Введение к работе
Актуальность темы. Реальные процессы подвержены влиянию различных факторов, которые при математическом моделировании можно считать случайными процессами. Актуальной является задача оценки степени влияния случайных факторов на изучаемый процесс. В диссертации рассматриваются математические модели диффузии в виде дифференциальных уравнений теплопроводности, коэффициенты которых являются случайными процессами. Решение таких уравнений также является случайным процессом. Многие авторы, например, Гельфанд И.М., Шилов Г.Е., Монин А.С, Яглом A.M., Вишик М.И., Фурсиков А.В., Кляцкин В.И., Адомиан Дж., Хопф Е. и др. рассматривали задачу нахождения моментных функций решений дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами. Однако, задачу удается решить только в отдельных случаях. Ранее, в работе Боровиковой М.М., рассматривалось двумерное уравнение теплопроводности со случайными коэффициентами. Диссертация посвящена нахождению формул для вычисления моментных функций решений дифференциальных уравнений диффузии с тремя фазовыми переменными, коэффициенты которых являются случайными процессами.
Задорожний В.Г. развил метод нахождения статистических характеристик решений путем построения вспомогательных детерминированных дифференциальных уравнений с обычными и вариационными производными.
Тема диссертации связана с направлением научных исследований кафедры нелинейных колебаний.
Цель работы. Целью работы является разработка методов нахождения моментных функций решения задачи Коши для уравнения диффузии, коэффициенты которого являются случайными процессами.
Общая методика исследования. Общий подход исследования состоит в сведении исходной задачи со случайными коэффициентами к вспомогательной детерминированной задаче Коши с обычными и вариационными производными. Из решения такой вспомогательной задачи можно легко получать выражения для моментных функций.
Научная новизна работы заключается в следующем:
Получены формулы для решения задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений с обычными и вариационными производными.
Описан метод сведения задачи нахождения моментных функций решений линейных дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами к детерминированным дифференциальным уравнениям с обычными и вариационными производными.
Для дифференциального уравнения диффузии с тремя фазовыми переменными получены формулы для нахождения математического ожидания решения.
Получено симметрическое решение детерминированного дифференциального уравнения с обычными и вариационными производными, получающегося при нахождении второй моментной функции решения уравнения диффузии.
Найдены формулы для нахождения моментных функций первого и второго порядков, смешанной и дисперсионной функций решений уравнения диффузии.
Получена оценка погрешности при замене коэффициентов уравнения диффузии со случайными коэффициентами их средними значениями.
Рассмотрен разностный метод для вычисления математического ожидания решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка со случайными коэффициентами.
8. Получены условия устойчивости разностного метода.
Все перечисленные результаты являются новыми.
Научная и практическая ценность работы. Диссертация носит теоретический характер. Материал диссертации может быть использован в вузовских лекционных курсах на кафедрах физико-математического профиля. Полученные формулы для моментных функций могут быть использованы для расчетов процессов диффузии.
Апробация работы. Основные результаты по теме диссертационного исследования докладывались на семинарах и научных конференциях Воронежского государственного университета, на международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений "посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего (г. Москва, 2009 г.), на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XIX, XX"(г. Воронеж, 2008, 2009 г.г.),на III международной научной конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования" (г. Воронеж, 2009 г.), на международной конференции "Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики"(г. Воронеж, 2009 г.), на международной конференции "Двадцатая Крымская осенняя математическая школа-симпозиум "(Украина, Крым, Ласпи - Батилиман, 2009 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[9], список которых приведен в конце автореферета. В совместной работе [9] соавтору принадлежит постановка задачи и обсуждение результатов.
Работа [9] соответствует списку ВАК для кандидатских диссертаций.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, изложенных на 126 страницах, и списка литературы, содержащего 77 наименований.
