Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Линейные системы с последействием и показатель Боля 19
1. Описание системы 19
2. Об одном элементарном преобразовании системы (1.1) и не грубой экспоненциальной устойчивости 30
3. Показатель Боля и равномерная экспоненциальная устойчивость системы (1,1) 37
Глава 2. Системы с последействием, асимптотически подобные на конечномерных подпространствах системам обыкновенных дифференциальных уравнений 45
4. Распространение теоремы Перрона на линейные системы с последействием 45
5. Доказательство теоремы 4.4 62
6. Пример системы с конечномерным существенным простран ством решений 74
Глава 3. Рекуррентные системы с последействием и их приводимость 85
7. Рекуррентные системы с последействием 85
8. Распространение теоремы Перрона-Миллионщикова о три ангуляции на системы с последействием 91
Список литературы
- Об одном элементарном преобразовании системы (1.1) и не грубой экспоненциальной устойчивости
- Показатель Боля и равномерная экспоненциальная устойчивость системы (1,1)
- Доказательство теоремы 4.4
- Распространение теоремы Перрона-Миллионщикова о три ангуляции на системы с последействием
Введение к работе
Игнорируя такие решения, мы можем задаться следующим вопросом: будет ли система (0.1), рассматриваемая только на множестве нетривиальных решений x{t) с конечными показателями Ляпунова Х(х), асимптотически подобна некоторой системе обыкновенных дифференциальных уравнений? Правда, может оказаться, что пространство решений с конечными показателями Ляпунова (дополненное, конечно, тривиальным решением, показатель Ляпунова которого заведомо равен —оо) бесконечномерно, а количество различных показателей таких решений по меньшей мере счетно. Оказывается, однако, что при естественных предположениях относительно A(t,s), сужение системы (0.1) на любое конечномерное подпространство решений с конечными показателями Ляпунова, асимптотически подобно некоторой системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Это важное свойство подобия обыкновенной системе полезно при изучении асимптотических инвариантов систем с последействием. Неявно оно отмечалось для систем с периодической по t матрицей A(t,s) (А. Стоке [34], С. Н. Шиманов [31], А. Д. Мышкис [22, § 17]), но в общей ситуации не исследовалось. Вопросам асимптотического поведения решений периодических систем с последействием и более общих периодических систем ней трального типа посвящены работы Ю. Ф. Долгого [14, 15], Ю. Ф. Долгого и С. Н. Шиманова [13] и Ю. Ф. Долгого и В. С. Тарасяна [16].
Основная часть диссертации посвящена изучению вопроса об асимптотическом подобии системы (0.1) на конечномерных подпространствах решений, системам обыкновенных дифференциальных уравнений.
Хорошо известно и общепризнано, что системе (0.1) отвечает некоторая динамическая система с фазовым пространством С([—г, 0],К") и потоком на нем t — Xt, порожденным решениями системы (0.1). Такая концепция, предложенная Н. Н. Красовским [18] в конце 50-х годов прошлого столетия, оказалась естественной и очень плодотворной при изучении асимптотического поведения решений системы (0.1) и здесь мы придерживаемся этой концепции Н. Н. Красовского.
Перед доказательством этой теоремы описан алгоритм построения соответствующего обобщенного ляпуновского преобразования (см. стр. 52), приводящего сужение (Д§о) системы А Є 21 к системе В с треугольной матрицей В. Из этого алгоритма следует, что увеличение размерности системы обыкновенных дифференциальных уравнений на единицу за-счет пополнения пространства началных условий не влечет за собой больших вычислительных затрат, так как при этом «новая» система содержит «старую» в качестве подсистемы. Поясним это более подробно. Зафиксируем в пространстве 6+ совокупность р + 1 линейно независимых функций u1,.. .,up,up+l и рассмотрим сужения системы А на подпространства SQ = linf-u1,..., ир) и SQ-1" — linfii1,..., ир, up+1).
Отметим теперь одно важное обстоятельство, связанное с теоремой 1. Теорема 1 утверждает, что сужения системы А на конечномерные подпространства начальных функций ведут себя подобно системам обыкновенных дифференциальных уравнений, если только такие сужения не содержат решений, И,2-показатели Ляпунова которых равны —со (тривиальное решение, которое всегда присутствует и Ь2-показатель которого равен —со, мы игнорируем). Правда, при этом не удается доказать (без дополнительных условий) ограниченность матрицы В (і) системы В, асимптотически подобной системе (A, SQ) (весьма важное условие при исследовании асимп тотического поведения решений системы В). Однако, матрица В (і) будет ограниченной, если выполнено, так называемое, условие продолжаемости влево (см. утверждение в) теоремы 1). Условие продолжаемости влево трудно проверяемо, но например, для периодических систем это условие и не требуется (см. утверждение г)). Вероятно, этот факт имеет место и для более широкого класса систем, а именно для рекуррентных систем. В диссертации не доказан факт продолжаемости влево решений рекуррентных систем, но показано, что при некотором дополнительном условии, более слабом, чем условие продолжаемости влево, утверждение об ограниченности матрицы B(t) остается верным и для случая рекуррентных систем.
Формулируемую ниже теорему можно рассматривать, как частичное распространение теоремы В. М. Миллионщикова [21] на системы уравнений с последействием.
Теорема 2 (теорема 8.6 на стр. 92). Пусть SQ С 6+, система А € 21 рекуррентна и для всех А € 71{А) и некоторой константы н —со вы-полнено неравенство Х\(А) к. Тогда найдутся система В с непрерывной и ограниченной на R верхней треугольной матрицей B(t) и обобщенное ляпуновское преобразование L, приводящее сужение (A, SQ) системы А на подпространство SQ К системе В.
Доказательство теоремы 2 опирается на формулируемые ниже леммы, представляющие самостоятельный интерес.
В диссертации исследуется также вопрос о равномерной экспоненциальной устойчивости системы (0.1). Этот вопрос для систем, не обладающих свойством периодичности, не исследован. Для периодических и стационарных систем свойство равномерной экспоненциальной устойчивости автоматически следует из экспоненциальной устойчивости, для произвольных систем это неверно.
Основные результаты диссертации опубликованы в [4-9].
Об одном элементарном преобразовании системы (1.1) и не грубой экспоненциальной устойчивости
Пусть і Є (0,г]. Произведем в правой части уравнения (2.1) замену t + s = г и перепишем (2.1) в виде И лО rt ()= / dQ(i,r)a;(T)= / rfQ(t,r)x(r)+ / dQ{t,r)x(r), (2.3) где Q(, т) = Л(,т —). Учитывая начальное условие (2.2), получим задачу Коши x{t) = f dQ{t,r)x(T)+q{ttu(-)) і Є (0,г], (2.4) Jo х(0) = XQ, (2.5) Ґ где функция (/(,«()) = / dQ(t,r)u(r) известна и строится при і Є [0, г] по начальной функции u(t)} a XQ — и(0). Ясно также, что задача (2.4),(2.5) для неоднородной системы (2.4) на отрезке 0 t г эквивалентна исходной задаче для однородной системы (2.1). Далее, поскольку пространство начальных функций для однородной системы x(t) = [ dQ{t,r)x{T), t Є (0,г], (2.6) Jo конечномерно и совпадает cln, а система (2.6) линейна, то пространство решений системы (2.6) на отрезке [0, г] конечномерно (его размерность равна п), разрешающий опертор (оператор Коши) С(, s) задается квадратной матрицей порядка п, а непрерывное на [ г,г] решение задачи (2.4),(2.5) определяется формулой Коши (см. [2]) x(t) C(t,0)u(0) + / C(t,r)q(r,u(-))dT, є(0,г]. (2.7)
Отметим еще, что матрица Коши C(tt г) системы (2.6) при каждом фиксированном т 0 и всех t г является решением матричной задачи Коши [2] X(t) = J dQ(t, з)Х(з), t r O, X(t)\t = Jn, где In — единичная матрица порядка п. Обозначим Xі(t) — решение задачи (2.1),(2.2) на отрезке [0,г]. Тогда, в соответствии с обозначениями 1, после замены t — s + г получим равенство х1 ) = xr(s), —r s O. Рассмотрим на отрезке [г, 2г] задачу ±( )= / dQ(t,r)x(r) + q(t,x1{-)), ІЄ(г,2г], (2.8) x{r) = xl{r), (2.9) где функция (,3 (-)) = I dQ(t,r)xl(r) рассматривается при t Є [r,2r\. Jt-r Решение (обозначим его x2(t)) задачи (2.8), (2.9) на отрезке [г, 2г] задается формулой Коши x2{t) = C(t,r)x\r) + I C{t,r)q(r,x\))dr, t Є (r,2r]. (2.10) Таким образом, мы построили решение x(t,u(-)) задачи (2.1), (2.2) на отрезке [—г, 2r] : x(t,u(-)) = x2(t) — X2r{s), — г s 0, t — s + 2r.
Допустим теперь, что, продолжая этот процесс построения решения вдоль оси 0, мы построили непрерывное решение x(t,u(-)) задачи (2.1), (2.2) на отрезке [—г, кг]. Следовательно, это решение на каждом из отрезков [(т — l)r, mr] совпадает с решением xm(t), m = 1,..., г, задачи x{t) = f dQ(t, т)х(т) + q{t,xm-l{-)), x((m - l)r) - xm-\(m - l)r). Лт-1)г Поэтому, на отрезке [кг, (к + 1)г] решение x(t, «()) совпадает с функцией xk+l(t), определенной равенством ХЬ+ІЛЛ _ (i) = C{t, kr)xk(kr) + [ C(t, т)ч{т,х%))(1т, t Є (kr, ( +l)r], (2.11) ./Ax где к — О,1,..., функция x(t) совпадает при t Є [—г, 0] с функцией u(t), a g(i,xfe(-)) = / dQ(t,r)xk(T) при t Є \krt (к + 1)г]. Таким образом, при каждом А; = 0,1,... и всех t є [fcr, (fc + l)r] имеет место равенство x(t, и{-)) = x(k+l)r{s), где з [-г, 0], і = s + (A + l)r.
Равенство (2.11) можно применять при получении грубых оценок роста решений системы (2.1). Действительно, обозначим 11 11 = 11 110= max tajtrOOl, тогда найдется константа а такая, что при всех t Є [кг7 (к + 1)г] выполнено неравенство (, (-))1 t S#fcj- Пусть далее, / = шах С(,т), где Afc = {(t,r) : кг т t (fc + l)r}. ( ,т)Д Далее, из (2.11) следует неравенство \xk+\t)\ &И г) +0ИЛ Аг т і (Л + 1)г, из которого, в свою очередь, получаем (при каждом к) неравенства \\хк+1\\ К (1 + а)Ых% : = 0,1,2,..., а из этих последних неравенств уже следуют нужные нам неравенства ft-i \\хк\\ цо(1 + а)к Ц ft, fc = 1,2,... . (2.12) В частности, если С(,т) Nexp\(t — т) для всех і г 0 и некоторых констант iV и Л, то / JVexp(Ar). Поэтому непосредственно из (2.12) для всех к — 1,2,... получаем неравенства \\хк\\ \\u\\0(l + a)kNkexp(\kr).
Таким образом, имеет место следующее утверждение: для любого є 0 найдется такая константа Ns, что для всякой начальной функции и & и ecext 0 решение x(t,u(-)) задачи (2.1), (2.2) допускает экспоненциальную оценку \x(t,u(-))\ 7Veioexp(A + e)t. Поэтому, если А 0, то тривиальное решение системы (2.1) экспоненциально устойчиво. Замечание 2.4. Напомним, что система (2.1) называется экспоненциально устойчивой, если всякое движение t — xt(-), отвечающее системе (2.1), с возрастанием времени экспоненциально стремится к нулю, то есть Л(А) О, где Л(А) — точная верхняя грань всех показателей Ляпунова \n\\xt(;U)\\o системы (2.1). Так определенное свойство экспоненциальной устойчивости не является грубым свойством.
Показатель Боля и равномерная экспоненциальная устойчивость системы (1,1)
В силу условий, накладываемых на системы А и А -Ь $, при всех і Є М имеем \Mt)\ (\B5(tM + PvoJ_ \B8(t,s)\ds)\\y5t\\Q, где i70 = sup var (A(t, s) + Bs(tt s)),p — константа, обеспечивающая нера венство (3.3) для решения t — y5(t) системы (3.8). Таким образом, если выполнено неравенство (3.4), то / () it/fo, t GR, где S\ = (l + (3vo)S. Далее, с учетом неравенств (3.6), (3.7), получим 11У?11О 11 оМЕое + ) + J [Moe + - \y%]dr. (3.11)
Умножим обе части неравенства (3.11) на е_(ф+єо)(-М % oe(»o+eo)(fe- ) 0мео+ AiM e + - HyJllodr. В силу леммы Гронуолла-Беллмана из последнего неравенства следует неравенство rfoe 0+o fr-«) у оМеоехр / iMeodr, из которого легко следует неравенство Таким образом, ц(у6) К 25о + S\MEa + е0. В силу произвольности выбора 5 получаем что противоречит неравенству (3.9). Полученое противоречие доказывает лемму. Доказательство теоремы 3.2, Из определения метрики (2.13) Ґ следует, что e(i4 + B,A) = sup(S(t,0)+ / \B(t,s)\ds). ЄК J-т Пусть система Л из Щ0 С-равномерно экспоненциально устойчива, это означает, в силу теоремы (3.1), что показатель Боля BQ(A) удовлетворяет неравенству 3$о( ) 0. Зафиксируем в0 0 такое, что BQ(A) + єо 0. В силу леммы 3.1, для этого во найдется 5 такое, что для любой возмущенной системы А + В, удовлетворяющей условию д(А + В, А) 5 выполнено неравенство В0{А + В) В0(і4) + є0 0, что означает С-равномерную экспоненциальную устойчивость любой до статочно близкой к А системы А+В, что, в свою очередь, означает грубость свойства С-равномерной экспоненциальной устойчивости на пространстве 210 с метрикой (2.13). П Замечание 3.8. Запись возмущенной системы в виде (3.10) позволяет учитывать возмущения, малые в среднем, что характерно для систем с сосредоточенными запаздываниями (см. замечание 2.5). Замечание 3.9. Если на пространстве 21 всех систем вида (3.1) определить метрику Q\ равенством QX{A,B)±sup(\A(t,Q)-B{t,0)\+ var \A(t,s) - B{t,s)\), (3.12) (R V Є[-г,0] / то утверждения аналогичные выше доказанным остаются справедливыми, причем без условия «продолжаемости влево» решений систем, то есть на всем пространстве 21. Приведем эти утверждения.
Лемма 3.2. Показатель Боля BQ(A) системы (3.1), удовлетворяющей естественным условиям, устойчив вверх, то есть каждому є 0 отвечает такое 5 0, что для любого возмущения В(, s), удовлетворяющего естественным условиям и неравенству sup var \B{t,s)\ s J, (3.13) i 0 вє[-г,0] имеет место неравенство Яо(А + В) В0(А)±є. (3.14) Доказательство. Согласно представлению (1.22) движение, порожденное системой y{t) = I d(A(t, s) + B(t, s))yt{s), (3.15) и начальнымым условием yt{-)\ = У 0( ) определяется равенством yt(s) = (X(t,t0)yt0)(s)+ + У [(Х(і,т)Ф)(з) J dB(r,0yr(0]dr, -r s O. С учетом неравенств (3.6), (3.7) и условия (3.13) получим Ы1о \Ы\оМе М- + 6М f:e(a»+ff« )yTodr. (3.16) Умножим обе части неравенства (3.16) на е-(Шо+Е ) В силу неравенства Гронуолла и Беллмана, из последнего неравенства следует неравенство 1Ы1ое( 0+}( -() ЫоМехр[ше(г-г0)], из которого легко следует неравенство Таким образом, для оператора Коши У(Мо) : системы (3.15) справедливо утверждение: для любого є 0 найдется такая константа Мі что при всех t, to (t to) выполнено неравенство \\Y(t,t0)\\c c Мєе&+ш + -1\ из которого следует, что показатель Боля системы (3,15) удовлетворяет неравенству 8Q{A + B) В0{А) + 6МЄ. Полагая 5 — є/МЄ} получаем требуемое неравенство (3.14). D Теорема 3.3. В пространстве 21 с метрикой gi, определенной равенством (3.12) свойство С-равномерной экспоненциальной устойчивости, является грубым свойством.
Доказательство. Из определения метрики (3.12) следует, что 0i( + B,A) = sup(B(i,O)+ var \B(t,s)\). ІЄН в[-г,0]
Предположим, что система А из 21 С-равномерно экспоненциально устойчива, это означает, в силу теоремы 3.1, что Я$о(А) 0. Зафиксируем в0 0 такое, что %$о(А) + єо 0. В силу леммы 3.2, для Єо найдется 6 такое, что для любой возмущенной системы А + В, удовлетворяющей условию Qi(A + В, А) S выполнено неравенство Во(А + В) »о(Л) + во 0, что означает С-равномерную экспоненциальную устойчивость любой си стемы А + В, достаточно близкой к системе А в метрике @\, и, следова тельно, грубость свойства С-равномерной экспоненциальной устойчивости на пространстве 21 с метрикой Q\.
Доказательство теоремы 4.4
При доказательстве теоремы будем использовать алгоритм построения обобщенного ляпуновского преобразования L и системы В, описанный в 4. Доказательство разобьем на несколько пунктов.
1. Зафиксируем в подпространстве SQ базис гг1,. ,ІІР. ДЛЯ каждого t Є М+ построим матрицу 8 Ut(s) = (xUs)...a t(S))t 5Є[-г,0], столбцы которой определены равенствами x\(s) — (я,и ), s [—г,0]. Эта матрица определяет оператор Щ, действующий из пространства RQ В пространство Sf, следующим образом: каждому /г Є TRQ ставится в соответствие функция s —xt(s) = {Utu)(s) = Ut(s)h, принадлежащая Sf. Далее построим симметрическую (рхр)-матрицу r( ) = / UfWMds, здесь 7t (s) — матрица, транспонированная к Ut(s). Напомним, что при каждом фиксированном t є Ж+ матрица Г (і) положительно определена (см. лемму 4.5). Покажем, что оператор Uf1 : Щ — Kg, обратный к Ut действует по следующему правилу: если х(-) Є Sf, то U lx = r \t) / U;{s)x(s) ds Kg. Действительно, если Д IRQ, TO С ft. Є f, следовательно, U Uth — h. Далее, если x Є Sjf, то найдется единственный h Є Rg такой, что х = Uth = h\x\ И -f ftpx = (, ), где и = h\Ul Н \- hpuF. Поэтому UtUt-lxt(.,u) = Utr \t) J Ut (s)Ut(s)hds - Uth = xt(-,u). 2. Выберем произвольную непрерывную функцию t — B(t) Є M(p, R) и отвечающую ей систему (4.4). Пусть Y(t, s) — матрица Коши системы В. При каждом t 0 определим оператор L(t): Sf Rf равенством L(t) = ,0)0,-1.
Тогда, если 2 Є , то найдется ft Є Щ такой, что xt = Uth и поэтому L(t)xt — Y{t,Q)UtlUth У(, 0)ft. Сsледовательно, функция t —» L(t)xt является решением системы В. Выберем теперь, произвольное решение — y(t) = У (і, 0)ft системы В, где ft = 1/(0), тогда L- M ) = адЧО М ) = UtY(0,t)Y(t,0)h = Uth = xt(-,u), где и — h\ul + h ftpup. Следовательно, ж ( ,и) = L 1(t)y(t) Є S. Таким образом, каждой системе В отвечает линейное преобразование Ьв(і) : ? —Kj?, определенное равенством #() — Ув(, 0)t/(_1 (здесь Ув(і, 5) — матрица Коши системы В) и устанавливающее гомеоморфизм пространств и Rjj\ 3. Построим теперь функцию — В() так, чтобы функции t — L(t) и Ь_1(і) были ограниченны на полуоси R+. С этой целью при каждом t Є R+ рассмотрим матричное уравнение Z Z = T(t) (5.1) относительно (рхр)-матрицы Z. Лемма 5.6. (см. [30, с. 483], [5], [28], [27]). Существует единственная верхняя треугольная матрица Z(t) с положительными (при каждом і Є К+) диагональными элементами za(t), являющаяся решением матричного уравнения (5.1). Это решение непрерывно дифференцируемо по t при всех t г.
Замечание 5.16. Утверждение, аналогичное лемме 5.6 сформулировано, например, в [30] для постоянной симметрической матрицы Г. Доказательство приведенное там же носит неконструктивный характер. Поскольку для нас представляет интерес не только существование решения уравнения (5.1), но и его дифференцируемость, приведем подробное доказательство леммы 5.6.
Доказательство. Отметим, что если существует верхняя треугольная матрица Z(t), удовлетворяющая уравнению (5.1), то det Z{t)\ = \zn{t)\ z22(t) ;%р( ) - л/det Г(і) 0, (5.2) поэтому zu(t) 0, г — 1,... ,p.
Доказательство проведем по индукции. При р — 1 лемма очевидна. Действительно, уравнение Ґ 2 211 = у_ (Ж М) ds имеет единственное положительное решение zn(t) = \\х\\\2 0 и, в силу равенства xt(s) = I dA(t -f s, r)xt+s(r), s Є [-г, 0], t r, где Xt(s) — dx(t + s)/dti функция t — zu(t) непрерывно дифференцируема при всех t г. Допустим, что лемма доказана для каждого р = 2,..., к. Следовательно, уравнение Z%Zk — А (і), где А СО — главный диагональный блок порядка к матрицы P(t), имеет единственное решение Zk(t), удовлетворяющее требованиям леммы: Zk(t) — верхняя треугольная матрица с положительными при каждом t Є R+ диагональными элементами zu(t) 0, i = l,...,kt и функция t — Zk{t) непрерывно дифференцируема при всех t Ї? г.
Пусть z — col fc+i... Zk,k+i) — вектор-столбец, занимающий вместе с Zk+i,k+i последний столбец матрицы Zk+l, 7(0 = (7i,fc+i(07 ,fc+i( )) — вектор-строка, занимающая вместе с функцией t — 7 ч-і,Ан-і(0 последнюю строку матрицы Гк+і(і).
Распространение теоремы Перрона-Миллионщикова о три ангуляции на системы с последействием
Напомним некоторые обозначения. Пространство начальных функций в представим в виде прямой суммы в = &+ Ш @ , где 6 = {и 6 : я(и) = — со}. Тогда для всех ненулевых функций и Є + выполнено неравенство н(и) —со. Пусть Sjj — р-мерное подпространство начальных функций из 6.
При каждом фиксированном s Є [—г, 0] сдвиг функции — А(, 5) на константу г обозначим А-(, s) = УІ( + т, s). Пусть далее, 72.( А) — замыкание множества {Ar(t, з) : г 3R} сдвигов функции Л в локально открытой топологии. Это означает, что А Є 71(A) в том и только в том случае, если для некоторой последовательности {т,} ! и любых є 0 и Т 0 найдется такой номер го, что для всех г го выполнено неравенство тах(А-Д0)-Л(,0)+ / ЛТ.(, s) - Л(, s)\ rfsW . Зафиксируем подпространство SJ С 6+ и для каждой системы А єЩА) полный набор И -показатель Ляпунова обозначим Аі(Л),..., ХР(А). Будем считать, что \\{А) ... Ар(Л).
Формулируемую ниже теорему можно рассматривать, как частичное распространение теоремы В. М. Миллионщикова [21] на линейные системы уравнений с последействием. Теорема 8.6. Пусть С 5+, система А Є 21 рекуррентна и для всех А Є %{Л) и некоторой константы к —со выполнено неравенство Ai(A) я. Тогда найдутся система В с непрерывной и ограниченной на Ш. верхней треугольной матрицей B(t) и обобщенное ляпуновское преобразование L, приводящее сужение (Л, SQ) системы А на подпространство SQ к системе В.
Прежде, чем приступить к изложению доказательства теоремы 8.6, которое во многом повторяет доказательство теоремы 4.4, докажем ряд вспомогательных утверждений. Лемма 8.9. Если функция t — А(, з) рекуррентна, то для любых є О, Т г, То 0 и всякой непрерывно дифференцируемой на [—г, 0] начальной функции и Є 6, множество .-„(є, Т, То) = {$ Є 1 : max ж + ( , й + ,и)-«t(-, b}tt)i є}, ( , о)єДі (ТДЬ) 2 еЛі(Т,Т0) = {(Мо)єМ2 :t0+r t t0 + T, \t0\ Т0} (сл . рисунок 8.1), ui = max{wo, Но}, относительно плотно на прямой Ж. Поэтому, при і? Є 0(5, Т, То, А), из (8.2) и (8.3) следует неравенство :с -н»(О, о + 0,и) -ж4(0, 0,«) єі + а + (-,іо + і?,«) - St(-,t0,u)o, из которого, в свою очередь, при замене t на + s, где s [—г, 0], получаем при всех (t,to) Є Ді(Т, То) неравенство (8.4). Таким образом, если для заданных є 0 и Т 0 положительное і выбрано так, что єі(і + аТехр(аТ)) є и по і построено 6 0, обеспечи вающее при $ 0(5, Т, То, Л) неравенство (8.3), то выполнено неравенство H t+tfC o + $,и) — xt(-,to,u)\\i є, что и доказывает лемму 8.9.
Зафиксируем в пространстве Q ортонормированный базис w1,..., ир, то есть, если U(s) == (гг1(й),... ,up(s))— функциональная матрица, столбцами которой являются функции иг : [—г, 0] -+ R, то постоянная квадратно ная матрица / U (s)U(s) ds порядка р совпадает с единичной матрицей. Предположим кроме того, что функции s — иг(в) непрерывно дифференцируемы на [—г, 0]. Далее, для каждого to Є любого t to и всех 5 Є [—г, 0] построим (пхр)-матрицу V (Mo) = (4(Мо),.--, (Мо)), (8-5) где Xf(s,to) = хг{Зііо,и1)і и постоянную (рхр)-матрицу Г( ,«ь)= / K (s, o) (s, 0)de, Обопри необходимости будем подчеркивать, что Vt( , t0) зависит от 17, при этом будем писать 14(-, to, U).
Напомним, что в силу линейной независимости столбцов матрицы (8.5) для всех t to (см. лемму 4.5), при каждом фиксированном t to матрица Г(і, t0) положительно определена. Кроме того, Г (to, to) = IPi где Ip единичная матрица порядка р.
Лемма 8.10. Для любых є О, Т г UTQ 0 множество Яг(е,Г,То) = {в Є Ш : max (Г( + г?, t0 + г?) - T(t, t0)+ + r(t + ,t0 + -r(t,t0)) }, где Ді(Т,Г0) = {(t,t0) : t0 -f-r- t t0 + Т, t0 T0} (см. рисунок 8.1), относительно плотно на прямой Ж.
Если функция t — A(t, s) рекуррентна, то для каоюдого Т г найдется такая константа Г0, что при всех (t}i0) Є А2(Т) = = {(і, to) 2 : о + г = = о + Т} имеет место неравенство ІДМоЖД). (8.6) /fc/ш, в дополнение к сказанному, для каждой системы Л Є TZ(A) и некоторой константы к — оо выполнено неравенство Х\(А) лг, А -А. г 5е Аі(Л) — наименьший -показатель Ляпунова системы (щ,А), то для каоюдого Т г найдется такая константа 7о 0, что при всея (t, to) Є А2(Т) = {(t, to) Є 2 : о + Т о + Т} имеет место неравенство Г(Мо) 7о- (8.7) Доказательство. А. Покажем, что для любого Т г при всех (t, to) Є A2(T) выпонено неравенство (8.6). Из леммы 8.10 следует, что функция г — Г(і + т,т) = Gt(r) рекуррентна при каждом t [г, Т], так как для любых є 0 и То 0 множество SGt{s,T0) = {tf Є R : max G (r+ i?) - С7 (т) є} относительно плотно на прямой R, причем Н(е, Т, То) С Нс((є, То) при всех t Є [г, Г], поэтому в силу свойств рекуррентных функций [23, стр. 402] для любых б 0 и Т г найдется такое г\ 0, что для каждой точки (t, to) Аг(Т) найдется точка (t ,to), принадлежащая множеству Д0(т7,Т) = {(i,to) Є А2(Т) : 0 to rj] (см. рисунок 8.2), и такая, что выполено неравенство
