Обратные задачи для системы метода сферических гармоник Бобоев Кодир

Здесь

_А=$ОИ&

_^^^a_{^>-^fi,-fi}, ^J—}

іч-Дч/зо

|5-Д>/30

3^ > ^"~\|~У

^гПервая компонента вектор функщш cj(x_;t) представлена

в виде суммы регулярной и сингулярной функции, т.е.

(0.12)

- 8 -где

S(x) = i+^Jo₁₁(A)S(A)_C/A=exp{^ja_lfW)GfA}_i (о.із)

о о

Интегрированием по характеристикам из системы (0.10) получена система нелинейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода

^^,1) = ^-^^^^^1)^, (0.15)

* = а,4.(?сД;бД(Т) «-S. Cx,i)eZ\(T) ,

№)-> M%j)S(^yji(p^r)_dr. соли

Здесь «+Р

Система (0.13)-(0.17) составляют замкнутую систему нелинейных интегральных уравнений второго рода относительно функций и)(*,Ъ , S(x) , а_лі(х)»Сі (х) . В результате ее анализа получена следующая

Теорема 4. Пусть

^а) _{&(*) = <№);}

Тогда существует такое Т >0 , что при веехТє(0,Т ) система (0.13)-(0.17) однозначно разрешима в классе непрерывных функций относительно Мр:,^)^^

Следующий 5 посвящен постановке и изучению обратной за-дачи да -приближения метода одических гармоник. Здесь также проделана аналогичная процедура и получена система п.-го порядка

Ц + кЦс= 6^(0 = ^. (0.18)

^Здесь І^сііа0{к_ок^...,іс_п}

Элементы матрицы >_t размера пхп. содержат citoc) с

различными показателями и постоянные множители, которые заранее известны. Для системы (0.18) рассмотрена следующая задача

0)1, =0 і (0-19)

^4=0=^^¹^^^^ ⁽⁰-²⁰⁾

4l*.o = 9j(t), J = <М_; U[o,T]. «.ЗІ)

Постановка обратной задачи.

Требуется по информации (0.21) определить бсэс") , б_(х) из системы (0.18) с условиями (0.19), (0.20).

Лемма I. Пусть Єсос^6_%(х), 3.(4) при j = <2,3_;4,.$;?_; ...,«. непрерывные функции по х и t соответственно при x>o,t^o и пусть

g_t(t)^tftt). (0.22)

Тогда

4C^,i)=cT({^fJS(3c)-b4(x_;t) (0.23)

$(*)= 1-н-і-W(S)S(*)dl? (0.24)

Интегрируя уравнения с номерами j =,1,3,4, .--jft+l вдоль соот-ветствувдих характеристик по Т и пользуясь свойствами о --функции, получаем

+ f (х + к.(1-Т),Т)о[Т. ' (0.25)

j. ^

г_ч+^

Из (0.25), в силу условий (0.20), (0.21) при а=о ,получаем

Положив oc-kJ; из (0.25), получаем условия на этой характеристике

ч№)=^.^1^^- ⁽⁰-²⁷⁾

Интегрируя уравнения системы (0.18) с номерами j = i з,.--_?и. , а также j-,4 вдоль соответствующих характеристик получаем

S^-s^bT^V-^¹)^ ⁽⁰-²⁸⁾

Здесь ( эс. _? f ) точка пересечения прямой выпущенной из (х , t ) с наклоном К. с границей области

Интегрируя згравнения с номерами j = б,&_; , n+i по Т , получаем

- II -t

4^) = -. CLM)S(^)⁺J (x-^(t-rj_;T)ctr (0.29)

Из (0.28) для уравнений с номерами )~&А при лс=к.^і полу
чаем

#-^>-ф^№№Щ№-^№ ⁽⁰-³⁰⁾

При этом справедлива следующая

Теорема 5. Решение обратной задачи (0.18)-(0.21) при выполнении условия леммы I единственно в области A(TJ при любом Т>о в классе функций(^)^^ if, 1Г С(Д(Т)) » где it - класс функции вида

l = {6-Cx),o0&6-_f=c^C₁₎S-C(:R)^_sC¹(R)}

На этом пути можно методом аналогичным и изложенным в [32J также доказать теорему существования решения обратной задачи (0.18)-(0.21) для достаточно малого Т>0 .

Обратная задача для Рг -приближения с источни ком на границе области

Равенство матрицы перед производным по ос выражению dLiatjitj-i] достигается простой заменой переменных в обычной форме записи PL-приближения [37), {38J . Предположим, что при t -0 среда находится в покое,т.е. U О ; (2.2) Еще предположим, что при t-o на границе эс = о действует сосредоточенный источник нейтронов ІХІ = S(i)i (2.3) и при с -о измеряется результирующая плотность тока VLo = H(i) . (2.4) Здесь 8«) - функция Дирака.

Обратной будем называть задачу определения функций сх) из соотношений (2.1) - (2.4) в классе непрерывных функций.Интегрируя каждое из уравнений системы (2.1) вдоль соответствующих характеристик получаем х acx}t) S(t x) j (Xii-x A)dA, (2.5) о і УСх, )=Д (x + t-A.ANeU (2.6) Здесь Г Т \ 2-6 - 28 -Отсюда вытекает И SO . V =0 При і- функция U(xti) имеет скачок, амплитуда которой удовлетворяет интегральному уравнению Вольтерра второго рода S(x)= l-jaa)ScA)cU- (2.7) о

Представляем решения в виде суммы регулярной и сингулярной функции. Следовательно функция UOc(t) uOc, t)-SCx) J(t-x) (2 8) будет кусочно-нецрерывной (непрерывной в области t» X ). Подставляя в (2.5), (2.6) вместо UCx,-fcJ ее выражения через ULiXjt) из (2.8) с учетом (2.7), получаем 2c ,t)=f( x + A)dA (2.9) где -CLU- V Аналогично из (2.6) получим t VCx,t) = -AgC t)S jW-=c)+J(a+t4X)d t«;(2.I0) где -f -u-av , б(эс) - функция Хивесайда Здесь использовано равенство нулю решения задачи (2.1) - (2.3) при { ос Положим в (2.10) х-о , тогда получим - Введя, замену сі- t-Л и подставляя вместо t в уравнении (2.II) &t перепишем его с учетом (2.7) і t g = -AH(At)+j WaWS(JI)cU+ /{ ) ; Ьо (2.12) Равенства (2.7), (2.9), (2.10), (2.12) представляют собой систему нелинейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода относительно функций S(X , u(x,t)} vfx;t); GL t)

Известным приемом [32J можно показать, что к этой системе применим- принцип сжатых отображений в области при достаточно малом 0 . Поскольку #0 #i , о;Л] , то из (2.1)-(2.4) можно единственным образом найти С с) .

Справедлива следующая Теорема I. Пусть (-К ) непрерывна при t 0 и \-\d)=0 для t -0 , тогда существует L о такое,что для всех L (o}L ) обратная задача (2.1)-(2.4) имеет единственное решение в классе непрерывных функций в области Д( 0 . Теорема 2. Решение обратной задачи (2.1) - (2.4) единственно в классе непрерывных фуніщий в области А(/.) для любого о , Отметим, что uCx}t) и V(3c,t) в области t&X&o будут решением граничной задачи U.I =0 (2.14) - зо ±g(t)S(i). (2Л5) Замечание І. Если задана функция ( (0 и $ --=- » то можно определить 9х(х) . 3. Обратная задача в Q -приближении для случая изотропного рассеяния

В области ос ъо ,-i±ju ±L рассмотрим уравнение (I.I) для изотропного рассеяния. Система (I.I4) при этом в рамках Р -приближения будет иметь следующий вид: oc [ofL]}t о-где \jL xr0(x;t) » V-V C t) с точностью до множителя $Х представляют собой плотность полного потока нейтронов и результирующую плотность тока [37J.

Предположим, что нам известны нулевая и первая гармоника V0( t) и. y OXft) функции V(x;t) в какой-то момент времени t=T , и также при ос-о . Равенства (3.11)-(3.14) представляют собой замкнутую систему нелинейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода относительно функций uc .,t), axcx.7t) } 6"С Сэс) 5 6"(х) Методом аналогичным с изложенным в [32] можно показать,что к этой системе применим принцип сжатых отображений при достаточно малом L o . Теорема 3. Существует L о такое, что для всех /е(о;А ) обратная задача (3.1)-(3.5) имеет единственное решение в классе непрерывных функций в области A(Z ) , если 4 (э0 тСх) .

Обратная задача для Р -приближения метода сферических гармоник

Собственные значения матрицы С совпадают с корнями полинома Лежандра Р . Поскольку здесь рассматривается только нечетные приближения, то характеристические числа совпадают с корнями полинома четного порядка. Четные полиномы Лежандра не имеют нулевых корней, так что 1 1 . Кроме того, корни расположены симметрично относительно начала координат.

Интегрируя 1С -е уравнение системы (6.22) получаем VK(x0;t; = _J СТ ( ь -#А)] dt (6.23) где кСэс, t ) - ориентированные отрезки с положительным направлением к точке ( x)t ) построены так, чтобы другой их конец лежал на границе х = о или х = А- . Записываем систему (6.23) в следующей операторной форме:

Система (6.23) является системой однородных интегральных уравнений типа Вольтерра. В этой системе содержится n+i уравнений, а число неизвестных 2vt-+ . Такого количества уравнений недостаточно.для того, чтобы однозначно определить все неизвестные, которые входят в систему. Для того, чтобы получить замкнутую систему интегральных уравнений, проведем через точку ( У:0j о ) характеристики до пересечения с границей области. Используя условия (6.19) имеем )=- %0 = - ( ). (6.25) ИЛИ dcoc) Ь(со,с[) (6.26) где K-f (ТА). Равенства (6.23) и (6.25) составляют замкнутую систему однородных интегральных уравнений типа Вольтерра в области Go { ,\o x±kt 0 iff 6. ах—-, К- L ostein lAj При этом интервал интегрирования вдоль любой характеристики не превосходит величину о, -рцтсххт -. . Введем норму мат-рицы IIAll moix II I "ill . - 52 -Из равенств (6.23) и (6.25) получаем следующее неравенство P$cj , (6.27) где / = [ №ЛШ ч-и SJI и й ц]; . c = fe irT/iriltelkll lia ll]. Так как №Л М , a OJ I ограничено по норме как производная решения прямой задачи (6.10), (6.13) с матрицей Я і %і , то при малых к. множитель с меньше единицы и из неравен л ства (6.27) следует, что р о или о , т.е. -3 Следовательно, из систем интегральных уравнений (6.24) и (6.26) можно однозначно определить элементы матрицы 7. Задача одновременного определения индикатриссы рассеяния и сечений в Р - приближении Рассмотрим вопрос об; одновременном определении индикатриссы рассеяния Q(x /і) и сечений б Сх) , 6"s х) по результатам измерений в фиксированной точке "х о плотности потока частиц. Пусть процесс излучения описывается обобщенным решением следующей задачи Коши f+rf; « =SuWc M/7v;, , , (7.1) Здесь - 53 5Ц = - j/gfх .) "МУ Р, О -1

Дополнительной информацией для решения задачи будет след обобщенного решения задачи Коши (7.1)-(7.2)

Требуется по функции tit,] ) найти 6"(х) , б Сх) , oc ju) . Здесь также как и в предыдущем параграфе ограничимся Р -приближением метода сферических гармоник, когда п-л +± .согласно которой вектор является обобщенным решением задачи Коши U-I =0 f7 Ъ) Здесь __ = 0 ,6 -- K + ilj -і - 54 A = CL/i = а.,- = о в остальных случаях Б г - приближении обратная задача ставится следующим образом. Пусть о решении задачи Коши (7.4)-(7.5) нам известна дополнительная информация где г -і Требуется найти функции СО) , б сх) , .( ) и вектор-функ-пдю й(а; из соотношений (7.4)-(7.6) по функции Fft) = Определим Л (л; ш) , ft w 0 как множество функций f 0), 5 (х), Э(ос) , и(х,У} , удовлетворяющих следующим условиям: 2) функции (Г(х) , (ГСх) » 9(:с) непрерывны, 5$Сх) 0 ; 3) фушщии и,(х,і), J = о,1 »..., и. .непрерывны вместе с частными производными первого порядка всюду, кроме, быть монет,прямых sc ju t , ї=і,а,-. к+і .

Задача об определении индикатриссы рассеяния в кинетической уравнении переноса

Теорема II. При достаточно малом Т решение разностной обратной задачи (9,14)-(9.18) сходится к решению (2.1)-(2.4) при У- 00 и имеет место оценка (10.10).

Доказательство сходимости для произвольного Т о невозможно провести без дополнительных условий на функцию /Ш) или априорного предположения о существовании решения обратной задачи, в силу того, что эта задача не является классически корректной [32] . Именно, не для всякой функции К СО , какой бы гладкостью она ни обладала, существует решение обратной задачи. Рассмотрение обратной задачи для уравнения колебания струны показывает, что угловые существования решения обратных задач для гиперболических уравнений труднопроверяемы. По этой причине при изучении обратных задач применяют общий метод исследования некорректных задач, предложенный А.Н.Тихоновым [39],

В соответствии с определением корректности по А.Н. Тихонову предположим, что решение обратной задачи (9.1)-(9.3.) существуете при этом 6s(x) непрерывна. В этом случае доказані тельство сходимости разностных решений к точному области Д(7), где /\ 0 - любое конечное число, проводится по следующей схеме. Сначала выбираем Т о таким образом, что разностные решения сходятся к точному в А(Т) и находим 6 (х) при ЭС [о,Т] . Затем решая задачу Коши (2.1),(2.3),(2.4) находим функции U(x,t), V(x,t) в области А(А)П {х, j e[,T]J . После этого мы приходшл к аналогичной обратной задаче, но уже с данными при х-Т .

В силу предположения о существовании решения, мы можем доказать сходимость на отрезке ГТ,ДТ] и, решая задачу Коши с данными на прямой х-Т получить U( ,t), Vte/i) на прямых [Т,ДТ] . Аналогично продолжая процесс можно определить (х) для любого Т 0

Разностный метод определения сечении в Р -приближении (изотропный случай) В предыдущем параграфе был рассмотрен-; вопрос о нахождении сечения рассеяния gC O по заданной информации на границе области.

Рассмотрим вопрос об определении tfCx) и 6"s(x) по некоторой дополнительной информации при t T (См. 3 гл.1).

Знание функций uc ;t) и vCx, ) в какой-то момент времени i T дает возможность определить полное сечение и сечение рассеяния конечно-разностным методом на основе ее обращения.

Пусть в обратной задаче (3.6)-(3.10) заданные функции f и меясду собой связаны следующим образом f Т- , тогда для неизвестных функций 6"С ) и "s Сэс имеем &fcv =-ІІ -1—-1- - ; С ; (П.?) - 77 Аналогично предыдущему параграфу, введем разностнші аналог задачи (II.1)-(11.6) U U + bF , (П.9) V -vr- Q\ (П.ю) Vo P\ (ІІ.П) V0K (f; (и. 12) U. - t J.- C O-f- r ), (п.із) Здесь Сеточные функции Ut , V , Xfc)l , -. назовем решением разностной обратной задачи, если они удовлетворяют (II.9) -(II. 14) в области А (Т) . Для доказательства разрешимости поставленной задачи прове-рем,как и в предыдущем параграфе, базис индукции для номеров і вертикального слоя. В силу того, что мы знаем U0 и VQ формулы (II.7) и - 78 -(II.8) допускают нахождение $Сс)0 и бСо) на нулевом слое. Предположим, что для некоторого І -У и к - /V решение обратной задачи (11.9)-(11.14) известно. Следовательно мы зна ем Ц_ , V для всех с к І A У- і , в том числе и для JC-ІІ . Воспользуюсь выражениями (II.I) и (II.2) находим значения сеточных функций в Р -м слое. Тогда в силу (II.7) и (II.8) мы можем найти 6"(ос и б"- на К -м вертикальном слое разностной сетки. При этом имеет место теорема типа теоремы 10.

Разностный метод определения сечений в р -приближении (изотропный случай)

Теория обратных задач является одной из наиболее молодых и интенсивно развивающихся областей математики. В последнее время появилось много работІ в которых рассматриваются различ-ные постановки обратных задач. Одно из центральных мест занимают коэффициентные обратные задачи, которые заключаются в определении решения и коэффициентов, входящих в уравнение,по некоторой дополнительной информации о решении прямой задачи. Таким образом под термином обратная задача для уравнения математической физики можно понимать задачу определения пары функций, в которую входят и решения, и неизвестный коэффициент данного уравнения. Широкий круг обратных задач математической физики включает в себя такие задачи как обратная кинематическая задача сейсмики, обратная задача теории потенциала, обратная задача Штурма-Лиувилля, задача определения одного или нескольких коэффициентов уравнения с частными производными. Различные постановки и исследования обратных задач рассматривались в работах А.Н.Тихонова , М.М.Лаврентьева , В.Г.Романова и других.

В круг коэффициентных обратных задач входят также обратные задачи для кинетического уравнения переноса нейтронов, которые рассматривались в работах Г.И.Марчука [22], [зз] , А.ИЛри-лепко (29j, Л.П.Нижника и В.Г.Тарасова [27] , Д.С.Аниконова [з] - [б], А.ЯЛСазакова [l9]-J2o], А.Л.Иванкова [к].

Данная диссертационная работа посвящена шгределению коэффициентов кинетического уравнения переноса в плоско-параллельной геометрии и конечно-разностному методу определения этих коэффициентов на основе метода сферических гармоник. Одна из особенностей обратных задач заключается в том, что они, как правило, классически некорректны. При исследовании таких задач используют понятия корректности по А.Н.Тихонову. Задача математической физики называется корректно поставленной, если выполнены следующие три условия. 1. Априори известно, что решение задачи существует и принадлежит некоторому компактному множеству [\ функционального пространства. 2. Решение задачи единственно на множестве И 3. Бесконечно малым вариациям входных данных задачи,не выводящим решение за пределы множества М соответствуют бесконечно малые вариации решения.

Принимая во внимание данное определение можно заключить, что центральным местом при исследовании обратных задач является доказательство теоремы единственности и получение оценок условной устойчивости.

Основными результатами настоящей работы являются теоремы существования в "малом" и теоремы единственности, а также щенки условной устойчивости, которые позволяют применять эти методы для численного решения обратных задач с последующей реализацией на ЭВМ.

Коротко остановимся на содержании диссертации. В I главы I рассмотрен вопрос о получении системы метода сферических гармоник на основе разложения решения в ряд по сферическим функциям. Всюду, на протяжении этой главы рассмотрены обратные задачи для случая изотропного рассеяния. В первом параграфе дан краткий обзор развития метода сферических гармоник,а также обратных задач для стационарного кинетического уравнения переноса и симметрических гиперболических систем. Этот параграф носит вспомогательный характер.

Похожие диссертации на Обратные задачи для системы метода сферических гармоник

Методы регуляризации в задачах идентификации входов динамических системАникин Сергей Алексеевич

Методы конструктивного анализа решений краевых задач для систем дифференциальных уравненийКенжебаев, Кенжегали

Метод управляемых моделей в задаче реконструкции структуры динамических системКузьмина, Нина Александровна

Применение методов динамического программирования и спектрального разложения к задачам оптимального управления системами с распределенными параметрамиМухаметберды, Рахимов

Метод мажорант и минорант в исследовании решения краевых задач и задачи Коши для полулинейных параболических системЧурбанов, Владимир Владимирович

Методы теории топологической степени в задачах И.Г. Малкина-В.К. Мельникова для периодически возмущенных системМакаренков Олег Юрьевич

Двухточечная краевая периодическая задача нелинейной системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументомСвирилина Татьяна Викторовна

Совпадение классических и обобщенных решений некоторых краевых и смешанных задач для систем уравнений второго порядка с неограниченными младшими коэффициентамиСафиев, Эльшан Кавы оглы

Теоремы единственности решений краевых задач для системы теории упругости в неограниченных областяхМатевосян, Овик Амаякович

Двухточечная краевая задача нелинейной системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументомТеняев Виктор Викторович