - 78 машинописных страниц, библиография - 21 наименований.
