Содержание к диссертации
Введение
1 Метод регуляризации Тихонова для задачи восстановле ния входа динамической системы 10
1.1. Постановка задачи 10
1.2. Общая схема восстановления неизвестного входа 17
1.3. Восстановление входа линейной системы 24
1.4. Адаптивный алгоритм восстановления входа динамической системы 27
2 Оценки погрешности метода регуляризации Тихонова 33
2.1. Общая схема оценивания погрешности метода регуляризации для решения линейного операторного уравнения . 33
2.2. Оценки погрешности метода регуляризации в условиях обобщенной истокообразной представимости неизвестного входа 39
2.3. Условия нормальной разрешимости оператора Лк 52
2.4. Другие условия обобщенной истокообразной представимости неизвестного входа 58
2.5. Оценка погрешности метода регуляризации для задачи с полностью измеряемым состоянием 64
2.6. Нижняя оценка погрешности метода регуляризации в задаче вычисления производной 68
2.7. Оценка точности метода регуляризации на классе функций с заданным модулем непрерывности 76
3 Конечноразностные аппроксимации в задачах идентификации входа динамических систем 78
3.1. Общая схема конечномерных аппроксимаций решений операторного уравнения I рода 78
3.2. Сходимость конечноразностных аппроксимаций к точному решению задачи восстановления входа 81
3.3. Конечноразностные аппроксимации для линейных систем 88
3.4. Конечноразностные аппроксимации для систем с полностью измеряемым состоянием 91
3.5. Результаты численного моделирования 94
Список литературы 101
- Общая схема восстановления неизвестного входа
- Условия нормальной разрешимости оператора Лк
- Оценка точности метода регуляризации на классе функций с заданным модулем непрерывности
- Сходимость конечноразностных аппроксимаций к точному решению задачи восстановления входа
Общая схема восстановления неизвестного входа
В этом разделе будем предполагать, что W — рефлексивное пространство, Y — банахово пространство, Л — некоторый оператор, действующий изИ вК, Q : W — R- неотрицательный, ограниченный, полунепрерывный снизу и строго равномерно выпуклый функционал. Напомним
Определение 1.2.1. [41] Функционал Q(-) называется строго равномерно выпуклым, если существует монотонно возрастающая действительная функция такая, что 7(0) = 0; (t) 0 при t 0 и при всех wi,u 2 Є W, А Є [0,1]. Функция 7(0 называется модулем выпуклости функционала П(0 Пусть / Є Im Л. Введем обозначения Предположим, что элемент у нам не известен, а известен лишь у$ Є Y такой, что Элемент у можно трактовать как выход системы, у - результат измерения выхода, W{y ) - множество всех входов, совместимых с выходом у , Wft(y ) - множество всех Q-нормальных входов, совместимых с выходом у Для приближенного восстановления элементов из множеств W(y ), Wn{y ) применим метод регуляризации А.Н.Тихонова. Рассмотрим множество где a 0, є 0 - параметры регуляризации. Множество We не пусто при любом є 0 согласно определению инфимума. Если инфимум в (1.2.3) достигается, то можно положить є — 0. Определение 1.2.2. [87] Оператор А называется слабозамкнутым, если из условий Wk — w, Awk —х у следует, что Aw — у. Очевидно, что из слабой непрерывности оператора
А следует его слабая замкнутость. Предложение 1.2.3. Если оператор А слабо замкнут, то инфимум в (1.2.3) достигается т.е. задача где а 0 - параметр регуляризации, имеет решение. Обозначим через Wf множество решений задачи (1.2.4). Определение 1.2.4. [54 ft-расстоянием от множества W\ С W до мноо/сества Wi С W называется число где - расстояние от w до множества W2. Теорема 1.2.5. Пусть у Є R{A) и у$ Є Y, удовлетворяет, (1.2.1). Тогда из условия следует Доказательство предложения 1.2.3 и теоремы 1.2.5, полученное в работах [87, 107] для функционала Q,(w) = ги2, легко переносится на произвольный строго равномерно выпуклый и полунепрерывный снизу функционал. Замечание 1.2.6. В условиях теоремы 1.2.5 имеет место /3 - сходимость множеств W$ к множеству -нормальных входов, совместимых с выходом у (-): Целью данного раздела будет ,во-первых, ослабить условие слабозамкну-тости оператора Л и, во-вторых, получить не только необходимое, но и достаточное условие сходимости метода регуляризации А.Н.Тихонова. Определение 1.2.7. Оператор А называется -регулярным, если для любых у Є R(A) и {wk} С W из условий Похожее определение содержится в работе [108]. См. также [89]. Теорема 1.2.8. Для того, чтобы для любых у Є R(A) и ys Є Y, удовлетворяющих (1.2.1), из условия следовало необходимо и достаточно, чтобы оператор А был Q, - регулярным. Доказательство. Достаточность. Предположим противное, т.е. оператор А П-регулярен, но найдутся у Є R(A), ys Є Y, удовлетворяющие (1.2.1), последовательности {Sk}, {&к}, {єк}, {и к} и число d такие, что Откуда с учетом (1.2.1) имеем Из (1.2.9), двух последних неравенств и Q-регулярности оператора А получаем p{wki W(y )) — 0, что противоречит (1.2.11). Необходимость. Предположим, что у Є R(A) и {u } удовлетворяет (1.2.7). Докажем (1.2.8). Положим Очевидно, что 4 - 0, а -+ 0, /о - 0, wk Є И " е and ЄА; 0. В соответствии с условиями теоремы нам достаточно показать, что, Рассмотрим произвольные wk Є Wh ak. Тоща Кроме того,
Для этого рассмотрим подпоследовательность {w } такую, что Если Єї — -f оо, то доказывать нечего. В противном случае, последовательность {Q Wfy)} ограничена и, следовательно [28], ограничена и {wfcj. Положим Из ограниченности функционала О, на множестве следует, что он удовлетворяет условию Липшица с некоторой константой L О на этом множестве [118]. Зафиксируем произвольное є : 0 є L. Согласно (1.2.13), существует номер К Є N такой, что для любого / К найдется элемент щ Є W(yt), удовлетворяющий условию Очевидно, что Wknwi Є В. Следовательно, Откуда с учетом произвольности є имеем (1.2.16). Далее, из неравенства (1.2.14) следует, что Откуда с учетом (1.2.7) и (1.2.16) имеем Последнее равенство и (1.2.15) дает (1.2.12). Теорема доказана. Аналогичный результат получен в [108] для метода невязки. Определение 1.2.9. Оператор А называется слабо-сильно замкнутым, если из условий Wk —Л w, Awk - у следует, что Aw = у. Очевидно, что из слабой замкнутости оператора следует его слабосильная замкнутость. Приведем пример системы, оператор "вход-выход" которой слабо-сильно замкнут, но не является слабозамкнутым: Предложение 1.2.10. Для того, чтобы оператор А был О,-регулярным достаточно, чтобы он был слабо-сильно замкнутым. Доказательство. Предположим, что слабо-сильно замкнутый оператор А не является fi-регулярным. Тогда найдутся элемент у Є R(A) и последовательность {г%} С W такие, что имеет место (1.2.7), но Из второго условия в (1.2.7) и равномерной выпуклости Q(-) вытекает слабая компактность {wk} [28]. Без ограничения общности, можно считать, что {w слабо сходится к некоторому элементу WQ Є W. Ввиду слабо-сильной замкнутости оператора А Из полунепрерывности сверху функционала вытекает его слабая полунепрерывность сверху [28]. Поэтому с учетом (1.2.7) и (1.2.18) имеем Следовательно, Повторяя рассуждения работы [28, стр.181-182], получаем, что Wk — WQ. Ввиду (1.2.18) это противоречит (1.2.17). Предложение доказано.
Условия нормальной разрешимости оператора Лк
Определим операторы А : R71 —f Yk, Ak,Dk : L — Yk следующим образом где Ф(, г) - фундаментальная матрица системы = Л()ж. Напомним, что матричная функция At(-) предполагается непрерывной. Обозначим через Рк, Р операторы ортогонального проектирования на подпространства KerDk, Кет(Ак + Dk)1 соответственно и через / тождественный оператор в соответствующем пространстве. еорема 2.3.1. Пусть матричная функция Dk(-) имеет постоянный ранг и справедливо неравенство: Тогда оператор Ак нормально разрешим. Доказательство. Заметим, что поскольку Im Ли = 1т Ак + lm(Ak-{-Dk) и пространство ІтЛ конечномерно, то замкнутость Im Ак будет следовать из замкнутости 1т(Д + Dk). Далее, из условия (2.3.1) следует представление [83] Тогда с учетом равенства Рк = Dk Dk имеем Из леммы 2.2.10 и известных фактов из теории интегральных уравнений [111] следует, что оператор AkDk -\- I имеет ограниченный обратный. Поэтому из замкнутости Im Dk вытекает замкнутость lm(AkDk + I)Dk-Следовательно, оператор (Ак + Dk)+ ограничен. Теорема доказана. Следствие 2.3.2. Пусть матричная функция Dk(-) имеет постоянный ранг и справедливо одно из следующих условий: Тогда оператор Ak нормально разрешим. Теорема 2.3.3. Если D(t) = 07 матричная функция С(-)В(-) имеет постоянный ранг и выполняется одно из следующих условий то оператор Лі нормально разрешим. Доказательство. Пусть выполняется (2.3.2).
Поскольку согласно (2.2.9) при к = 1 и D(t) = О имеем Dx(t) - Col{0, C(t)B(t)}y то условие 5 в следствии 2.3.2 превращается в С учетом (2.3.2) и очевидного равенства имеем (2.3.4). Поэтому по следствию 2.3.2 оператор Л\ нормально разрешим . Пусть выполняется (2.3.3). Поскольку всегда то Последнее равенство означает линейную зависимость столбцов матрицы C(t) от столбцов матрицы C{t)B{t) и, следовательно справедливо равенство Оператор Лі : W — Yk каждому элементу w — (х,и(-)) Є W ставит в соответствие функцию г/і(-) — Co\{y(-),z(-)} Є Y\ такую, что при почти всех t Є [to, t\] где x(t) — x[t] x, u(-)) (t Є [ioj i]) - решение дифференциального уравнения (1.1.1). Очевидно, что y(t) = z{t). Докажем замкнутость ГтЛь Как было показано в теореме 2.3.1, для этого достаточно показать замкнутость образа оператора Лі, действующего из из Щ в Yi по правилу (2.3.6), но при условии х = 0. Равенства (2.3.6) при этом условии равносильны следующим: где Ф(, г) - фундаментальная матрица системы х = A(t)x. Для замкнутости образа Л\ достаточно показать [54], что существует решение и(-) Є Щ уравнения (2.3.7), непрерывно зависящее от yi(-) = Col{y(-), z(-)} Є ІтЛі. Покажем, что в качестве такого решения можно взять где v(-) Є Щ — решение интегрального уравнения C+it)z(t) = = C+{t)(C(t) + Действительно, уравнение (2.3.8) разрешимо и непрерывно зависит от z(-) fill] и, следовательно, от yi(-) = Co\{y(-),z(-)} Є ІтДі. Очевидно, что v(t) = C+(t)C(t)v(t). С учетом (2.3.5) для всех t [to, ti] имеем Поэтому и, следовательно, с учетом равенства y(t) = z(t), имеем где Откуда Поскольку уі(-) — Col{y(-),z(-)} Є ІтЛі, то у (to) = 0 и для всех t Є Ml] Поэтому g(to) — 0 и для всех t Є [to, ti] Откуда с учетом (2.3.9) имеем Следовательно, что равносильно (2.3.7). Теорема доказана. Следовательно, по следствию 2.3.2 (условие 6) оператор Лп нормально разрешим и справедлива оценка (2.2.34) с к = п. При этом, если ш(є,и (-)) = 0(єг/2) и j(t) = 0(2), то по следствию 2.2.24 имеем При 7г—1 приходим к задаче численного дифференцирования с оценкой точности \\wf — w \\w = 0(1//3)- Данная задача есть лишь частный случай исследуемой задачи восстановления входа динамической системы. Поэтому естественно, что во многих работах по численному дифференцированию получены оценки с более высокой точностью. Так, например, в работе [31] при решении задачи численного дифференцирования методом усредняющих ядер в предположении ограниченности второй производной получена точность 0(52 ь).
В работах [40], [99] для задачи восстановления входа динамической системы получены оценки погрешности метода, предложенного в [71], и его модификаций. Особенностью этих методов является то, что начальное состояние системы известно точно, измерению подвергаются координаты системы или их часть, вычисление входного воздействия производится в режиме "реального времени "(т.е. по мере поступления информации о выходе системы), ошибка измерения выхода ограничена заданным числом в метрике C[to, ti]. Эти оценки имеют точность 0( 51//3) ([40], измеряются все координаты системы), 0( 51//18) ([99], измеряется часть координат системы). В указанных работах исследуемые системы удовлетворяют условиям теоремы 2.3.3 и оценки получены при условии, что неизвестное входное воздействие имеет ограниченную вариацию и, следовательно, и)(є,щ(-)) = 0(є1//2)- Поэтому при довольно общих предположениях в нашем случае при измерении части координат имеем оценку точности Кроме (2.2.25) известно и другое известное условие истокообразной представимости [89] Получим условие, обобщающее (2.4.1). Лемма 2.4.1. Оператор А А : W - W каждому элементу (х, и(-)) Є W ставит в соответствие элемент (р,г (-)) Є W по правилу где x(-) — x(-;x,u(-)) - решение дифференциального уравнения (1.3.1); K(-) - решение дифференциального уравнегшя Доказательство. Равенство (р,г (-)) = Л у(-) равносильно где р(-) - решение дифференциального уравнения с граничным условием p{t\) = 0. Равенство у(-) = А(х, и(-)) равносильно (1.3.1), (1.3.2). Поэтому равенство равносильно дифференциального уравнения (1.3.1); р(-) -решение дифференциального уравнения с граничным условием p(t\) = 0. будем искать решение (2.4.5) в виде где функции K(-), д(-) подлежат определению. Подставляя (2.4.6) в (2.4.5), с учетом (1.3.1) имеем Учитывая произвольность x(t) получаем (2.4.2), (2.4.3). Осталось подставить (2.4.6) в (2.4.4) Лемма доказана. Для любого к Є N U {0} введем обозначение Wk = Rn х L.2 + и определим линейный и непрерывный оператор Fk : W — Yfc, который каждому элементу w = (х, и(-)) Є W ставит в соответствие элемент z = (р, v()) Є VFjfc такой, что и при всех t Є [tf())l] где где ІГ(-) - решение дифференциального уравнения (2.4.2); g(-) - решение дифференциального уравнения (2.4.3); x(t) — x(t;x,u(-)) (t Є T) - решение дифференциального уравнения (1.1.1). Далее всякий раз, когда имеем дело с оператором Fk, будем считать, что выполнено Предположение 2.4.2. Матричные функции Сі(-), ВІ(-), і Є 0, k — 1, непрерывно дифференцируемы, Qi(-), і Є 0, k — 1, k — \ раз непрерывно дифференцируемы. По лемме 2.4.1 Fo = А А. Аналогично лемме 2.2.12 имеет место Лемма 2.4.3. Для любого к Є N U {0} справедливо равенство Обозначим через Pk : Wk -і L2 оператор ортогонального про ектирования пространства Wk на подпространство L2 Рассмотрим оператор Fk : W —) Ц, определенный равенством (2.4.8), т.е. Fk = PkFk.
Оценка точности метода регуляризации на классе функций с заданным модулем непрерывности
Как уже говорилось, задача восстановления входа динамической системы сводится к решению абстрактного операторного уравнения первого рода где W, Y - гильбертовы пространства. А : W — Y — оператор "вход-выход" динамической системы. Обозначим через множество всех входов, совместимых с "точным" выходом у , т.е. множество решений уравнения (3.1.1) при у — у . Пусть у$ Є Y - результат измерений выхода такой, что слабозамкнутый.
В работах [34, 35, 107] для решений уравнения (3.1.1) с неточно заданной правой частью и слабозамкнутым оператором в качестве приближенного решения уравнения (3.1.1) рассматривается решение вариационной задачи где a 0 - параметр регуляризации. Затем эта задача заменяется на конечномерную вариационную задачу где Wh - конечномерное подпространство пространства W, {Ah} - последовательность операторов, сходящаяся к А в некоторой топологии, V5h - Уб при h — 0, и утверждается, что при h — 0 и при фиксированных 1иа имеет место сходимость решений вариационной задачи (3.1.3) к решению вариационной задачи (3.1.3). Однако ничего не говорится о сходимости решений вариационной задачи (3.1.2) к решению уравнения (3.1.1) при 5 — 0, h — 0. Ниже будет показано, что при определенном выборе Ah, ysh, си — а(6, К) такая сходимость имеет место. Пусть {Wh, : 0 h ho} - семейство конечномерных подпространств пространства W, {Уд : 0 h ho} - семейство конечномерных подпространств пространства У, {Ah 0 h ho} - семейство слабозамкнутых операторов, действующих из W в У)ь таких, что где Qh W — Wh - оператор ортогонального проектирования на подпространство Wh, Bh - некоторый оператор, действующий из из Wh в где г](К) - некоторая неотрицательная функция такая, что r){h) — 0 при h - 0, С : W — R - неотрицательная функция, ограниченная на любом ограниченном множестве из W. Заметим, что неравенство (3.1.5) означает, что последовательность операторов {Ah} сходится при h —» 0 к оператору А в топологии равномерной сходимости на всех ограниченных множествах пространства W. Рассмотрим конечномерную вариационную задачу где Ph Y - Yh - оператор ортогонального проектирования на подпространство Yh- Обозначим через Wfh множество решений вариационной задачи (3.1.6).
Из слабозамкнугости оператора Ah следует Предложение 3.1.1. 107 Для любих у$ Є Y, 8 0 и h : 0 h ho вариационная задача (3.1.6) разрешима, т.е. мноо/сество Wfh не пусто. Лемма 3.1.2. Пусть W$h - мпооїсество решений вариационной задачи Тогда Доказательство. Пусть w Є Wfh. Возьмем любое w Є W. Тогда Wh = QiyW Є Wh и, следовательно, Поэтому w Є W h. Лемма доказана. Теорема 3.1.3. Если Доказательство. Согласно 107] из условий теоремы следует По лемме 3.1.2 Теорема доказана. 3.2. Сходимость конечноразностных аппроксимаций к точному решению задачи восстановления входа В этом разделе предполагаем, что движение динамической системы на отрезке [to, і] описывается дифференциальным уравнением а выход системы определен равенством где функции /i(, ж), f2(t,x), g(t,x), непрерывны по совокупности пере-менных и удовлетворяют условиям (1.1.12), (1.1.13), а также условиям: найдутся константы D , D±, D, D такие, что для всех t, t Є [ оДі]? х х Є Rn- По теореме 1.1.11 оператор "вход -выход" системы (3.2.1), (3.2.2) слабонепрерывен. Поэтому согласно предложению 1.2.3 вариационная задача (1.2.4) имеет решение. Для численного решения этой задачи требуется, вообще говоря, систему (3.2.1), (3.2.2) и задачу (1.2.4) заменить их конечномерными аналогами. В связи с этим, возникает вопрос сохранится ли при такой замене сходимость (1.2.5)? При использовании конечноразностных аппроксимаций можно дать утвердительный ответ на этот вопрос. Разобьем отрезок [to, t\] на к частей точками Величину назовем длиной разбиения. Рассмотрим конечномерную задачу где, Х-І, і Є 1,к, определяются из разностной схемы г Є 1, к, у} - среднее значение функции на отрезке [T _J, Ц], т.е. АТІ = ті — Гг_і, і Е 1,к, а 0 - параметр регуляризации. Обозначим через W h множество всех пар (x%l,ul h(-)) таких, что
Сходимость конечноразностных аппроксимаций к точному решению задачи восстановления входа
Пусть выполнены все условия раздела 2.5, т.е. измерению доступны все координаты состояния системы. Решение конечномерной вариационной задачи (3.2.5), вообще говоря, не может быть найдено в явном виде. В случае полностью измеряемого состояния можно функционал в задаче (3.2.5) заменить на квадратичный и получить решение вариационной задачи в явном виде. Рассмотрим конечномерную вариационную задачу где Дт"г = ТІ — Тг-ij і Є 1,к, а 0 - параметр регуляризации. Функционал в задаче 3.4.1 квадратичный. Поэтому сформулируем теорему аналогичную теореме 3.3.1. Теорема 3.4.1. Вариационная задача (3.4-1) имеет едипетвси-ное решение.
Это решение представимо в виде где хг, і Є 1,к, определяются последовательно из соотношений где Fi - матрицы размерности т х п, dl - векторы размерности т следующего вида где матрицы V{ размерности т х т имеют вид матрицы Pi размерности п х п, векторы gl размерности п определяются с помотаю следующих рекуррентных соотношений: Повторяя рассуждения раздела 2.5 и применяя лемму 3.2.18 получаем следующую теорему Теорема 3.4.2. Если матричная функция ЛО, # ()) имеет постоянный ранг на отрезке [o i] т0 для любых S 0, а Є (0,cvo); где где C\(w ), С2 ( & ) определяются равенствами (2.5.5), (2.5.7), (2.5.10); К\, Ki - некоторые константы. Пусть Q(w) = w2/2. По-прежнему, через и = (х ,и (-) обозначаем нормальное "точное" решение задачи восстановления входа, а через wfl приближенное решение задачи восстановления входа, полученное с помощью конечноразностных аппроксимаций. Поскольку w Є dQ(w ), то с учетом оценки (3.3.6) и (3.2.18) оценка (2.1.9) принимает вид где Исходя из этой оценки предлагается выбирать параметр регуляризации а из уравнения где константа С удовлетворяет условию C(w ) С. Этот метод не имеет пока строгого теоретического обоснования, но получено экспериментальное подтверждение возможности его применения. В таблице 1 приведены результаты численного моделирования, выполненного в среде Fortran Powerstation 4.0. Метод выбора параметра регуляризации из условия (3.5.2) назван в таблице методом оценки. Данный метод сравнивался с методом невязки ([90]) и методом, когда параметр регуляризации выбирался из условия минимизации отклонения "точного" входа от восстановленного, названным в таблице "оптимальным" методом.
Решение задачи восстановления входа линейной системы (3.3.1), (3.3.2) были реализованы следующим образом. Для заданных х = х% и(-) = и ( ) решается система (3.3.1) и по формуле (3.3.2) определяется выход / (). Затем вычисляется "возмущенный" выход системы по формуле r(t) - некоторое случайное число из отрезка [—1; 1]. Далее по теореме 3.3.1 вычисляется х , ufh(-) и сравнивается с х% м (-). Численные расчеты проведены для системы Аналогично реализовано решение задачи восстановления входа системы (2.5.1), (2.5.2) с полностью измеряемым состоянием. Численные, расчеты проведені)! для системы из работы 95: начального состояния х — (5, 2; —2, 2) и входных воздействий 1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин СВ. Оптимальное управление. - М.: Наука, 1979. 2. Ананьев Б.И. К задачам оптимального наблюдения для линейных управляемых систем с запаздыванием // Дифференциальные игры и задачи управления. - Свердловск: УНЦ АН ССОР, 1975. - С.3-28. 3. Аникин С.А. Конечноразностные аппроксимации в обратных задачах динамики управляемых систем / АН СССР. УрО. ИММ.- Свердловск, 1989. - Рукопись ден. в ВИНИТИ 22.05.89 N ЗЗС2-В89. 44 с. 4. Аникин С.А. Об оценке погрешности конечноразпостных аппроксимаций в обратных задачах динамики / АН СССР. УрО. ИММ.-Свердловск, 1990. - Рукопись доп. в ВИНИТИ 11.07.90 N 3873-В90. 45 с. 5. Аникин С.А. Об оценке погрешности конечноразностных аппроксимаций в обратных задачах динамики управляемых систем // Оценивание и идентификация неопределенных систем / РАН. УрО. ИММ.-Екатеринбург, 1992. - С.29-49. - Рукопись деп. в ВИНИТИ 26.05.92 N 1754-В92. 6. Аникин С.А. Об оценке погрешности метода регуляризации А.Н.Тихонова в задачах восстановления входов динамических систем // Журнал вычислительной математики и математической
