Введение к работе
Актуальность работы. Изучение математических моделей, описывающих малые колебания жидкостей, началось в пятидесятые годы прошлого века с известных работ ак. С.Л. Соболева. Позже появилась серия работ В.Н. Масленниковой, М.Е. Боговского, А.А. Дезина, Т.И. Зеленяка, И.М. Петунина, в которых рассмотрены качественные свойства решений начальных и начально-краевых задач для систем уравнений с частными производными, описывающих малые колебания идеальной и вязкой несжимаемых жидкостей. Особое внимание в этих работах уделено асимптотическим свойствам решений изучаемых задач при t ^^. Отметим, что все результаты, полученные в упомянутых работах, относятся к системам с постоянными коэффициентами. Работы математиков С.А. Габова, А.Г. Свешникова, Г.О. Малышевой посвящены изучению качественных, в том числе асимптотических, свойств решений начальных и начально-краевых задач, описывающих движение стратифицированных жидкостей. Основным методом исследования, применяемым в этих работах, является построенная авторами теория гидродинамических потенциалов.
В работах А.В. Глушко с соавторами изучались модели малых колебаний жидкостей с учетом вязкости, вращения, стратификации среды. Основным отличием этих задач, по сравнению с существовавшими ранее работами, является неоднородность символа дифференциального оператора, обусловленная наличием кориолисовых членов, или стратификацией среды. Отличается также и основной метод исследования, основанный на так называемом принципе локализации. Этот принцип позволяет изучать главные члены асимптотик при t ^^ решений на основании рассмотрения некоторых многомерных интегралов, зависящих от большого внешнего параметра лишь в произвольно малых окрестностях некоторых критических точек.
Особый интерес для нас представляет задача прилипания для системы уравнений, описывающих малые колебания вязкой сжимаемой жидкости во вращающейся системе координат, описанная в работах А.В, Глушко и С.О.Рыбакова. Несмотря на то, что изучается задача в полупространстве для системы уравнений с постоянными коэффициентами, отсутствие внутренних симметрий в краевой задаче и сложный вид уравнений не позволил выписать явное представление решения. С помощью преобразования Лапласа по временной переменной и преобразования Фурье по касательным к границе пространственным переменным исходная начально-краевая задача сводится к «задаче в образах». Последняя задача представляет собой краевую задачу с параметрами для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. С помощью априорных оценок в пространствах С.Л. Соболева с весом удается изучить геометрию области в комплексной у — плоскости (у є C параметр, двойственный времени t при преобразовании Лапласа), что приводит к доказательству теорем о локализации, позволяющих в дальнейшем построить асимптотические представления компонент решения при большом времени.
В статьях А.В. Глушко и А.С. Рябенко подход, основанный на априорных оценках решения «задачи в образах» с последующим использованием полученных результатов для исследования асимптотического поведения решения исходной задачи при t ^ro, был применен уже к задачам для уравнений с переменными коэффициентами. Вначале этот подход был отработан на начально-краевой задаче в полупространстве для уравнения теплопроводности, а затем использован для исследования оценки асимптотического поведения при большом времени решения задачи о малых одномерных (вертикальных) колебаниях в вязкой сжимаемой стратифицированной жидкости.
В настоящей работе данный подход был применен для изучения поведения при большом времени решения начально-краевой задачи прилипания описывающей малые колебания вязкой сжимаемой жидкости. Основным отличием от работ А.В. Глушко и А.С. Рябенко является то, что априорная оценка в последних работах проводится для скалярного уравнения, даже в случае изучения системы уравнений. Если не удается свести начально- краевую задачу для системы уравнений к задаче для скалярного уравнения, то прямое применение методов, разработанных в работах А.В. Глушко и А.С. Рябенко невозможно. Поэтому априорная оценка для «задачи в образах» второй из рассмотренных в диссертации задач проводится сразу для системы уравнений.
Таким образом, рассмотренные в работе задачи являются естественным и актуальным продолжением целой серии исследований многих математиков.
Цель работы. Главной целью исследования задач, рассмотренных в работе, является получение асимптотических оценок решений при t го .
Работа посвящена изучению начально-краевой задачи, описывающей малые колебания сжимаемой вязкой жидкости с переменной стационарной плотностью. В первой главе работы рассматривается одномерный случай задачи. Вторая и третья главы посвящены исследованию задачи в трёхмерном полупространстве. Основными целями при изучении задач в образах Лапласа-
Фурье (в трёхмерном случае) или Лапласа (в одномерном случае) были доказательство разрешимости задачи, построение области аналитичности и получение априорных оценок решения. Полученные при изучении задач в образах результаты позволяют доказать утверждений относительно разрешимости исходных задач, получить асимптотические оценки компонент решения при t — го .
Методы исследования. Используются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, интегральные преобразования, а именно интегральные преобразования Лапласа и Фурье, строятся априорные оценки решения задачи в образах Лапласа-Фурье, применяются методы функционального анализа в пространствах С.Л. Соболева, методы оценки асимптотического поведения интегралов, в частности метод стационарной фазы.
Научная новизна. Изучение задач гидродинамики и основные результаты, полученные ранее, связаны с рассмотрением систем и уравнений с постоянными коэффициентами. В данной работе проводится исследование задачи, описывающей движение жидкости переменной стационарной плотности. В работе проводится построение сложной области аналитичности решения задачи в образах (Лапласа в одномерном случае, Лапласа-Фурье - в трёхмерном). Исследование проводится с помощью априорных оценок решений «задач в образах», причем впервые проводится априорная оценка для системы уравнений с переменными коэффициентами без сведения к скалярному уравнению.
Практическая и теоретическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и методы их доказательства могут быть использованы в дальнейшем для построения асимптотических представлений при t — решений задач динамики жидкостей. Результаты работы также могут быть полезны для изучения многих важных для практики задач математической физики, описываемых дифференциальными уравнениями с частными производными. Кроме того, полученные результаты могут быть полезны при рассмотрении задач в частных случаях вида функции стационарной плотности.
Апробация работы. Основные результаты и содержание работы докладывались и обсуждались на профильных научных конференциях и семинарах: XXV Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения-XXII» «СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ» (3-9 мая 2011 года, Воронеж); IV Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики,
теории управления и математического моделирования (ПТУММ-2011)» (12-17 сентября2011 года, Воронеж); XXVI Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения-XXIII» «СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ» (2012 год, Воронеж); V Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования (ПТУММ-2012)» (2012 год, Воронеж); Летней математической школе SCUOLA MATEMATICA INTERUNIVERSITARIA (21 августа-3 сентября 2011, Италия).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[8]. Работы[1], [7], [8] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы. Объём диссертации составляет 134 страницы.
