Введение к работе
Актуальность теми. Теория уравнений смешанного типа
за пооледние года, благодаря-своей практической значимости,
превратилась в.один .яз интенсивно развивающихся разделов
современной теория дифференциальных уравнений с частными
производншш. Первым фундаментальным исследованием по урав
нениям смешанного типа второго порядка явилась работа
Ф.Трькоми.
Уравнения параболо-гаперболпчеоких типов в теоретическом плане в сравнении с эллштико-параболическищ уравнениями еще мало исследованы, с.другой стороны, они могут-быть, полонены за .основу математического моделирования ряда ванс-ных прикладных задач естествознания- Например, .некоторые проблемы механики сплошных сред,.геофизики,.задачи совместно-раздельного течения вязко-упругой и вязкой йидкости,тепломассообмена, движение газа в канале, округленном пористой средой, и др. сводятся к изучению краевых задач для парабо-ло-гяперболипеских уравнений.
Большинство основних результатов, имевшихся к настоящему времени в теории уравнений смешанного типа, можно найти в монографиях и работах /..В.Бицадзо, Л.Берса, М.С.Салахитди-нова, Т.Д.Дз;ураева, М.М.Сшряовэ, Е.И.Моисеева, А.М.Нехуте-ва, В.И.Врагова, В.ф.Волкодавова, М.М.Мередова, Т.Ш.Кальме-нова, С.М.Пономарева, А.П.Солдатова, А.Г.Кузшна, А.А.Дези-на-и других.
Вслед за развитием теории уравнений второго порядка
смешанного типа развевается быстрыми темпами теория уравне-
. ний составного и смешанно-составного типов. Это работы
А.В.Бицадзе, Ы.С.Салахитдинова, Т.Д.Джураева, М.М.Смирнова.
М.М.Мвредова и их учеников. .-
В настоящей диссертации рассматриваются малоизученные уравнения третьего порядка
(А &.а) I- + В<*,У) ~- + С & о))1 w^у) = (1)
. dx. ay у
- 4 -'
Ш^.ЇЇ^ +&&, tf^ + Cb.njJubr.y^o, (г)
te*
*(*>>, №,}), C<*.fJ, Vй'/! ("'Pi 'i'x-D>, ;***-звпвшше функция действительных аргументов, прячем
Отметим, что в известных нам работах уравнение (I) исследовалось, главным образом, при
АЫ, у)=1, & (*> V) ~ > С <*'*>- или
В(*,$) S3/, А (х,у) =s сз С О,^=- о
Когда коэффициенты оператора первого порядка постоянные числа, т.е. A(sB,y)~i. а. " , e>(sxry)^r , С- Сх, у) = с ,. краевые задачи для уравнения (I) (при
^з/ . ^5u . ^.=u> . eJ^o> .. <:«, г для уравнения (2)) в традиционной сметанной области изучались в работах Т.Д.Джураева, М.Мамажанова, О.С.Зжирова и Д.Халмура-това.
- й - .
Если коэффициенты оператора первого порядка загасят ' хотя бы от одной переменной, то исследование краевых задач для таких уравнений связано с существеннша трудлсотя2.ш. Например, если Мх,у) гай" , Ь(^,у)взвч"' (рс,]}) = е..; о,, 6, с- . - постоянные числа, то получим вырождающиеся уравнения третьего порядка, теория которых ещё не разработана.
Пель работа. Постановка и исследование корректных. . краевых задач для вырождающихся уравнений третьего порядка, содержащего пераболо-гиперболкчеекиЯ оператор в главной части (уравнения (I)), а также задачи Коии и видеоиэменен-ной задачи Фа- - для уравнения (2> при постоянных
коэффициентах оператора первого порядка.
Методика исследований. Единственность рассматриваемой задачи Кош доказывается принципом максимума для параболических и гиперболических уравнений, существование решения сводится к разрешимости системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Остальные краевые задачи сводятся к линейным интегральным уравнениям Вольтерра второго рода, однозначная разрешимость которых устанавливаются на основе общей теории.
Научная новизна работы состоит в решении следующих вопросов, рассматриваемых впервые:
1. Изучение задачи Коши для сметанного уравнения треть
его порядка, содержащего параболо-гиперболический оператор
вида (2) прл постоянншс коэффициентах оператора первого по
рядка в области
ф = / - с*а < зс< о, у>оJ (/|c?
-
Изучение видеоизменной задачи ^«fc для уравнения (2) при постоянных коэффициентах оператора первого порядка в традиционной смешанной области.
-
Постановка п исследование корректных краевых задач для вырождающегося уравнения третьего порядка, содержащего оператор теплопроводности в квадрате и параболо-гиперболический оператор вида (І) в традиционной смешанной области
' - 6 -
когда "т'(л; у) , В(х,у) - заданные функции специального вида! a Cc»ty) з=е. - заданное вещественное число.
Заметки, что постановка корректных краевых задач (задание краевых условий на тех или иных частях границы области) существенно зависит от расположения характеристик оператора первого порядка. Уравнение (I) охватывает широкий клаос ранее изученных уравнений.
Теоретическая и практическая значимость. Результаты, полученные в диссертации являются новыми и носят теоретический характер. Они могут быть использованы для дальнейшей разработки теории неклассвческих дифференциальных уравноний о частными производными третьего порядка, а такав как математическая модель ряда прикладных задач геофизики, механики и физики.
АпроС.шя работы. Основные результаты диффертацки докладывались на Объединенном семинаре отделов дифференциальных уравнений и неклассических уравнений математической физики Института математики АН Республики Узбекистан (руководители: академики М.ССалахитдинов, Т.Д.Дкураев); на Всесоюзной конференции "Дифференциальные уравнения и оптимальные управления" (г.Ашхабад, 1990 г.).
Публикация. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [ 1:-6^ .
Объем и структура диссертации. Диссертация изложена на 99 страницах машинописного текста. Состоит из введения в двух глав, разделенных на 5 параграфов. Библиография содержит 67 наименований.
