Введение к работе
Актуальность теыы. Изучение аналитических свойств функций, определяемых нелинейными дифференциальными уравнениями и системами, сопряжено с большими трудностями в связи с возможным наличием у решений таких уравнений и систем особых точек, конфигурация и характер которых зависят от начальных данных. В связи с этим задача выделения уравнений Р-типа, т.е. уравнений, решения которых не имеют подвижных критических особенностей, является одной из важнейших в аналитической теории дифференциальных уравнений.
В последнее время значительно повысился интерес к уравнениям и системам Р-типа благодаря установленной связи между ними и нелинейными уравнениями в частных производных, разрешимыми с помощью метода обратной задачи рассеяния.
В направлении выделения уравнений Р-типа получены законченные результаты только для уравнений первого и второго порядка.
Фуксом были найдены условия, при выполнении которых решения уравнений вида
P(w',w,s) =0. (1)
где Р - полином по w', w с аналитическими коэффициентами по z, не имеют подвижных критических точек. Затем Пенлеве доказал, что эти условия являются достаточными для отсутствия у решений таких уравнений подвижных трансцендентных и существенно особых точек.
В работах Пенлеве и Гамбье указаны необходимые и достаточные условия отсутствия подвижных критических особых точек для решений дифференциальных уравнений вида
w" = R(w',w,z), (2)
где R - рациональная функция y/' , w с аналитическими no z
коэффициентами. Эту задачу они решили методом малого параметра. В результате их исследований было видалено 50 различных классов уравнений (2), решения которых не имеют подвижных многозначных особенностей.
Метод малого параметра Пенлеве применим также и к уравнениям вида
и(п) = R(wln-1) w'.w,.a), (3)
где п 3, R - рациональная функция w(n~1',...,w' ,w, аналитическая по z.
Однако даже для п = 3 выделение уравнений с подвижными однозначными особенностями весьма далеко до завершения. Здесь возникают дополнительные трудности, связанные с наличием подвижных особых точек, образующих особые линии.
Цель работы. Получение необходимых и достаточных условий
»
отсутствия подвижных критических особых точек у нелинейного дифференциального уравнения третьего порядка специального вида.
Методы исследования. Основными для данной работы являются метод малого параметра, метод неопределенных коэффициентов, а также общие методы теории функций комплексного переменного.
Научная новизна и основные результаты, выносимые на защиту: - получены необходимые и некоторые достаточные условия отсутствия подвижных критических особых точек у нелинейного дифференциального уравнения третьего порядки вида
(у' + Хуа)угу'" = 7УгУ"2 + У(а0у'?- + а,.угу' + агу4)у" +
(4) + Ь0у'4 +Ъ,угу'3 +Ъ2у4у'г-»-Ь3убу' + Ьлу8
с постоянными коэффициентами;
- получены условия сущэствовашя двухпараметрических семейств решений уравнения (4), обладавших Р-свойством.
Практическая ценность. Результаты диссертационной работы могут быть использованы в аналитической гесркл дифференциальных уравнений при исследовании нелинейных уравнений и систем третьего порядаа и выше, а такие в специальных курсах, читаемых d Белорусском . государственном университете, Гродненском государственном университете и Брестском государственном педагогическом институте.
Полученные уравнения могут найти применение в теоретической и математической физике, в прикладных вопросах биологии, механики и других наук.
Апробация. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Бвлгосушверситета, на VI научной конференции математиков Беларуси (Гродно, 1992), на межвузовской научно-практической конференции (Минск, 19ЭЗ).
Публикации. Основные результаты выполненных исследований представлены в работах II - 4J.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав и списка цигиропшшой литературы, включающего
