Введение к работе
Актуальность темы. В связи с расширением' сферы приложений математических методов в настоящее время часто возникают задачи, связанные с исследованием уравнений в ,частных производных, не принадлежащих ни к одному из классических типов. Сейчас еще недостаточно хорошо развита теория граничных задач для уравнений, обобщающих классические уравнения математической физики.
Одним из'важных классов неклассических'уравнений в частных производных являются уравнения нечетного порядка с кратными характеристиками, основы которых были заложены в работах S.Del Vechio, Н.Block. В дальнейшем теория уравнений с кратными характеристиками была значительно развита итальянским математиком L.Cattabriga.
Интерес к изучению краевых задач для тают уравнений особенно возрос после того, как обнаружилась их связь с задачами механики и физики. Например, уравнение Кортевега-де Фриза-Бвргерса
дзґ гзг dz г t dt
которое является'одіпм из представителей уравнений с кратішми характеристиками, встречается в нелинейной акустике, магнитной гадродшамике и т.д. Продольные колебания составных стершей. состоящих из упругих и упруговяэкпх участков, описываются уравнением третьего порядка.
К исследованию уравнений с кратными характеристиками нечетного порядка привлечено внимание многих авторов как у нас, так и за рубежом. Отметим здесь работы L.Cattabriga, Т.Д.Джу-раева, Ю.Иргшиева, С.Абднназарова, Н.Н.Юополова, Т.Г.Тодорова, E.L.Roetman И др.
Исследование нелинейішх задач для вышеназванных уравнений -это сравнительно новое направление.
Диссертация посвящена исследованию линейных и нелинейных краевых задач для уравнений с кратными характеристиками в криволинейных областях.
Цель работы. Целью диссертационной работы является изучение вопросов существования и единственности решения линейных и нелинейных краевых задач для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками в . криволинейных областях.
Методика исследования. Единственность решения рассматриваемых задач доказывается методом интеграла энергии. При доказательстве существования решения краевых задач широко применяется теория интегральных уравнений.
Научная новизна. В работе впервые исследуются уравнения третьего порядка с , разрывными коэффициентами и нелинейными ' граничными условиями в криволинейных областях, а также построены и изучены некоторые свойства функции Грина для ряд задач. .Получены необходимые условия на линии, опрзделявдие боковые границы криволинейной об-
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит
теоретический характер и ее. результаты могут быть использованы при дальнейшей разработке теории краевых задач для уравнений с кратными характеристиками, а также служить основой' при решении ряда прикладных задач, связанных с уравнениями третьего порядка.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на общегородском семинаре по., дифференциальным уравнениям "Современные проблемы теории дифференциальных уравнений в частных производных" Института математики игл.В.И.Романовского АН Республики Узбекистан (руководители - академики АН РУ-Т.Д.Дяураев и М.С.Салахйтдшов), на семинаре "Функциональные методы математической физики" (руководитель - член-корр. Ж РУ Ш.А.Алимов), на кафедре теории оптимального управления механико-математического факультета ТашГУ (руководитель - члан.т-корр. АН РУ Н.Ю.Сатпмов), на Международной научной конференции "Вырождающиеся уравнения и уравнения смешанного типа" (г.Ташкент, 1993 г., ноябрь), на конференциях молодых ученых г.Ташкента, посвященных памяти В.И.Романовского (1992-1994 гг.).
